自动控制原理｜稳定性与劳斯判据 知识点+计算题+MATLAB实现全套笔记

二阶系统完整特征表 + 全套标准公式

一、标准二阶系统基础

1. 传递函数

G(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}G(s)=s2+2ζωns+ωn2ωn2

ζ\zetaζ：阻尼比；ωn\omega_nωn：无阻尼自然振荡频率(rad/s)

2. 关键中间变量

有阻尼振荡频率：ωd=ωn1−ζ2阻尼相位角：θ=arccos⁡ζ\begin{aligned} &\text{有阻尼振荡频率：}\quad \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\\ &\text{阻尼相位角：}\quad \theta=\arccos\zeta \end{aligned}有阻尼振荡频率：ωd=ωn1−ζ2 阻尼相位角：θ=arccosζ

---

二、阻尼分区特征总表

三、欠阻尼时域性能指标核心公式

仅限：0<ζ<1\boldsymbol{0<\zeta<1}0<ζ<1

1. 超调量（平稳性）
   σ%=e−πζ1−ζ2×100%\sigma\% = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times 100\%σ%=e−1−ζ2 πζ×100%

2. 上升时间
   tr=π−θωdt_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}tr=ωdπ−θ

3. 峰值时间
   tp=πωdt_p=\frac{\pi}{\omega_d}tp=ωdπ

4. 调节时间（快速性）
   ts≈{3ζωn(5%误差带)4ζωn(2%误差带)t_s\approx \begin{cases} \displaystyle\frac{3}{\zeta\omega_n}\quad (5\%误差带)\\[4pt] \displaystyle\frac{4}{\zeta\omega_n}\quad (2\%误差带) \end{cases}ts≈⎩ ⎨ ⎧ζωn3(5%误差带)ζωn4(2%误差带)

---

四、核心规律总结（背诵+调参用）

1. ζ↑⇒\boldsymbol{\zeta}\uparrow \Rightarrowζ↑⇒ 超调↓、振荡减弱、平稳性提升、响应变慢

2. ωn↑⇒\boldsymbol{\omega_n}\uparrow \Rightarrowωn↑⇒ 整体响应速度↑、调节时间↓，快慢只由它主导

3. 混动/运动控制场景：

   优先保证 0.4∼0.80.4\sim0.80.4∼0.8 阻尼比，兼顾超调与响应速度

---

五、LaTeX 纯净公式合集

% 二阶系统传递函数
G(s)=\frac{\omega_\mathrm{n}^2}{s^2 + 2\zeta\omega_\mathrm{n} s + \omega_\mathrm{n}^2}

% 有阻尼振荡频率
\omega_\mathrm{d} = \omega_\mathrm{n}\sqrt{1-\zeta^2}

% 超调量
\sigma\% = \mathrm{e}^{-\displaystyle\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \times 100\%

% 上升时间、峰值时间
t_\mathrm{r} = \frac{\pi-\arccos\zeta}{\omega_\mathrm{d}},\quad
t_\mathrm{p} = \frac{\pi}{\omega_\mathrm{d}}

% 调节时间
t_\mathrm{s} \approx \frac{3}{\zeta\omega_\mathrm{n}},\quad t_\mathrm{s} \approx \frac{4}{\zeta\omega_\mathrm{n}}

下面是CSDN 直接复制、完美渲染的纯 Markdown 格式，公式、表格、换行全部适配 CSDN 编辑器，直接粘贴即用。

---

二阶系统巩固计算题（3道）

说明

默认均为标准欠阻尼二阶系统 0<ζ<10<\zeta<10<ζ<1，采用自动控制原理经典公式计算。

---

计算题 1

已知二阶系统传递函数：
G(s)=100s2+6s+100 G(s)=\frac{100}{s^2+6s+100} G(s)=s2+6s+100100

求解：

1. 无阻尼自然振荡频率 ωn\omega_nωn、阻尼比 ζ\zetaζ
2. 单位阶跃响应超调量 σ%\sigma\%σ%

---

计算题 2

已知二阶系统参数：ωn=8 rad/s，ζ=0.5\omega_n=8\ \mathrm{rad/s}，\zeta=0.5ωn=8 rad/s，ζ=0.5

求解：

1. 有阻尼振荡频率 ωd\omega_dωd
2. 峰值时间 tpt_ptp、上升时间 trt_rtr

---

计算题 3

已知二阶系统阻尼比 ζ=0.6\zeta=0.6ζ=0.6

求解：

1. 系统超调量 σ%\sigma\%σ%
2. 按 5% 误差带，要求调节时间 ts≤1 st_s \le 1\ \mathrm{s}ts≤1 s，求满足条件的最小 ωn\omega_nωn

---

参考答案与详细步骤

计算题 1 解答

标准二阶系统形式：
G(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2 G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2} G(s)=s2+2ζωns+ωn2ωn2

ωn2=100  ⟹  ωn=10 rad/s \omega_n^2 = 100 \implies \boldsymbol{\omega_n = 10\ \mathrm{rad/s}} ωn2=100⟹ωn=10 rad/s
2ζωn=6  ⟹  ζ=62×10=0.3 2\zeta\omega_n = 6 \implies \zeta = \frac{6}{2\times 10} = \boldsymbol{0.3} 2ζωn=6⟹ζ=2×106=0.3

超调量：
σ%=e−πζ1−ζ2×100%≈37.23% \sigma\% = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times 100\% \approx \boldsymbol{37.23\%} σ%=e−1−ζ2 πζ×100%≈37.23%

---

计算题 2 解答

ωd=ωn1−ζ2=8×1−0.52≈6.928 rad/s \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = 8\times\sqrt{1-0.5^2} \approx \boldsymbol{6.928\ \mathrm{rad/s}} ωd=ωn1−ζ2 =8×1−0.52 ≈6.928 rad/s

tp=πωd t_p = \frac{\pi}{\omega_d} tp=ωdπ

θ=arccos⁡ζ=π3 \theta = \arccos\zeta = \frac{\pi}{3} θ=arccosζ=3π
tr=π−θωd≈0.302 s t_r = \frac{\pi-\theta}{\omega_d} \approx \boldsymbol{0.302\ \mathrm{s}} tr=ωdπ−θ≈0.302 s

---

计算题 3 解答

1. 超调量
   σ%=e−πζ1−ζ2×100%≈9.48% \sigma\% = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times 100\% \approx \boldsymbol{9.48\%} σ%=e−1−ζ2 πζ×100%≈9.48%

2. 5% 误差带调节时间：
   ts≈3ζωn≤1 t_s \approx \frac{3}{\zeta\omega_n} \le 1 ts≈ζωn3≤1
   ωn≥3ζ=30.6=5 rad/s \omega_n \ge \frac{3}{\zeta} = \frac{3}{0.6} = \boldsymbol{5\ \mathrm{rad/s}} ωn≥ζ3=0.63=5 rad/s

---

---

自控 + 劳斯判据 + Matlab + 混动模式

一、自动控制原理

1. 稳定性定义

线性定常系统，在受到有界扰动作用后：

• 扰动消失，系统能最终回到原有平衡状态 → 渐近稳定
• 响应持续发散、幅值越来越大 → 不稳定
• 产生等幅不衰减振荡 → 临界稳定（工程视作不稳定）

稳定充要条件

闭环特征方程全部特征根（极点）实部严格小于 0，全部位于 s 左半平面。

---

2. 劳斯判据 基础

（1）标准特征方程

ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0=0a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0 = 0ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0=0

前提：

1. 最高次项系数 an>0a_n > 0an>0
2. 缺少任意一次项（系数为 0），系统大概率不稳定/临界稳定

（2）劳斯阵列构造规则

以特征方程系数依次排列：

• 第一行：an, an−2, an−4...a_n,\ a_{n-2},\ a_{n-4} \dotsan, an−2, an−4...
• 第二行：an−1, an−3, an−5...a_{n-1},\ a_{n-3},\ a_{n-5} \dotsan−1, an−3, an−5...
• 第三行及以后通用计算式：

b1=an−1an−2−anan−3an−1b_1 = \frac{a_{n-1}a_{n-2} - a_n a_{n-3}}{a_{n-1}}b1=an−1an−1an−2−anan−3

后续元素同逻辑交叉计算。

（3）劳斯判据核心规则

1. 劳斯阵列第一列所有元素全部为正 ➜ 系统稳定
2. 第一列出现正负变化 ➜ 符号变化次数 = 右半平面极点个数
3. 出现首列为 0、全零行为两种特殊题型处理方式

（4）判据总结表

第一列元素	系统状态	工程判定
全正数	渐近稳定	合格可用
含负数	不稳定	发散，不可用
含0、无负数	临界稳定	等幅振荡，禁用

---

二、Matlab：Routh 劳斯判稳编程

1. 作用

手动计算高阶劳斯阵列繁琐易错，通过代码：

• 输入闭环特征方程系数
• 自动生成完整劳斯表
• 自动判断稳定/不稳定/临界稳定
• 用于混动高阶控制系统、控制器参数校验

2. 编程核心思路

1. 以系数向量录入特征方程
2. 利用循环 + 行列式公式逐行计算劳斯阵列
3. 遍历第一列元素，判断正负、统计变号次数
4. 命令窗口直接输出稳定性结论

---

三、混动系统三种工作模式（论文直接复制）

1. 纯电驱动模式

在车辆起步、低速轻载以及动力电池SOC充足工况下，动力系统采用纯电驱动模式。

发动机完全停机不参与工作，由动力电池单独为驱动电机提供电能，电机独立输出动力，完成行驶与动力输出需求。

该模式具备零油耗、低振动、低噪声的优势，适合城市低速、短途行驶工况。

2. 混合动力驱动模式

当系统处于中高速行驶、大负荷工况、爬坡或电池剩余电量不足时，切换至混合驱动模式。

发动机输出基础功率，规避低效运行区间，驱动电机根据负载需求进行动态转矩补偿，双动力源协同耦合出力。

该模式可有效提升动力系统响应速度，降低发动机油耗，兼顾动力性与燃油经济性。

3. 再生制动模式

车辆减速、制动或下坡滑行阶段，系统进入再生制动模式。

驱动电机脱离动力驱动状态，由车体惯性与势能反向拖动电机旋转，电机工作于发电工况，将机械能转化为电能。

电能经过电控单元整流调节后回充动力电池，实现制动能量回收，减少机械制动损耗，提升混动系统整体能量利用率。

---

一、劳斯判据 巩固计算题（3道）

题目1

已知闭环特征方程：
s3+4s2+5s+8=0s^3 + 4s^2 + 5s + 8 = 0s3+4s2+5s+8=0

用劳斯判据判断系统是否稳定。

---

题目2

系统特征方程：
s4+2s3+3s2+4s+5=0s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5 = 0s4+2s3+3s2+4s+5=0

构造劳斯阵列，判别稳定性。

---

题目3（求参数稳定范围，工程常用）

特征方程：
s3+3s2+2s+K=0s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0s3+3s2+2s+K=0

求使系统稳定 的 KKK 取值范围。

---

二、参考答案+详细步骤

题1 解答

特征方程：
s3+4s2+5s+8=0s^3 + 4s^2 + 5s + 8 = 0s3+4s2+5s+8=0

劳斯表：
15483080 \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 4 & 8 \\ 3 & 0 \\ 8 & 0 \end{array} 14385800

第一列元素：1, 4, 3, 81,\ 4,\ 3,\ 81, 4, 3, 8 全部为正

结论：系统稳定

---

题2 解答

特征方程：
s4+2s3+3s2+4s+5=0s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5 = 0s4+2s3+3s2+4s+5=0

劳斯表：
135240150−600500 \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ -6 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \end{array} 121−653450050000

第一列出现负数，符号变化次数为 2

结论：系统不稳定，右半平面有 2 个极点

---

题3 解答

特征方程：
s3+3s2+2s+K=0s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0s3+3s2+2s+K=0

劳斯表：
123K6−K30K0 \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & K \\ \dfrac{6-K}{3} & 0 \\ K & 0 \end{array} 1336−KK2K00

稳定条件：第一列全部大于 0
{6−K3>0K>0 \begin{cases} \dfrac{6-K}{3} > 0\\[4pt] K > 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧36−K>0K>0

可得：
0<K<60 < K < 60<K<6

---

三、通用MATLAB 劳斯判据完整代码（直接复制运行）

% 劳斯判据通用程序｜无维度报错｜适配任意阶系统
clear; clc; close all;

% ========== 只改这一行：特征方程系数 降幂排列 ==========
% 示例：s^3 + 4s^2 + 5s + 8   →  coeff = [1 4 5 8]
% 示例：s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5 → coeff = [1 2 3 4 5]
coeff = [1 4 5 8];  
% ========================================================

% 1. 获取系数总个数
n = length(coeff);  

% 2. 劳斯表 行数、列数 自动计算（核心修复点）
rows = n;               
cols = ceil(n/2);   

% 3. 初始化正确尺寸的劳斯表（不会尺寸不匹配）
Routh = zeros(rows, cols);  

% 4. 手动填写劳斯表前两行（完全对照手写规则）
% 第一行：s^n、s^(n-2)、s^(n-4) 隔项取
Routh(1, 1:length(coeff(1:2:end))) = coeff(1:2:end);
% 第二行：s^(n-1)、s^(n-3)、s^(n-5) 隔项取
Routh(2, 1:length(coeff(2:2:end))) = coeff(2:2:end);

% 5. 循环计算：从第3行开始，逐行递推
for i = 3:rows
    for j = 1:cols-1
        % 提取公式变量，方便理解
        a = Routh(i-1, 1);   % 上一行第一个元素
        b = Routh(i-2, j+1); % 上上行 后一列元素
        c = Routh(i-2, 1);   % 上上行第一个元素
        d = Routh(i-1, j+1); % 上一行 后一列元素
        
        % 劳斯标准计算公式：交叉相乘相减 / 上一行首元素
        Routh(i,j) = (a*b - c*d) / a;
    end
end

% 6. 命令行输出
disp('========== 劳斯阵列 ==========');
disp(Routh);

disp('========== 第一列元素 ==========');
first_col = Routh(:,1);
disp(first_col);

% 7. 稳定性判定
if all(first_col > 0)
    disp('✅ 系统 渐近稳定');
else
    disp('❌ 系统 不稳定/临界稳定');
end

---

四、劳斯表行数怎么确定？（必看）

• nnn 阶特征方程
• 劳斯表行数 = n+1n+1n+1 行
• 例：s3s^3s3 方程 → 4 行；s4s^4s4 方程 → 5 行

---

五、高阶劳斯判据手算实例

实例1：六阶系统（s6s^6s6）

特征方程：
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0s^6 + 2s^5 + 3s^4 + 4s^3 + 5s^2 + 6s + 7 = 0s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0

系数向量：
coeff=[1,2,3,4,5,6,7]coeff = [1,2,3,4,5,6,7]coeff=[1,2,3,4,5,6,7]

1、确定行列

6阶方程，劳斯总行数：6+1=76+1=76+1=7 行

系数个数为7，列数：⌈72⌉=4\lceil \dfrac{7}{2} \rceil=4⌈27⌉=4 列

2、填写前两行

• s6s^6s6 行：1, 3, 5, 71,\ 3,\ 5,\ 71, 3, 5, 7
• s5s^5s5 行：2, 4, 6, 02,\ 4,\ 6,\ 02, 4, 6, 0

3、逐行手算

s4s^4s4 行

b1=2×3−1×42=1,b2=2×5−1×62=2,b3=2×7−1×02=7 b_1=\frac{2\times 3-1\times 4}{2}=1,\quad b_2=\frac{2\times 5-1\times 6}{2}=2,\quad b_3=\frac{2\times 7-1\times 0}{2}=7 b1=22×3−1×4=1,b2=22×5−1×6=2,b3=22×7−1×0=7
s4s^4s4 行：1, 2, 7, 01,\ 2,\ 7,\ 01, 2, 7, 0

s3s^3s3 行

c1=1×4−2×21=0,c2=1×6−2×71=−8 c_1=\frac{1\times 4-2\times 2}{1}=0,\quad c_2=\frac{1\times 6-2\times 7}{1}=-8 c1=11×4−2×2=0,c2=11×6−2×7=−8
s3s^3s3 行：0, −8, 0, 00,\ -8,\ 0,\ 00, −8, 0, 0

s2s^2s2 行

首元素为0，用无穷小 ε\varepsilonε 替换：
d1=ε×2−1×(−8)ε>0 d_1=\frac{\varepsilon\times 2-1\times (-8)}{\varepsilon}>0 d1=εε×2−1×(−8)>0
s2s^2s2 行：正数

s1s^1s1 行

由上两行计算，首元素为负数

s0s^0s0 行

常数项：777

4、第一列汇总

1, 2, 1, 0(ε), 正, 负, 71,\ 2,\ 1,\ 0(ε),\ 正,\ 负,\ 71, 2, 1, 0(ε), 正, 负, 7

5、稳定性结论

第一列存在符号变换，变号2次

👉 系统不稳定 ，sss 右半平面存在2个极点

---

实例2：简单七阶演示（快速理解）

特征方程：
s7+s6+2s5+2s4+3s3+3s2+4s+4=0s^7+s^6+2s^5+2s^4+3s^3+3s^2+4s+4=0s7+s6+2s5+2s4+3s3+3s2+4s+4=0

系数：
coeff=[1,1,2,2,3,3,4,4]coeff=[1,1,2,2,3,3,4,4]coeff=[1,1,2,2,3,3,4,4]

1. 7阶方程 ⇒\Rightarrow⇒ 劳斯共8行
2. 前两行隔项取值：

• s7s^7s7：1,2,3,41,2,3,41,2,3,4
• s6s^6s6：1,2,3,41,2,3,41,2,3,4

3. 后续行套用公式交叉计算，规则完全一致；
4. 最终只看第一列正负，判断稳定性与右半平面极点数量。

---