1、极值的定义
对于函数，若存在点
的某个领域，使得在该领域内任意一点
，均有
（或
）
成立，则称点为
的极大值点（或极小值点），
为
的极大值（或极小值）
注1：
①局部的概念
②左右领域均有定义（端点处不谈论极值、间断点）
③常函数处处是极值（处处是极大值、处处是极小值）
④常考查"理想"的极值点，如图所示，即"左领域减，右领域增"或"左领域增、右领域减"，且在处可导
**注2：**结合第1讲的知识，一个常见的问题是：间断点可以是极值点吗？答案是肯定的，举四个例子供考生分析
（1）是
的可去间断点，但它是
的极大值点
（2）是
的跳跃间断点，但它是
的极小值点
（3）是
的无穷间断点，但它是
的极小值点
（4）是
的振荡间断点，但它是
的极大值点
2、单调性与极值的判别
（1）单调性的判别
设函数在
上连续，在
内可导。
①如果在内
，且等号仅在有限个点处成立，那么函数
在
上严格单调增加
②如果在内
，且等号仅在有限个点处成立，那么函数
在
上严格单调减少
（2）一阶可导点是极值点的必要条件
设在
处可导，且在点
处取得极值，则必有
注1： 事实上，若为曲线
的极值点，则只有以下两种情况：
1、，如
在
处的情形
2、不存在，如
在
处的情形
注2：
仅能说明在
时，
为
的高阶无穷小，不能说明
，即当
时，
仍然可能是单调的（如
），所以
仅为
在
处取得极值的必要条件。
（3）判别极值的第一充分条件
设在
处连续，且在
的某去心领域
内可导
①若时，
，而
时，
，则
在
处取得极小值
②若时，
，而
时，
，则
在
处取得极大值
③若在
和
内不变号，则
不是极值点
（4）判别极值的第二充分条件
设在
处二阶可导，且
，
①若，则
在
处取得极大值
②若，则
在
处取得极小值
上述第二充分条件可以推广为第三充分条件
（5）判别极值的第三充分条件
设在
处
阶可导，且
①当为偶数且
时，
在
处取得极大值
②当为偶数且
时，
在
处取得极小值
以下仅供参考：证明第三充分条件
3、凹凸性与拐点的概念
（1）凹凸性的定义
定义1 设函数在区间
上连续，如果对
上任意不同两点
，恒有
则称在
上的图形是凹的（或凹弧），如下图所示；如果恒有
则称在
上的图形是凸的（或凹弧），如下图所示
注： 事实上，当图形为凹时，可以将更一般地写为
，其中
定义2 设在
上连续，在
内可导，若对
内的任意
及
，均有
则称在
的图形上是凹的
注：（几何意义）是曲线
在点
处的切线方程，因此几何意义如下图所示。若曲线
在任意点处的切线（除该点外）总在曲线的下方（上方），则该曲线是凹（凸）的。
（2）拐点的定义
连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点
4、凹凸性与拐点的判别
（1）判别凹凸性
设函数在
上二阶可导
①若在上
，则
在
上的图形是凹的
②若在上
，则
在
上的图形是凸的
（2）二阶可导点是拐点的必要条件
设 存在，且点
为曲线的拐点，则
注： 事实上，若点为曲线
的拐点，则只有以下两种情况：
①，如
在
处的情形
②不存在，如
在
处的情形
（3）判别拐点的第一充分条件
设在点
处连续，在点
的某去心领域
内二阶导数存在，且在该点的左、右领域内
变号（无论是由正变负，还是由负变正），则点
为曲线的拐点
注：
（4）判别拐点的第二充分条件
设在
的某领域内三阶可导，且
，则点
为曲线的拐点
（5）判别拐点的第三充分条件
设在
处
阶可导，且
，则当
为奇数时，点
为曲线的拐点
5、极值点与拐点的重要结论
以下结论均可直接使用，不必证明.
①曲线的可导点不可同时为极值点和拐点，曲线的不可导点可同时为极值点和拐点
②设多项式函数，且
，则当
为偶数时，
是
的极值点；当
为奇数时，点
是曲线
的拐点
③设多项式函数，其中
是正整数，
是实数且
两两不等，
记为
的个数，
为
且
为偶数的个数，
为
且
为奇数的个数，则
的极值点个数为
，拐点个数为
。
6、渐近线
（1）铅直渐近线
若（或
），则
为一条铅直渐近线
注：此处的或是函数的无定义点，或是函数定义区间的端点，或是分段函数的分段点
（2）水平渐近线
若，则
为一条水平渐近线；若
，则
为一条水平渐近线；若
，则
为一条水平渐近线
（3）斜渐近线
①若，
，则
是
的一条斜渐近线
②若，
，则
是
的一条斜渐近线
③若
,
，则
是
的一条斜渐近线
7、最值或取值范围
（1）最值的定义
定义3 设为
定义域内一点，若对于
的定义域内任意一点
，均有
（或
）
成立，则称为
的最大值（或最小值）
（2）求区间上连续函数
的最大值
和最小值
①求出在
内的可疑点------驻点与不可导点，并求出这些可疑点的函数值
②求出端点的函数值和
③比较以上所求得的所有函数值，其中最大者为**** 在
上的最大值**
，** 最小者
在
上的最小值**
**
（3）求区间内连续函数
的最值或取值范围
①在
内的可疑点------驻点与不可导点，并求出这些可疑点的函数值
②求两端的单侧极限：若
为有限常数，则求
与
；若
为
，则求
;若
为
，则求
.记以上所求左端极限为
，右端极限为
③比较①，②所得结果，确定最值或取值范围
例题： 求数列的最大项
8、作函数图像
（1）给出函数，作图的一般步骤：
①确定定义域，考查函数是否有奇偶性，周期性，并用好图像变换
②用导数工具（一阶导数确定函数的单调区间、极值点；二阶导数确定曲线的凹凸区间、拐点）
③考查渐近线
④作出函数图像
注：
①若，则
关于
轴对称
②若或
，则
关于
对称
③若，则
关于
轴对称
④若或
，则
关于
对称
⑤若，
关于
点对称
⑥若，
关于
点对称
例题： 画出
9、曲率及曲率半径（仅数一、数二）
设二阶可导，则曲线
在点
处的曲率公式为
曲率半径的计算公式