欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaeiθ=cosθ+isinθ 证明
一、泰勒级数证明
1. 基本麦克劳林级数
ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+x55!+⋯ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots ex=n=0∑∞n!xn=1+x+2!x2+3!x3+4!x4+5!x5+⋯
cosx=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=1−x22!+x44!−x66!+⋯ \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots cosx=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯
sinx=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x−x33!+x55!−x77!+⋯ \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots sinx=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯
2. 代入 z=iθz=i\thetaz=iθ
eiθ=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+(iθ)44!+(iθ)55!+⋯ e^{i\theta} =1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(i\theta)^5}{5!}+\cdots eiθ=1+iθ+2!(iθ)2+3!(iθ)3+4!(iθ)4+5!(iθ)5+⋯
利用 i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1，化简：
eiθ=1+iθ−θ22!−iθ33!+θ44!+iθ55!−θ66!−⋯ e^{i\theta}=1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-i\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+i\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^6}{6!}-\cdots eiθ=1+iθ−2!θ2−i3!θ3+4!θ4+i5!θ5−6!θ6−⋯
3. 分离实部与虚部
eiθ=(1−θ22!+θ44!−⋯ )+i(θ−θ33!+θ55!−⋯ ) e^{i\theta} =\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right) +i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\right) eiθ=(1−2!θ2+4!θ4−⋯)+i(θ−3!θ3+5!θ5−⋯)
即：
eiθ=cosθ+isinθ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta eiθ=cosθ+isinθ
二、微分方程证明
构造函数：
f(θ)=e−iθ(cosθ+isinθ) f(\theta)=e^{-i\theta}\big(\cos\theta+i\sin\theta\big) f(θ)=e−iθ(cosθ+isinθ)
对 θ\thetaθ 求导：
f′(θ)=−ie−iθ(cosθ+isinθ)+e−iθ(−sinθ+icosθ)=e−iθ(−icosθ+sinθ−sinθ+icosθ)=0 \begin{aligned} f'(\theta) &= -i e^{-i\theta}(\cos\theta+i\sin\theta) + e^{-i\theta}(-\sin\theta+i\cos\theta) \\ &= e^{-i\theta}\left(-i\cos\theta+\sin\theta-\sin\theta+i\cos\theta\right) \\ &= 0 \end{aligned} f′(θ)=−ie−iθ(cosθ+isinθ)+e−iθ(−sinθ+icosθ)=e−iθ(−icosθ+sinθ−sinθ+icosθ)=0
故 f(θ)≡Cf(\theta)\equiv Cf(θ)≡C。代入 θ=0\theta=0θ=0：
f(0)=e0(cos0+isin0)=1 f(0)=e^{0}(\cos0+i\sin0)=1 f(0)=e0(cos0+isin0)=1
因此：
e−iθ(cosθ+isinθ)=1 e^{-i\theta}\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)=1 e−iθ(cosθ+isinθ)=1
整理得：
eiθ=cosθ+isinθ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta eiθ=cosθ+isinθ
三、几何意义
eiθe^{i\theta}eiθ 对应平面上的单位旋转，与旋转矩阵
R(θ)=(cosθ−sinθsinθcosθ) R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} R(θ)=(cosθsinθ−sinθcosθ)
等价。