信息学奥赛一本通 4149：【GESP2509七级】连通图 | 洛谷 P14077 [GESP202509 七级] 连通图

【题目链接】

ybt 4149：【GESP2509七级】连通图
 洛谷 P14077 $GESP202509 七级$ 连通图

【题目难度】：E

【题目考点】

1. 图论：连通分量

连通分量：无向图中极大的连通子图。

求图中连通分量数量的方法：

深搜广搜
并查集

2. 并查集

【解题思路】

本题可以作为求连通分量的模板题。

将图中每个连通分量可以看作一个顶点（这是"缩点"思路），设有 c n t cnt cnt个顶点，那么要想让这 c n t cnt cnt个顶点之间互相连通，形成一个连通图，需要添加的边数最少为 c n t − 1 cnt-1 cnt−1，形成树型结构（无环连通无向图）。

问题变为求图中连通分量的数量 c n t cnt cnt。

解法1：深搜广搜

尝试从每个未访问过的顶点出发进行深搜或广搜，标记已访问的顶点。成功开始搜索的次数为连通分量的数量

解法2：并查集

将每个连通分量当做一个集合。如果顶点A到顶点B有一条无向边，则顶点A、B在同一个集合中，将A、B所在的集合合并。遍历所有的边后，统计集合的数量即为连通分量的数量。

【题解代码】

解法1：深搜广搜求连通分量

写法1：深搜求连通分量

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
vector<int> g[N];
int n, m, cnt;
bool vis[N];
void dfs(int u)
{
	vis[u] = true;
	for(int v : g[u]) if(!vis[v])
		dfs(v);
}
int main()
{
	int u, v;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) if(!vis[i])
	{
		dfs(i);
		cnt++;
	}
	cout << cnt-1;
	return 0;
}

写法2：广搜求连通分量

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
vector<int> g[N];
int n, m, cnt;
bool vis[N];
void bfs(int sv)
{
	queue<int> que;
	vis[sv] = true;
	que.push(sv);
	while(!que.empty())
	{
		int u = que.front();
		que.pop();
		for(int v : g[u]) if(!vis[v])
		{
			vis[v] = true;
			que.push(v);
		}
	}
}
int main()
{
	int u, v;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) if(!vis[i])
	{
		bfs(i);
		cnt++;
	}
	cout << cnt-1;
	return 0;
}

解法2：并查集求连通分量

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
int n, m, cnt, fa[N];
void init(int n)
{
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		fa[i] = i;
}
int find(int x)
{
	return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
void merge(int x, int y)
{
	fa[find(x)] = find(y);
}
int main()
{
	int u, v;
	cin >> n >> m;
	init(n);
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		cin >> u >> v;
		merge(u, v);
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) if(fa[i] == i)
		cnt++;
	cout << cnt-1;
	return 0;
}