2020年，中山大学团队在Physical Review Letters提出螺旋坐标变换理论，首次实现OAM 拓扑荷任意有理数乘除；上海交通大学团队在此基础上，于Advanced Photonics Nexus发表重要成果，将分数阶OAM通过变换精准转为整数OAM并完成低串扰分选。本文结合两篇期刊核心理论，使用 Matlab 完整复现 分数阶OAM和整数阶OAM的双向变换。
一、理论部分
1 光学坐标变换基础
在近轴近似下，平行光在间距为 d 的输入平面 (x,y) 与输出平面 (u,v) 之间传播时，遵循由广义斯涅尔定律描述的坐标变换关系，输入平面所需加载的变换相位满足：
Qₓ = k·(u - x)/d, Qᵧ = k·(v - y)/d (1)
其中 k 为自由空间波矢，Q(x,y) 为坐标变换相位。通过设计不同的变换相位，可实现多种光束空间坐标映射操作。
2 螺旋坐标变换法则
论文采用螺旋极坐标体系，输入平面坐标为 (r,θ)，输出平面坐标为 (ρ,φ)，螺旋坐标变换的具体形式为：
ρ = c·r^(-1/n), φ = θ/n (2)
式中 c 为任意常数，n 为变换因子。该变换可将输入光场沿角向进行 n 倍压缩或拉伸。
基于式(1)与式(2)，可推导得到输入平面所需的螺旋变换相位 Q₁(r,θ)：
Q₁(r,θ) = k/d [ c·r^(1-1/n)/(1-1/n) · cos(θ - θ/n) - r²/2 ] (3)
为补偿螺旋变换相位与自由空间传播带来的相位偏差，输出平面需加载校正相位 Q₂(ρ,φ)：
Q₂(ρ,φ) = -Q₁ - k·√(r² + ρ² - 2rρ·cos(φ - θ) + d²) (4)
分数阶轨道角动量（FOAM）模式具有角向相位不连续特性，经螺旋变换后仍存在相位跳变，因此需叠加额外补偿相位 P(ρ,φ)：
P(ρ,φ) = 2πt·[nφ/(2π)], t = mod(ℓ_in, 1) (5)
其中 t 为输入拓扑荷 ℓ_in 的小数部分，用于消除角向相位突变。
3 涡旋光场的变换与传输
入射高斯涡旋光束的束腰半径为 w₀，拓扑荷为 ℓ_in，其输入光场振幅分布为：
E₁(r,θ) = 1/w₀ · (r√2/w₀)^|ℓ_in| · exp(-r²/w₀²) · exp(iℓ_inθ) (6)
经螺旋坐标变换与相位校正后，输出平面 (ρ,φ) 处的光场为：
E₂(ρ,φ) = -i·exp(ikd)·|n|·(r/ρ)·E₁(r,θ)
结合螺旋变换的角向关系 θ = nφ，输出光场的相位因子可写为 exp(inℓ_inφ)，即输出拓扑荷满足：
ℓ_out = n·ℓ_in
通过该过程，分数阶FOAM模式被转换为整数阶IOAM本征模式，为后续模式处理提供基础。
二、Matlab 仿真结果
仿真参数：λ=532 nm，w₀=300 μm，d=5 cm，实现分数与整数阶OAM 变换，展示输入和变换后的OAM光场分布以及变换相位和补偿相位。
1. 分数 OAM↔整数 OAM变换
输入：ℓ_in=1.5（3/2），n=2 → ℓ_out=3
2. 整数 OAM↔整数 OAM变换
输入：ℓ_in=6，n=1/3 → ℓ_out=2
输入：ℓ_in=2，n=2 → ℓ_out=4
