【数据结构与算法】再次全面了解LCS底层

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先上例题

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
	string s; cin >> s;
	string t = s;
	reverse(s.begin(), s.end());
	int n = s.size();
	vector<vector<int>>dp(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));
	for (int i = 1; i <=n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <=n; j++)
		{
			if (s[i - 1] == t[j - 1])
			{
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
			}
			else
			{
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
			}
		}
	}
	cout << n - dp[n][n] << endl;
	return 0;
}

为什么 DP 表要从 1 开始循环？为什么比较字符要用 i-1 和 j-1？字符不同为什么要取左上和上边的最大值？折腾了好久终于彻底吃透，今天把整个理解过程、原理和代码完整写出来，帮和我一样的新手少走弯路！

一、先搞懂：什么是最长公共子序列？

首先区分两个易混概念，别搞反：

子串：要求字符连续
子序列 ：字符按顺序出现，不要求连续

最长公共子序列（LCS）：给定两个字符串，找到它们所有公共子序列中长度最长的那个，就是我们要求的结果。

举个例子：字符串 1：abcde字符串 2：ace它们的最长公共子序列就是ace，长度为 3。

二、核心：DP 表的定义（关键！）

我们用动态规划表（二维数组 dp） 来解决，首先要明确 dp 数组的含义：dp[i][j]：表示字符串 1 的前 i 个字符 和 字符串 2 的前 j 个字符 的最长公共子序列长度。

这里重点：前 i 个字符，不是第 i 个字符！这是理解后续所有逻辑的基础。

前i个其实更感觉像是个虚的，因为要给dp最前面初始化为0（方便后面左上角加1时用到），然后后面的下标1其实是求字符串第一个字母（下标为0）的公共子序列；

三、一步步拆解 DP 状态转移

1. 两种核心情况

情况 1：当前字符相同

当字符串 1 的第 i 个字符 = 字符串 2 的第 j 个字符时→ 这个字符可以加入公共子序列→ 最优解就是「两个字符串都去掉当前字符的最优解」+1→ dp $i$ $j$ = dp $i-1$ $j-1$ + 1

情况 2：当前字符不同

当两个字符不相等时，当前字符无法同时加入公共子序列→ 只能二选一：丢掉字符串 1 的当前字符，或丢掉字符串 2 的当前字符→ 取两种情况里结果更大的那个→ dp $i$ $j$ = max(dp $i-1$ $j$ , dp $i$ $j-1$ )

2. 新手最疑惑：为什么 DP 表从 1 开始，比较用 i-1/j-1？

这是我当初卡最久的点！其实道理超简单：

C++ 字符串下标从 0 开始 ，而我们的 DP 表需要预留0 行 0 列 表示空字符串
空字符串和任何字符串的 LCS 长度都是 0，不用额外处理边界
如果直接从 0 开始循环，第一个字符比较时，左上角没有值，会出现数组越界！

简单说：DP 表整体往后挪一位，0 号位放空串，1 号位对应字符串的 0 号下标 ，也就是：dp[i] 对应字符串的 s[i-1]``dp[j] 对应字符串的 t[j-1]

这样设计，代码完全不用处理边界问题，所有状态转移都能顺畅执行！

四、完整 C++ 代码实现

求 LCS 长度

cpp 复制代码

<iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

// 求最长公共子序列长度
int lcsLength(string s, string t) {
    int n = s.size();
    int m = t.size();
    // DP表开n+1行m+1列，预留0行0列
    vector<int>> dp(n<int>(m + 1, 0));

    // 循环从1开始
    for (int i =<= n; i++) {
        for (int j = <= m; j++) {
            // 比较i-1和j-1，对齐字符串下标
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    // 右下角就是最终答案
    return dp[n][m];
}

int main() {
    string s1, s2;< "请输入字符串1：";
    cin >> s1;< "请输入字符串2：";
    cin >> s2;< "最长公共子序列长度："< lcsLength(s1< endl;
    return 0;
}

2. 拓展：输出具体的 LCS 序列

通过回溯 DP 表，就能拿到完整的最长公共子序列：

cpp 复制代码

// 回溯获取LCS字符串
string getLCS(string s, string<int>>& dp) {
    int i = s.size(), j = t.size();
    string res;
    while (i > 0 && j > 0) {
        if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
            // 字符相同，加入结果，往左上角回溯
            res += s[i - 1];
            i--;
            j--;
        } else {
            // 字符不同，往值更大的方向回溯
            if (dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]) {
                i--;
            } else {
                j--;
            }
        }
    }
    // 逆序输出
    reverse(res.begin(), res.end());
    return res;
}