偏序关系、哈斯图、最长链长度、最长链条数

设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},偏序关系R是A的整除关系,画出哈斯图。

例题:

设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},偏序关系R是A的整除关系,求R中共有多

少个有序对__27__,最长反链长度__5__,最长反链条数__1__,最长链长度__4__,

最长链条数__1__.

(1)有序对个数

列出所有 x | y 的有序对 (x,y):

  • 1 整除所有:10 个

  • 2 整除:2,4,6,8,10 → 5 个

  • 3 整除:3,6,9 → 3 个

  • 4 整除:4,8 → 2 个

  • 5 整除:5,10 → 2 个

  • 6 整除:6 → 1

  • 7 整除:7 → 1

  • 8 整除:8 → 1

  • 9 整除:9 → 1

  • 10 整除:10 → 1

合计:10+5+3+2+2+1+1+1+1+1 = 27

(2)最长链长度

链:任意两元素可比(有整除关系)

最长链:

1 | 2 | 4 | 8

长度为 4

(3)最长链条数

只有一条最长链:

{1,2,4,8}

故最长链条数 = 1

(4)最长反链长度

反链:任意两元素不可比(互不整除)

在 1~10 中:

{5,6,7,8,9} 两两互不整除,长度为 5

(5)最长反链条数

满足长度 5 的反链只有这一组:

{5,6,7,8,9}

故最长反链条数 = 1

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