LeetCode 300. 最长递增子序列
📌 题目描述
题目级别：中等
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
- 示例 1:
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是[2,3,7,101]，因此长度为 4。
💡 解法一：动态规划 (回头找垫脚石)
面对子序列问题，动态规划是最正统的解法。
状态定义：
定义 dp[i] 表示：以 nums[i] 这个数结尾 的最长递增子序列的长度。
(注意：这里必须是以它结尾，这样我们才能确切知道下一个数能不能接在它后面。)
状态转移方程：
假设我们正在考察第 i 个数字，我们如何求它的 dp[i]？
我们只需要回头看它前面的所有数字（假设索引为 j，0 <= j < i）：
只要 nums[i] > nums[j]，说明 nums[i] 可以完美地接在 nums[j] 的后面，形成一个更长的递增子序列。
所以我们在所有符合条件的 j 中，挑一个 dp[j] 最大的接上去，再加上自己本身的长度 1 即可：
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
初始化：
每个数字自己本身就可以构成一个长度为 1 的子序列，所以 dp 数组初始全部赋值为 1。
💻 C++ 代码实现 (DP 法)
cpp
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
if (n == 0) return 0;
// 规范写法：使用 vector 开辟状态数组，并全部初始化为 1
vector<int> dp(n, 1);
int res = 1;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
// 内层循环：回头寻找可以接上去的"垫脚石"
for (int j = 0; j < i; j ++ )
{
if (nums[i] > nums[j]) {
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
// 记录整个过程中出现的最大长度
res = max(res, dp[i]);
}
return res;
}
};进阶挑战：你能将算法的时间复杂度降低到 O(nlogn)O(n \log n)O(nlogn) 吗?
💡 解法二：贪心策略 + 二分查找
为了让递增子序列尽可能的"长"，我们需要秉持一个贪心 的原则：让子序列的增长速度尽可能的慢！
换句话说，每次加进来的数字越小，后面能接上的数字就越多。
我们可以维护一个名为 tails 的数组：
tails[k]表示：长度为k+1的递增子序列中，末尾最小的那个数字。
核心运作机制：
遍历原数组 nums，对于当前数字 num：
- 如果
num比tails数组的最后一个元素还要大 ：
简直完美！说明它可以直接接在当前最长的子序列后面，让最大长度加 1。我们直接把它push_back到tails末尾。 - 如果
num没有比最后一个元素大 ：
它虽然不能增加最长子序列的长度，但它是一个"潜力股"。我们要在tails数组中找到第一个大于等于num的元素 ，并用num去替换 它！
为什么？因为tails数组天然是严格递增的！把较大的末尾元素换成较小的num，不会改变当前子序列的长度，但会让末尾数字变小，为后续接上更多的数字创造了有利条件。
由于 tails 数组是严格递增的，在其中寻找"第一个大于等于 num 的元素"这一步，我们可以直接使用二分查找 ，将这部分的时间从 O(N)O(N)O(N) 降到 O(logN)O(\log N)O(logN)。
💻 C++ 代码实现 (贪心+二分法)
cpp
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
// tails 数组存储当前各个长度的递增子序列的最小末尾元素
vector<int> tails;
for (int num : nums) {
// 如果 tails 为空，或者当前数字大于 tails 的最后一个数字，直接追加
if (tails.empty() || num > tails.back()) {
tails.push_back(num);
}
else {
// 否则，使用二分查找找到 tails 中第一个 >= num 的元素
int l = 0, r = tails.size() - 1;
while (l < r) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if (tails[mid] >= num) {
r = mid; // 目标在左侧或就是 mid
} else {
l = mid + 1; // 目标在右侧
}
}
// 用更小的 num 替换掉原来的较大元素，培养潜力
tails[l] = num;
// 也可以一行代码搞定：
// *lower_bound(tails.begin(), tails.end(), num) = num;
}
}
// tails 数组的最终长度，就是最长递增子序列的长度
return tails.size();
}
};