首先给出
这里的是列满秩 的矩阵，我们需要证明
证明方法一：
我们知道任何一个矩阵，只通过初等行变换 ，是可以化简为行最简阶梯矩阵的，即以下形式
这里的矩阵，由于是列满秩矩阵，所以把A矩阵通过初等行变换 可以变为
即
所有有
证明方法二：
我们使用希尔维斯不等式
在这题里，化简得到
又因为，所以得到
证明方法三：
与
同解
①若，显然
；
②若，则必有
令，则
，因为A列满秩，其次方程组只有零解，所以
，两个方程组同解
所以
扩展：
这里我们通过转置还可以证明对应的结论：
右乘一个行满秩矩阵，不改变矩阵的秩。