推荐算法（三）：余弦定理和余弦相似度的关系及公式推导

简述：

余弦相似度是在余弦定理的基础上引入向量表示后得到的。

以上面 余弦定理 的三角形为例，假设我们有两个向量：

向量 b\mathbf{b}b，表示原点 A 指向点 C
向量 c\mathbf{c}c，表示原点 A 指向点 B

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        A
       / \
      /   \
   b /     \ c
    /       \
   B_________C
        a

下面我们开始从余弦定理开始推导余弦相似度的公式：

为了表达更清晰，把两个向量写成二维坐标形式：

b=(x1,y1),c=(x2,y2)\mathbf{b} = (x_1, y_1), \quad \mathbf{c} = (x_2, y_2)b=(x1,y1),c=(x2,y2)

则它们的长度分别为：

∣b∣=x12+y12,∣c∣=x22+y22|\mathbf{b}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}, \quad |\mathbf{c}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}∣b∣=x12+y12 ,∣c∣=x22+y22

两向量终点之间的边长（图中的 aaa）可写为：

a2=(x1−x2)2+(y1−y2)2a^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2a2=(x1−x2)2+(y1−y2)2

代入余弦定理：

cos⁡θ=∣b∣2+∣c∣2−a22∣b∣∣c∣ \cos\theta = \frac{|\mathbf{b}|^2 + |\mathbf{c}|^2 - a^2}{2|\mathbf{b}||\mathbf{c}|} cosθ=2∣b∣∣c∣∣b∣2+∣c∣2−a2

cos⁡θ=(x12+y12×x12+y12)+(x22+y22×x22+y22)−[(x1−x2)2+(y1−y2)2]2×x12+y12×x22+y22 \cos\theta = \frac{(\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \times \sqrt{x_1^2 + y_1^2}) + (\sqrt{x_2^2 + y_2^2} \times \sqrt{x_2^2 + y_2^2}) - [(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2]}{2 \times \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \times \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} cosθ=2×x12+y12 ×x22+y22 (x12+y12 ×x12+y12 )+(x22+y22 ×x22+y22 )−[(x1−x2)2+(y1−y2)2]

cos⁡θ=(x12+y12)+(x22+y22)−[(x1−x2)2+(y1−y2)2]2×x12+y12×x22+y22 \cos\theta = \frac{(x_1^2 + y_1^2) + (x_2^2 + y_2^2) - [(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2]}{2 \times \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \times \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} cosθ=2×x12+y12 ×x22+y22 (x12+y12)+(x22+y22)−[(x1−x2)2+(y1−y2)2]

平方公式拆解：

(x1−x2)2+(y1−y2)2=(x12−2x1x2+x22)+(y12−2y1y2+y22)(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = (x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) + (y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2)(x1−x2)2+(y1−y2)2=(x12−2x1x2+x22)+(y12−2y1y2+y22)

所以，展开后可得：

cos⁡θ=(x12+y12)+(x22+y22)−[x12−2x1x2+x22+y12−2y1y2+y22]2×x12+y12×x22+y22 \cos\theta = \frac{(x_1^2 + y_1^2) + (x_2^2 + y_2^2) - [x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2]}{2 \times \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \times \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} cosθ=2×x12+y12 ×x22+y22 (x12+y12)+(x22+y22)−[x12−2x1x2+x22+y12−2y1y2+y22]

去括号并化简

cos⁡θ=(x12+y12)+(x22+y22)−x12+2x1x2−x22−y12+2y1y2−y222×x12+y12×x22+y22 \cos\theta = \frac{(x_1^2 + y_1^2) + (x_2^2 + y_2^2) - x_1^2 + 2x_1x_2 - x_2^2 - y_1^2 + 2y_1y_2 - y_2^2}{2 \times \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \times \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} cosθ=2×x12+y12 ×x22+y22 (x12+y12)+(x22+y22)−x12+2x1x2−x22−y12+2y1y2−y22

cos⁡θ=2x1x2+2y1y22×x12+y12×x22+y22 \cos\theta = \frac{2x_1x_2 + 2y_1y_2}{2 \times \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \times \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} cosθ=2×x12+y12 ×x22+y22 2x1x2+2y1y2

cos⁡θ=2(x1x2+y1y2)2×x12+y12×x22+y22 \cos\theta = \frac{2(x_1x_2 + y_1y_2)}{2 \times \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \times \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} cosθ=2×x12+y12 ×x22+y22 2(x1x2+y1y2)

cos⁡θ=x1x2+y1y2x12+y12×x22+y22 \cos\theta = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \times \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} cosθ=x12+y12 ×x22+y22 x1x2+y1y2

cos⁡θ=b⋅c∣b∣⋅∣c∣ \cos\theta = \frac{b \cdot c}{|\mathbf{b}| \cdot |\mathbf{c}|} cosθ=∣b∣⋅∣c∣b⋅c

这就是常用的余弦相似度公式（二维形式）。

推荐算法（三）：余弦定理和余弦相似度的关系及公式推导

相关知识补充：

完全平方公式：