介绍一下背包DP（C++）

背包DP简介

背包DP是一类经典的动态规划问题，核心思想是通过状态转移方程求解最优解。典型问题包括01背包、完全背包、多重背包等，用于解决有限容量下的物品选择问题。

01背包问题

问题描述：给定容量为W的背包和N个物品，每个物品有重量w[i]和价值v[i]。每个物品只能选或不选，求最大价值。

状态定义

dp[i][j]表示前i个物品在容量j下的最大价值。

状态转移方程

cpp 复制代码

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);

空间优化

使用一维数组逆序更新：

cpp 复制代码

for (int i = 1; i <= N; ++i) {
    for (int j = W; j >= w[i]; --j) {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
    }
}

完全背包问题

问题描述：与01背包类似，但每个物品可以选无限次。

状态转移方程

cpp 复制代码

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i]);

空间优化

正序更新一维数组：

cpp 复制代码

for (int i = 1; i <= N; ++i) {
    for (int j = w[i]; j <= W; ++j) {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
    }
}

多重背包问题

问题描述：每个物品有数量限制s[i]，可转化为01背包或使用二进制优化。

二进制优化

将s[i]拆分为1, 2, 4, ..., 2^k的组合：

cpp 复制代码

for (int i = 1; i <= N; ++i) {
    int cnt = s[i];
    for (int k = 1; k <= cnt; k *= 2) {
        cnt -= k;
        for (int j = W; j >= k * w[i]; --j) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * w[i]] + k * v[i]);
        }
    }
    if (cnt > 0) {
        for (int j = W; j >= cnt * w[i]; --j) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - cnt * w[i]] + cnt * v[i]);
        }
    }
}

代码示例（01背包完整实现）

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int N = 5, W = 10;
    vector<int> w = {0, 2, 3, 4, 5, 6}; // 重量（0占位）
    vector<int> v = {0, 3, 4, 5, 6, 7}; // 价值（0占位）
    vector<int> dp(W + 1, 0);

    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        for (int j = W; j >= w[i]; --j) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    cout << "Max value: " << dp[W] << endl;
    return 0;
}

关键点总结

01背包：逆序更新，避免重复选择。
完全背包：正序更新，允许重复选择。
多重背包：二进制优化降低时间复杂度。
初始化 ：根据问题需求设置dp[0] = 0或其他初始值。