求最大公约数-欧几里得算法（辗转相除法）

迈巴赫车主2026-03-31 16:47

首先，我们得明确最大公约数是什么。

假设有两个整数 aa 和 bb，它们的公约数 就是能够同时整除 aa 和 bb 的整数。换句话说，就是那些既能整除 aa，又能整除 bb 的数。我们找到所有这样的数，然后从中选出最大的那个，就是它们的最大公约数。

举个例子

比如，我们有两个数：18 和 24。

18 的约数有：1, 2, 3, 6, 9, 18
24 的约数有：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

它们的公约数就是：1, 2, 3, 6，最大公约数就是 6。

要找最大公约数，有一种非常高效的方法叫做辗转相除法 ，它也叫做欧几里得算法。它的核心思想是：通过一系列的除法操作，不断缩小问题的规模，最终能够求出最大公约数。

辗转相除法的基本思想：

假设我们有两个数 aa 和 bb，我们希望找它们的最大公约数（GCD）。
计算 a÷ba÷b 的余数 rr，即： r=a%br=a%b
然后把 bb 和余数 rr 作为新的两个数，再重复上面的步骤：求新的余数，直到余数为零。
当余数为零时，最后一个非零的余数就是 aa 和 bb 的最大公约数。

证明辗转相除法的正确性

辗转相除法为什么能有效求出最大公约数呢？这其实跟数学中的贝祖定理（Bézout's identity）有关系。

贝祖定理说的是：对于任意的两个整数 aa 和 bb，它们的最大公约数 gcd(a,b)gcd(a,b) 可以表示成：gcd(a,b)=a×x+b×ygcd(a,b)=a×x+b×y其中 xx 和 yy 是整数。

通过辗转相除法，不断地把 aa 和 bb 进行除法操作，实际上是在逐步逼近这个最大公约数，最终通过一系列的余数关系得出最大公约数。

在每一步的除法过程中，剩下的余数总是保持与原来两个数的公约数相同，只不过逐渐缩小了范围，所以我们可以通过这种方法最终求出最大公约数。

复制代码

int gcd(int a, int b) {
  if (b == 0) return a;
  else return gcd(b, a % b);
}