csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【线性扫描贪心】：糖果传递
题目描述
有 n n n 个小朋友坐成一圈，每人有 a i a_i ai 个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为 1 1 1。
输入格式
小朋友个数 n n n，下面 n n n 行 a i a_i ai。
输出格式
求使所有人获得均等糖果的最小代价。
输入输出样例 1
输入 1
4
1
2
5
4输出 1
4说明/提示
对于 100 % 100\% 100% 的数据 1 ≤ n ≤ 10 6 1 \leq n\le 10^6 1≤n≤106， 1 ≤ a i ≤ 1.5 × 10 9 1 \leq a _ i \leq 1.5 \times 10 ^ 9 1≤ai≤1.5×109， ∑ i = 1 n a i \sum_{i=1}^{n}{a_i} ∑i=1nai 是 n n n 的倍数。
思路分析
这是一个经典的环形均分纸牌问题。设总糖果数为 sum，平均值为 avg = sum / n。定义 c[i] = a[i] - avg，表示第 i 个人与平均值的差值。设 x[i] 表示第 i 个人给第 i+1 个人的糖果数（可为负，负表示反向传递），则最终每个小朋友的糖果数变为 a[i] - x[i] + x[i-1]（下标模 n）。令其等于 avg，得到：
x[i] = x[i-1] + c[i]定义前缀和 s[0] = 0，s[i] = s[i-1] + c[i]，则 x[i] = x[0] - s[i-1]。总代价为 ∑|x[i]| = ∑|x[0] - s[i-1]|（i 从 1 到 n）。该式在 x[0] 取 s[0], s[1], ..., s[n-1] 的中位数时最小。因此只需计算前缀和数组 s，排序后取中位数，再累加绝对差即可。
时间复杂度 O(n log n)，空间复杂度 O(n)，可通过 n ≤ 10^6 的数据。
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 5;
int n;
ll a[N], s[N]; // a:原糖果数, s:前缀和(差值累积)
int main() {
// 加速输入输出
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n;
ll sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> a[i];
sum += a[i];
}
ll avg = sum / n; // 平均值
// 计算前缀和s[i] = sum_{j=1}^{i} (a[j] - avg)
// s[0] = 0 隐含，数组从1开始存s[1..n-1]，最后需要0..n-1共n个值
s[0] = 0;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
s[i] = s[i-1] + (a[i] - avg);
}
// 注意：s[n-1] = sum_{1}^{n-1} (a[i]-avg) = - (a[n]-avg)
// 因此总共n个值：s[0], s[1], ..., s[n-1]
// 排序这n个值
sort(s, s + n);
// 取中位数
ll med = s[n / 2];
// 计算最小代价
ll ans = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
ans += abs(s[i] - med);
}
cout << ans << "\n";
return 0;
}功能分析
- 输入处理 ：使用
ios::sync_with_stdio(false)和cin.tie(0)加速，读取小朋友个数n及每个人的糖果数a[i]，同时计算总糖果数sum。 - 平均值计算 ：
avg = sum / n，因为题目保证总和是n的倍数，故avg为整数。 - 构造前缀和数组 ：
s[0] = 0，s[i] = s[i-1] + (a[i] - avg)（i=1..n-1）。得到n个值s[0] ~ s[n-1]。 - 排序取中位数 ：对
s数组排序，中位数为s[n/2]（下标从0开始）。 - 计算最小代价 ：遍历所有
s[i]，累加|s[i] - med|，结果即为最小传递代价。 - 输出：打印答案。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<"########## 一站式掌握信奥赛知识! ##########";
cout<<"############# 冲刺信奥赛拿奖! #############";
cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";
return 0;
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· 文末祝福 ·
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
cout<<" 成就更好的自己！ ";
cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";
return 0;
}