C++ AVL树

比昨天多敲两行2026-04-01 16:08

我们学习了二叉搜索树，但它存在一个致命缺陷 ------ 极端情况下会退化为单支树，导致增删查效率从 O(logN) 退化到 O(N)。今天我们就来学习解决这个问题的方案 ------AVL 树，它是最早的自平衡二叉搜索树，通过自动调整结构保持平衡，确保高效操作。

一、AVL 树的概念

AVL 树是一种自平衡二叉搜索树，得名于发明者 G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis（1962 年提出）。它的核心定义的是：

  • 要么是一棵空树；
  • 要么左右子树都是 AVL 树，且左右子树的高度差的绝对值不超过 1。

关键概念：平衡因子（Balance Factor, BF）

为了方便判断树的平衡状态，我们给每个节点引入平衡因子：

  • 平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度；（一般情况下是这个，也可以左-右）
  • 合法的 AVL 树节点，平衡因子只能是 -1、0、1（对应左子树高、左右等长、右子树高）。

AVL 树的核心价值

AVL 树的高度能稳定控制在 logN 级别（与完全二叉树类似），因此增删查改的时间复杂度始终保持 O(logN)，从根本上解决了普通二叉搜索树的退化问题。

二、AVL树的实现

AVL树的结构

cpp 复制代码 
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{    
   pair<K, V> _kv;
   AVLTreeNode<K, V>* _left;
   AVLTreeNode<K, V>* _right;
   AVLTreeNode<K, V>* _parent;// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到
   int _bf; // balance factor

   AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
           :_kv(kv)
           , _left(nullptr)
           , _right(nullptr)
           , _parent(nullptr)
           ,_bf(0)
     {}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
        typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
      //...
private:
        Node* _root=nullptr;
};

AVL树的插⼊

AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程

  1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。

  2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新 从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可 以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。

  3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束。

  4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树 的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

平衡因⼦更新

1.平衡因⼦=右⼦树⾼度-左⼦树⾼度

2.只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。

  1. 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在 parent的左⼦树，parent平衡因⼦--。

  2. parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新。

更新停⽌条件：

1.更新后的parent的平衡因子为0，说明它的高度不变。

2.更新后的parent的平衡因子为1或-1，就要继续往上更新。

3.更新后的parent的平衡因子为-2或2，说明，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把 parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不 需要继续往上更新，插⼊结束。

4.不断更新，更新到根，跟的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。

示例：

1.更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束。

2.最坏情况：更新到根节点为止。

3.更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理。

插入及平衡因子更新的代码实现：

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;//链接父亲

		//控制平衡，更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//旋转

				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

旋转：

1.保持搜索树的规则。

2.让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度。

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

右单旋：

情况1：

情况2：

插入一个-2节点在左子树，并更新平衡因子；

以10为旋转点进行右旋，8成为10的左子树，10变成5的右子树，5成为这棵树新的根。

代码实现：

cpp 复制代码 
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;
	//记录父亲的父亲节点
	Node* Pparent = parent->_parent;

	subL->_right = parent;
	parent->_parent=subL;
	if (parent == _root)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (Pparent->_left == parent)
		{
			Pparent->_left = subL;
		}
		else
		{
			Pparent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = Pparent;
	}
	//更新平衡因子
	parent->_bf = subL->_bf= 0;
}

左单旋：

情况1：

插入一个10节点在右子树，并更新平衡因子；

以节点6为旋转节点，向左旋转，将3设为6的左子树。

情况2：

插入一个14节点在右子树，并更新平衡因子；

以6为旋转点进行左旋，8成为6的右子树，6变成10的右子树，10成为这棵树新的根。

代码实现：

cpp 复制代码 
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
		

	parent->_right = subRL;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;

	Node* Pparent = parent->_parent;
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;
	if (Pparent == nullptr)
	{
		_root=subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (Pparent->_left == parent)
		{
			Pparent->_left = subR;
		}
		else
		{
			Pparent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = Pparent;
	}
	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

左右双旋：

下面两个例子可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边 ⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边 ⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树 这棵树就平衡了。

上面两张图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL ⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为 我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置 不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦， 引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。

• 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引 发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。

• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋 转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

代码实现：

cpp 复制代码 
void RotateLR(Node* parent)
{
	//提前记录平衡因子
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;

	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);
	if (bf == -1)
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf =1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

右左双旋：

右左双旋逻辑跟左右双旋一样，只不过方向不同，就不再演示。

代码实现：

cpp 复制代码 
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;

	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);
	if (bf == -1)
	{
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

三、AVL树的查找

那⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)。

cpp 复制代码 
Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

四、AVL树的平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点 的平衡因⼦更新是否出现了问题。

cpp 复制代码 
int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;

	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return true;

	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	int diff = rightHeight - leftHeight;
	if (abs(diff) >= 2)
	{
		cout << "高度差异常" << endl;
		return false;
	}
	if (root->_bf != diff)
	{
		cout << "平衡因子异常" << endl;
		return false;
	}

	return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}

五、AVL 树特点总结

  • 严格平衡：任何节点左右高度差 ≤ 1
  • 查询极快：O(log n)
  • 插入删除代价稍高：需要频繁旋转
  • 适合读多写少的场景（如数据库索引、内存缓存）
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