【Hot 100 刷题计划】 LeetCode 118. 杨辉三角 | C++ 动态规划题解

LeetCode 118. 杨辉三角 | C++ 数组模拟与动态规划题解

📌 题目描述

题目级别：简单

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

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💡 解题思路：数组模拟 / 基础动态规划

生成杨辉三角的过程，本质上就是一个非常基础的动态规划（或递推）过程。我们可以将其看作是一个二维数组，只是每一行的长度在递增。

通过观察杨辉三角的排布规律，我们可以总结出两个核心的生成规则：

1. 边界规则 ：每一行的第一个元素和最后一个元素永远是 1。
   • 对应代码逻辑：当列索引 j == 0（首位）或者 j == i（末位）时，该位置的值赋为 1。
2. 内部推导规则（状态转移方程） ：除首尾元素外，内部的任何一个数字，都等于它正上方 的数字与左上方 的数字之和。
   • 对应代码逻辑：res[i][j] = res[i - 1][j - 1] + res[i - 1][j]。

图解推导过程

假设我们要计算第 3 行（索引为 i = 2）的中间元素（索引为 j = 1）：

• 左上方元素：第 2 行（i - 1 = 1）的第 1 个元素（j - 1 = 0），即 res[1][0]。
• 右上方（正上方）元素：第 2 行（i - 1 = 1）的第 2 个元素（j = 1），即 res[1][1]。
• 得出：res[2][1] = res[1][0] + res[1][1]。

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💻 C++ 代码实现

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) {
        // 初始化外层 vector，总共有 numRows 行
        vector<vector<int>> res(numRows);

        for (int i = 0; i < numRows; i++) {
            // 动态分配当前行的空间，第 i 行有 i + 1 个元素
            res[i].resize(i + 1);
            
            // 遍历当前行的每一个位置
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                // 边界条件：每一行的第一个和最后一个元素固定为 1
                if (j == 0 || j == i) {
                    res[i][j] = 1;
                } 
                // 状态转移：中间元素 = 左上方元素 + 右上方元素
                else {
                    res[i][j] = res[i - 1][j - 1] + res[i - 1][j];
                }
            }    
        }

        return res;
    }
};