排序算法（快排、归并、计数、基数排序）

排序

排序概览

排序方法	时间复杂度（平均）	时间复杂度（最坏）	稳定性
快速排序	n log n	n方	不稳定
归并排序	n log n	n log n	稳定
计数排序	n+k	n+k	稳定
基数排序	n k	n k	稳定
堆排序	n log n	n log n	不稳定
选择排序	n方	n方	不稳定
冒泡排序	n方	n方	稳定
插入排序	n方	n方	稳定

一.快速排序

排序思想
- 排序区间为 $l, r$
  - 如果区间长度小于等于 1 则直接退出, 否则选一个区间中随机的数字 x 与 l 位元素交换作为比较元素
  - 将大于 x 的数字放在左边, 小于的放在右边, 等于的也要换边!!
  - 此时 x 的位置已经固定, 对两边区域的分别递归
- 一开始的区间为 $1, n$
- 两个指针分别从 l 和 r 开始向中间扫描, 直到相遇结束一次扫描

代码实现

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void quicksort(int l,int r){
 if(l >= r)
     return;
 swap(a[l], a[l + rand() % (r - l + 1)]);
 int x = a[l];
 int i = l, j = r;
 while(i < j){
     while(i < j && a[j] > x)
         j--;
     if(i < j)
         a[i++] = a[j];
     while(i < j && a[i] < x)
         i++;
     if(i < j)
         a[j--] = a[i];
 }
 a[i] = x;
 quicksort(l, i - 1);
 quicksort(i + 1, r);
}

补充
- 实际打比赛可用 sort() 函数, 可以直接快排
- 对于多关键字排序可以重构比较符号
  
  struct Node{
  int x, y;
  bool operator < (const Node &A) const{
  if(x != A.x)
  return x < A.x;
  return y < A.y;
  }
  } a[N + 1];
- 找第 k 小的数用快排, 每一轮只要比较 i 和 k, 然后排一半即可

二.归并排序

排序思想
- 排序区间为l, r
  - 如果区间长度为 1 则直接退出, 否则将区间分为 $l, m$ 和 $m+1, r$ 俩部分, 其中 m = ( l + r ) / 2
  - 递归两个子区间进行排序
  - 将两个已经排好的子区间合并
- 一开始只要对区间 $1, n$ 排序即可

代码实现

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void mergesort(int l,int r){
 if(l == r) return;
 int m = (l + r) / 2;
 mergesort(l, m);
 mergesott(m + 1, r);
 int p1 = l, p2 = m + 1, tot = 0;
 while(p1 <= m && p2 <= r){
     if(a[p1] <= a[p2])
         c[++tot] = a[p1++];
     else
         c[++tot] = a[p2++];
 }
 while(p1 <= m)
     c[++tot] = a[p1++];
 while(p2 <= r)
     c[++tot] = a[p2++];
 for(int i = 1; i<= tot; i++)
     a[i + l - 1] = c[i];
}

三.计数排序

排序思想
- 统计每个数据出现了几次
- 统计完每个元素后, 求一遍前缀和, 就知道每个数字在排序完后的序列中出现的位置
- 把数字填入对应的位置即可

代码实现

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int n, m, a[N + 1], c[M + 1], r[N + 1];
inline void countingsort(){
     memset(c, 0, sizeof(c));
     for(int i = 1; i <= n; i++)
         ++c[a[i]];

     for(int i = 1; i <= m; i++){
         for(int j = 1; j <= c[i]; j++)
             printf("%d", r[i]);
     }
     printf("\n");

     for(int i = 2; i <= m; i++)
         c[i] += c[i-1];
     for(int i = n; i; --i)
         r[i] = c[a[i]]--;
     for(int i = 1; i<= n; i++)
         printf("%d", r[i]);
     printf("\n");
 }

补充
- 适用于值域范围较小的数字排列

四.基数排序

排序思想
- 拆分成 m 个关键字, 从后往前对这些关键字排序, 每次排序会使用上一次的排序结果
- 每一次是用计数排序来实现
- 假设已经排完了第 i 个及以后的关键字, 现在要排第 i - 1 个关键字,这里是一个双关键字排序, 第一关键字是第 i - 1 个关键字, 第二关键字是第 i 个及以后的关键字的 rank
- 我们只需要把数字按照第 i 个及以后的关键字从小到大排序放在数组里, 再进行一次计数排序即可 ( 因为计数排序是稳定的 )

代码实现

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int n, m, a[N + 1], sa[N + 1], v[N + 1], r[N + 1], c[M + 1];

inline void countingsort(){
memset(c, 0, sizeof(c));
for(int i = 1; i <= n; i++)
    ++c[a[i]];
for(int i = 2; i <= m; i++)
    c[i] += c[i-1];
for(int i = n; i; --i)
    r[sa[i]] = c[v[sa[i]]]--;
for(int i = 1; i<= n; i++)
    sa[r[i]] = i;
}

inline void radisort(){
for(int i = 1; i <= n; i++)
    sa[i] = i;
int x = 1;
for(int i = 1; i <= m; i++, x*=10){
    for(int j = 1; j <=n; j++)
        v[j] = a[j] / x % 10;
    countingsort();
    }
}

补充
- 基数排序经常被用于字符串的排序, 比如说后缀数组的核心就是基数排序