从原始信号到IQ图的数学公式推导

m0_555762902026-04-18 14:36

一、原始信号的数学表示

1.1 带通信号的一般形式

设原始实信号（RF信号或振动信号）为：

s(t)=A(t)⋅cos⁡[ωct+ϕ(t)]s(t) = A(t) \cdot \cos[\omega_c t + \phi(t)]s(t)=A(t)⋅cos[ωct+ϕ(t)]

其中：

  • A(t)A(t)A(t)：时变包络（慢变）
  • ωc=2πfc\omega_c = 2\pi f_cωc=2πfc：载波角频率
  • ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)：时变相位（慢变）

关键条件 ：A(t)A(t)A(t) 和 ϕ(t)\phi(t)ϕ(t) 的变化速率远小于 ωc\omega_cωc（窄带假设）

二、IQ分解的数学原理

2.1 目标

我们希望将 s(t)s(t)s(t) 表示为：

s(t)=I(t)⋅cos⁡(ωct)−Q(t)⋅sin⁡(ωct)s(t) = I(t) \cdot \cos(\omega_c t) - Q(t) \cdot \sin(\omega_c t)s(t)=I(t)⋅cos(ωct)−Q(t)⋅sin(ωct)

其中 I(t)I(t)I(t) 和 Q(t)Q(t)Q(t) 是慢变基带信号。

2.2 推导 I(t)I(t)I(t) 和 Q(t)Q(t)Q(t)

第一步：利用三角恒等式展开

cos⁡[ωct+ϕ(t)]=cos⁡(ωct)cos⁡[ϕ(t)]−sin⁡(ωct)sin⁡[ϕ(t)]\cos[\omega_c t + \phi(t)] = \cos(\omega_c t)\cos[\phi(t)] - \sin(\omega_c t)\sin[\phi(t)]cos[ωct+ϕ(t)]=cos(ωct)cos[ϕ(t)]−sin(ωct)sin[ϕ(t)]

因此：

s(t)=A(t)cos⁡[ϕ(t)]⋅cos⁡(ωct)−A(t)sin⁡[ϕ(t)]⋅sin⁡(ωct)s(t) = A(t)\cos[\phi(t)] \cdot \cos(\omega_c t) - A(t)\sin[\phi(t)] \cdot \sin(\omega_c t)s(t)=A(t)cos[ϕ(t)]⋅cos(ωct)−A(t)sin[ϕ(t)]⋅sin(ωct)

第二步：定义IQ分量

I(t)=A(t)⋅cos⁡[ϕ(t)]\boxed{I(t) = A(t) \cdot \cos[\phi(t)]}I(t)=A(t)⋅cos[ϕ(t)]

Q(t)=A(t)⋅sin⁡[ϕ(t)]\boxed{Q(t) = A(t) \cdot \sin[\phi(t)]}Q(t)=A(t)⋅sin[ϕ(t)]

第三步：验证等价性

将定义代入：
s(t)=I(t)cos⁡(ωct)−Q(t)sin⁡(ωct)✓s(t) = I(t)\cos(\omega_c t) - Q(t)\sin(\omega_c t) \quad \checkmarks(t)=I(t)cos(ωct)−Q(t)sin(ωct)✓

三、从 s(t)s(t)s(t) 提取 I(t)I(t)I(t) 和 Q(t)Q(t)Q(t)

3.1 同相支路（I路）推导

乘法运算：

s(t)⋅2cos⁡(ωct)=2I(t)cos⁡2(ωct)−2Q(t)sin⁡(ωct)cos⁡(ωct)s(t) \cdot 2\cos(\omega_c t) = 2I(t)\cos^2(\omega_c t) - 2Q(t)\sin(\omega_c t)\cos(\omega_c t)s(t)⋅2cos(ωct)=2I(t)cos2(ωct)−2Q(t)sin(ωct)cos(ωct)

应用三角恒等式：

  • 2cos⁡2(θ)=1+cos⁡(2θ)2\cos^2(\theta) = 1 + \cos(2\theta)2cos2(θ)=1+cos(2θ)
  • 2sin⁡(θ)cos⁡(θ)=sin⁡(2θ)2\sin(\theta)\cos(\theta) = \sin(2\theta)2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)

=I(t)[1+cos⁡(2ωct)]−Q(t)sin⁡(2ωct)= I(t)[1 + \cos(2\omega_c t)] - Q(t)\sin(2\omega_c t)=I(t)[1+cos(2ωct)]−Q(t)sin(2ωct)

=I(t)+I(t)cos⁡(2ωct)−Q(t)sin⁡(2ωct)⏟高频分量，中心频率 2fc= I(t) + \underbrace{I(t)\cos(2\omega_c t) - Q(t)\sin(2\omega_c t)}_{\text{高频分量，中心频率 } 2f_c}=I(t)+高频分量，中心频率 2fc I(t)cos(2ωct)−Q(t)sin(2ωct)

低通滤波（截止频率 fLP<2fcf_{LP} < 2f_cfLP<2fc）：

LPF{s(t)⋅2cos⁡(ωct)}=I(t)\text{LPF}\{s(t) \cdot 2\cos(\omega_c t)\} = I(t)LPF{s(t)⋅2cos(ωct)}=I(t)

I(t)=LPF{2⋅s(t)⋅cos⁡(ωct)}\boxed{I(t) = \text{LPF}\{2 \cdot s(t) \cdot \cos(\omega_c t)\}}I(t)=LPF{2⋅s(t)⋅cos(ωct)}

3.2 正交支路（Q路）推导

乘法运算：

s(t)⋅2sin⁡(ωct)=2I(t)cos⁡(ωct)sin⁡(ωct)−2Q(t)sin⁡2(ωct)s(t) \cdot 2\sin(\omega_c t) = 2I(t)\cos(\omega_c t)\sin(\omega_c t) - 2Q(t)\sin^2(\omega_c t)s(t)⋅2sin(ωct)=2I(t)cos(ωct)sin(ωct)−2Q(t)sin2(ωct)

应用三角恒等式：

  • 2sin⁡(θ)cos⁡(θ)=sin⁡(2θ)2\sin(\theta)\cos(\theta) = \sin(2\theta)2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)
  • 2sin⁡2(θ)=1−cos⁡(2θ)2\sin^2(\theta) = 1 - \cos(2\theta)2sin2(θ)=1−cos(2θ)

=I(t)sin⁡(2ωct)−Q(t)[1−cos⁡(2ωct)]= I(t)\sin(2\omega_c t) - Q(t)[1 - \cos(2\omega_c t)]=I(t)sin(2ωct)−Q(t)[1−cos(2ωct)]

=−Q(t)+I(t)sin⁡(2ωct)+Q(t)cos⁡(2ωct)⏟高频分量= -Q(t) + \underbrace{I(t)\sin(2\omega_c t) + Q(t)\cos(2\omega_c t)}_{\text{高频分量}}=−Q(t)+高频分量 I(t)sin(2ωct)+Q(t)cos(2ωct)

低通滤波：

LPF{s(t)⋅2sin⁡(ωct)}=−Q(t)\text{LPF}\{s(t) \cdot 2\sin(\omega_c t)\} = -Q(t)LPF{s(t)⋅2sin(ωct)}=−Q(t)

通常取负号或调整相位，得到：

Q(t)=−LPF{2⋅s(t)⋅sin⁡(ωct)}\boxed{Q(t) = -\text{LPF}\{2 \cdot s(t) \cdot \sin(\omega_c t)\}}Q(t)=−LPF{2⋅s(t)⋅sin(ωct)}

或等价地：

Q(t)=LPF{2⋅s(t)⋅cos⁡(ωct+π2)}Q(t) = \text{LPF}\{2 \cdot s(t) \cdot \cos(\omega_c t + \frac{\pi}{2})\}Q(t)=LPF{2⋅s(t)⋅cos(ωct+2π)}

四、复数基带表示

4.1 解析信号构造

定义复包络（Complex Envelope）：

s~(t)=I(t)+jQ(t)=A(t)ejϕ(t)\boxed{\tilde{s}(t) = I(t) + jQ(t) = A(t)e^{j\phi(t)}}s~(t)=I(t)+jQ(t)=A(t)ejϕ(t)

4.2 解析信号与原始信号的关系

解析信号（Analytic Signal）：

sa(t)=s(t)+js^(t)=s~(t)⋅ejωcts_a(t) = s(t) + j\hat{s}(t) = \tilde{s}(t) \cdot e^{j\omega_c t}sa(t)=s(t)+js^(t)=s~(t)⋅ejωct

其中 s^(t)=H{s(t)}\hat{s}(t) = \mathcal{H}\{s(t)\}s^(t)=H{s(t)} 是希尔伯特变换。

验证：

sa(t)=[I(t)+jQ(t)][cos⁡(ωct)+jsin⁡(ωct)]s_a(t) = [I(t) + jQ(t)][\cos(\omega_c t) + j\sin(\omega_c t)]sa(t)=[I(t)+jQ(t)][cos(ωct)+jsin(ωct)]

=I(t)cos⁡(ωct)−Q(t)sin⁡(ωct)+j[I(t)sin⁡(ωct)+Q(t)cos⁡(ωct)]= I(t)\cos(\omega_c t) - Q(t)\sin(\omega_c t) + j[I(t)\sin(\omega_c t) + Q(t)\cos(\omega_c t)]=I(t)cos(ωct)−Q(t)sin(ωct)+j[I(t)sin(ωct)+Q(t)cos(ωct)]

Re{sa(t)}=I(t)cos⁡(ωct)−Q(t)sin⁡(ωct)=s(t)✓\text{Re}\{s_a(t)\} = I(t)\cos(\omega_c t) - Q(t)\sin(\omega_c t) = s(t) \quad \checkmarkRe{sa(t)}=I(t)cos(ωct)−Q(t)sin(ωct)=s(t)✓

4.3 希尔伯特变换的IQ提取

希尔伯特变换的频域特性：

H{s(t)}↔F−j⋅sgn(f)⋅S(f)\mathcal{H}\{s(t)\} \xleftrightarrow{\mathcal{F}} -j \cdot \text{sgn}(f) \cdot S(f)H{s(t)}F −j⋅sgn(f)⋅S(f)

即：

  • 正频率分量乘以 −j-j−j（相位延迟90°）
  • 负频率分量乘以 +j+j+j（相位超前90°）

因此：

s^(t)=I(t)sin⁡(ωct)+Q(t)cos⁡(ωct)\hat{s}(t) = I(t)\sin(\omega_c t) + Q(t)\cos(\omega_c t)s^(t)=I(t)sin(ωct)+Q(t)cos(ωct)

IQ提取公式：

I(t)=s(t)⋅cos⁡(ωct)+s^(t)⋅sin⁡(ωct)\boxed{I(t) = s(t) \cdot \cos(\omega_c t) + \hat{s}(t) \cdot \sin(\omega_c t)}I(t)=s(t)⋅cos(ωct)+s^(t)⋅sin(ωct)

Q(t)=s^(t)⋅cos⁡(ωct)−s(t)⋅sin⁡(ωct)\boxed{Q(t) = \hat{s}(t) \cdot \cos(\omega_c t) - s(t) \cdot \sin(\omega_c t)}Q(t)=s^(t)⋅cos(ωct)−s(t)⋅sin(ωct)

或更简洁地：

s~(t)=[s(t)+js^(t)]⋅e−jωct=sa(t)⋅e−jωct\tilde{s}(t) = [s(t) + j\hat{s}(t)] \cdot e^{-j\omega_c t} = s_a(t) \cdot e^{-j\omega_c t}s~(t)=[s(t)+js^(t)]⋅e−jωct=sa(t)⋅e−jωct

五、IQ图的数学定义

5.1 散点图（Scatter Plot）

对于离散采样 t=nTst = nT_st=nTs（Ts=1/fsT_s = 1/f_sTs=1/fs）：

IQ图={(I[n],Q[n])∣n=0,1,...,N−1}\text{IQ图} = \{(I[n], Q[n]) \mid n = 0, 1, ..., N-1\}IQ图={(I[n],Q[n])∣n=0,1,...,N−1}

其中：

  • I[n]=I(nTs)I[n] = I(nT_s)I[n]=I(nTs)
  • Q[n]=Q(nTs)Q[n] = Q(nT_s)Q[n]=Q(nTs)

5.2 极坐标转换

幅度：A[n]=I2[n]+Q2[n]=∣s~[n]∣\text{幅度：} A[n] = \sqrt{I^2[n] + Q^2[n]} = |\tilde{s}[n]|幅度：A[n]=I2[n]+Q2[n] =∣s~[n]∣

相位：ϕ[n]=atan2(Q[n],I[n])=arg⁡(s~[n])\text{相位：} \phi[n] = \text{atan2}(Q[n], I[n]) = \arg(\tilde{s}[n])相位：ϕ[n]=atan2(Q[n],I[n])=arg(s~[n])

5.3 星座图（Constellation Diagram）

对于数字调制，在符号判决时刻 t=kTsymt = kT_{sym}t=kTsym：

星座点=s~[k]=I[k]+jQ[k]\text{星座点} = \tilde{s}[k] = I[k] + jQ[k]星座点=s~[k]=I[k]+jQ[k]

理想情况下，星座点应落在标准位置（如QPSK的 ±1±j\pm 1 \pm j±1±j）

六、误差分析数学

6.1 误差矢量（Error Vector）

设理想符号为 sideals_{ideal}sideal，接收符号为 smeass_{meas}smeas：

E⃗=smeas−sideal=(Imeas−Iideal)+j(Qmeas−Qideal)\vec{E} = s_{meas} - s_{ideal} = (I_{meas} - I_{ideal}) + j(Q_{meas} - Q_{ideal})E =smeas−sideal=(Imeas−Iideal)+j(Qmeas−Qideal)

6.2 EVM（误差矢量幅度）

EVMRMS=1N∑k=1N∣smeas,k−sideal,k∣21N∑k=1N∣sideal,k∣2\text{EVM}{RMS} = \sqrt{\frac{\frac{1}{N}\sum{k=1}^{N}|s_{meas,k} - s_{ideal,k}|^2}{\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}|s_{ideal,k}|^2}}EVMRMS=N1∑k=1N∣sideal,k∣2N1∑k=1N∣smeas,k−sideal,k∣2

EVMdB=20log⁡10(EVMRMS)\text{EVM}{dB} = 20\log{10}(\text{EVM}_{RMS})EVMdB=20log10(EVMRMS)

6.3 EVM与SNR的关系

对于高斯白噪声：

SNR≈1EVMRMS2\text{SNR} \approx \frac{1}{\text{EVM}_{RMS}^2}SNR≈EVMRMS21

SNRdB≈−20log⁡10(EVMRMS)=−EVMdB\text{SNR}{dB} \approx -20\log{10}(\text{EVM}{RMS}) = -\text{EVM}{dB}SNRdB≈−20log10(EVMRMS)=−EVMdB

七、完整流程公式总结

复制代码 
┌─────────────────────────────────────────┐
│  输入：实带通信号 s(t)                  │
│  s(t) = A(t)cos[ω_c t + φ(t)]          │
└─────────────────┬───────────────────────┘
                  ↓
┌─────────────────────────────────────────┐
│  步骤1：正交下变频                       │
│                                         │
│  s(t)·2cos(ω_c t) ──LPF──→ I(t)        │
│       = A(t)cos[φ(t)]                   │
│                                         │
│  s(t)·2sin(ω_c t) ──LPF──→ Q(t)        │
│       = A(t)sin[φ(t)]                   │
└─────────────────┬───────────────────────┘
                  ↓
┌─────────────────────────────────────────┐
│  步骤2：构造复基带信号                   │
│                                         │
│  s̃(t) = I(t) + jQ(t) = A(t)e^(jφ(t))   │
│                                         │
│  或等价地（希尔伯特变换）：               │
│  s̃(t) = [s(t) + jĤ{s(t)}]·e^(-jω_c t)  │
└─────────────────┬───────────────────────┘
                  ↓
┌─────────────────────────────────────────┐
│  步骤3：离散采样                         │
│                                         │
│  I[n] = I(nT_s),  Q[n] = Q(nT_s)        │
│                                         │
│  s̃[n] = I[n] + jQ[n]                    │
└─────────────────┬───────────────────────┘
                  ↓
┌─────────────────────────────────────────┐
│  步骤4：绘制IQ图                         │
│                                         │
│  散点图：(I[n], Q[n]) 所有n             │
│  星座图：(I[k], Q[k]) 符号时刻k          │
│                                         │
│  极坐标：A[n] = √(I²+Q²), φ[n]=atan2(Q,I)│
└─────────────────────────────────────────┘

八、振动信号的特例

对于机械振动（fc=frotf_c = f_{rot}fc=frot 转频）：

振动位移：x(t)=Xcos⁡(2πfrott+ϕ0)+噪声\text{振动位移：} x(t) = X\cos(2\pi f_{rot} t + \phi_0) + \text{噪声}振动位移：x(t)=Xcos(2πfrott+ϕ0)+噪声

IQ提取：

I(t)=LPF{x(t)⋅2cos⁡(2πfrott)}≈Xcos⁡(ϕ0)I(t) = \text{LPF}\{x(t) \cdot 2\cos(2\pi f_{rot} t)\} \approx X\cos(\phi_0)I(t)=LPF{x(t)⋅2cos(2πfrott)}≈Xcos(ϕ0)

Q(t)=LPF{x(t)⋅2sin⁡(2πfrott)}≈Xsin⁡(ϕ0)Q(t) = \text{LPF}\{x(t) \cdot 2\sin(2\pi f_{rot} t)\} \approx X\sin(\phi_0)Q(t)=LPF{x(t)⋅2sin(2πfrott)}≈Xsin(ϕ0)

物理意义：

  • (I,Q)(I, Q)(I,Q) 点表示轴心在旋转坐标系中的位置
  • 轨迹的圆心偏移 = 静不平衡量
  • 轨迹的椭圆度 = 不对中/各向异性
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