一、原始信号的数学表示
1.1 带通信号的一般形式
设原始实信号（RF信号或振动信号）为：
s(t)=A(t)⋅cosωct+ϕ(t)s(t) = A(t) \cdot \cos\\omega_c t + \\phi(t)s(t)=A(t)⋅cosωct+ϕ(t)
其中：
- A(t)A(t)A(t)：时变包络（慢变）
- ωc=2πfc\omega_c = 2\pi f_cωc=2πfc：载波角频率
- ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)：时变相位（慢变）
关键条件 ：A(t)A(t)A(t) 和 ϕ(t)\phi(t)ϕ(t) 的变化速率远小于 ωc\omega_cωc（窄带假设）
二、IQ分解的数学原理
2.1 目标
我们希望将 s(t)s(t)s(t) 表示为：
s(t)=I(t)⋅cos(ωct)−Q(t)⋅sin(ωct)s(t) = I(t) \cdot \cos(\omega_c t) - Q(t) \cdot \sin(\omega_c t)s(t)=I(t)⋅cos(ωct)−Q(t)⋅sin(ωct)
其中 I(t)I(t)I(t) 和 Q(t)Q(t)Q(t) 是慢变基带信号。
2.2 推导 I(t)I(t)I(t) 和 Q(t)Q(t)Q(t)
第一步：利用三角恒等式展开
cosωct+ϕ(t)=cos(ωct)cosϕ(t)−sin(ωct)sinϕ(t)\cos\\omega_c t + \\phi(t) = \cos(\omega_c t)\cos\\phi(t) - \sin(\omega_c t)\sin\\phi(t)cosωct+ϕ(t)=cos(ωct)cosϕ(t)−sin(ωct)sinϕ(t)
因此：
s(t)=A(t)cosϕ(t)⋅cos(ωct)−A(t)sinϕ(t)⋅sin(ωct)s(t) = A(t)\cos\\phi(t) \cdot \cos(\omega_c t) - A(t)\sin\\phi(t) \cdot \sin(\omega_c t)s(t)=A(t)cosϕ(t)⋅cos(ωct)−A(t)sinϕ(t)⋅sin(ωct)
第二步：定义IQ分量
I(t)=A(t)⋅cosϕ(t)\boxed{I(t) = A(t) \cdot \cos\\phi(t)}I(t)=A(t)⋅cosϕ(t)
Q(t)=A(t)⋅sinϕ(t)\boxed{Q(t) = A(t) \cdot \sin\\phi(t)}Q(t)=A(t)⋅sinϕ(t)
第三步：验证等价性
将定义代入：
s(t)=I(t)cos(ωct)−Q(t)sin(ωct)✓s(t) = I(t)\cos(\omega_c t) - Q(t)\sin(\omega_c t) \quad \checkmarks(t)=I(t)cos(ωct)−Q(t)sin(ωct)✓
三、从 s(t)s(t)s(t) 提取 I(t)I(t)I(t) 和 Q(t)Q(t)Q(t)
3.1 同相支路（I路）推导
乘法运算：
s(t)⋅2cos(ωct)=2I(t)cos2(ωct)−2Q(t)sin(ωct)cos(ωct)s(t) \cdot 2\cos(\omega_c t) = 2I(t)\cos^2(\omega_c t) - 2Q(t)\sin(\omega_c t)\cos(\omega_c t)s(t)⋅2cos(ωct)=2I(t)cos2(ωct)−2Q(t)sin(ωct)cos(ωct)
应用三角恒等式：
- 2cos2(θ)=1+cos(2θ)2\cos^2(\theta) = 1 + \cos(2\theta)2cos2(θ)=1+cos(2θ)
- 2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)2\sin(\theta)\cos(\theta) = \sin(2\theta)2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)
=I(t)1+cos(2ωct)−Q(t)sin(2ωct)= I(t)1 + \\cos(2\\omega_c t) - Q(t)\sin(2\omega_c t)=I(t)1+cos(2ωct)−Q(t)sin(2ωct)
=I(t)+I(t)cos(2ωct)−Q(t)sin(2ωct)⏟高频分量，中心频率 2fc= I(t) + \underbrace{I(t)\cos(2\omega_c t) - Q(t)\sin(2\omega_c t)}_{\text{高频分量，中心频率 } 2f_c}=I(t)+高频分量，中心频率 2fc I(t)cos(2ωct)−Q(t)sin(2ωct)
低通滤波（截止频率 fLP<2fcf_{LP} < 2f_cfLP<2fc）：
LPF{s(t)⋅2cos(ωct)}=I(t)\text{LPF}\{s(t) \cdot 2\cos(\omega_c t)\} = I(t)LPF{s(t)⋅2cos(ωct)}=I(t)
I(t)=LPF{2⋅s(t)⋅cos(ωct)}\boxed{I(t) = \text{LPF}\{2 \cdot s(t) \cdot \cos(\omega_c t)\}}I(t)=LPF{2⋅s(t)⋅cos(ωct)}
3.2 正交支路（Q路）推导
乘法运算：
s(t)⋅2sin(ωct)=2I(t)cos(ωct)sin(ωct)−2Q(t)sin2(ωct)s(t) \cdot 2\sin(\omega_c t) = 2I(t)\cos(\omega_c t)\sin(\omega_c t) - 2Q(t)\sin^2(\omega_c t)s(t)⋅2sin(ωct)=2I(t)cos(ωct)sin(ωct)−2Q(t)sin2(ωct)
应用三角恒等式：
- 2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)2\sin(\theta)\cos(\theta) = \sin(2\theta)2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)
- 2sin2(θ)=1−cos(2θ)2\sin^2(\theta) = 1 - \cos(2\theta)2sin2(θ)=1−cos(2θ)
=I(t)sin(2ωct)−Q(t)1−cos(2ωct)= I(t)\sin(2\omega_c t) - Q(t)1 - \\cos(2\\omega_c t)=I(t)sin(2ωct)−Q(t)1−cos(2ωct)
=−Q(t)+I(t)sin(2ωct)+Q(t)cos(2ωct)⏟高频分量= -Q(t) + \underbrace{I(t)\sin(2\omega_c t) + Q(t)\cos(2\omega_c t)}_{\text{高频分量}}=−Q(t)+高频分量 I(t)sin(2ωct)+Q(t)cos(2ωct)
低通滤波：
LPF{s(t)⋅2sin(ωct)}=−Q(t)\text{LPF}\{s(t) \cdot 2\sin(\omega_c t)\} = -Q(t)LPF{s(t)⋅2sin(ωct)}=−Q(t)
通常取负号或调整相位，得到：
Q(t)=−LPF{2⋅s(t)⋅sin(ωct)}\boxed{Q(t) = -\text{LPF}\{2 \cdot s(t) \cdot \sin(\omega_c t)\}}Q(t)=−LPF{2⋅s(t)⋅sin(ωct)}
或等价地：
Q(t)=LPF{2⋅s(t)⋅cos(ωct+π2)}Q(t) = \text{LPF}\{2 \cdot s(t) \cdot \cos(\omega_c t + \frac{\pi}{2})\}Q(t)=LPF{2⋅s(t)⋅cos(ωct+2π)}
四、复数基带表示
4.1 解析信号构造
定义复包络（Complex Envelope）：
s~(t)=I(t)+jQ(t)=A(t)ejϕ(t)\boxed{\tilde{s}(t) = I(t) + jQ(t) = A(t)e^{j\phi(t)}}s~(t)=I(t)+jQ(t)=A(t)ejϕ(t)
4.2 解析信号与原始信号的关系
解析信号（Analytic Signal）：
sa(t)=s(t)+js^(t)=s~(t)⋅ejωcts_a(t) = s(t) + j\hat{s}(t) = \tilde{s}(t) \cdot e^{j\omega_c t}sa(t)=s(t)+js^(t)=s~(t)⋅ejωct
其中 s^(t)=H{s(t)}\hat{s}(t) = \mathcal{H}\{s(t)\}s^(t)=H{s(t)} 是希尔伯特变换。
验证：
sa(t)=I(t)+jQ(t)cos(ωct)+jsin(ωct)s_a(t) = I(t) + jQ(t)\\cos(\\omega_c t) + j\\sin(\\omega_c t)sa(t)=I(t)+jQ(t)cos(ωct)+jsin(ωct)
=I(t)cos(ωct)−Q(t)sin(ωct)+jI(t)sin(ωct)+Q(t)cos(ωct)= I(t)\cos(\omega_c t) - Q(t)\sin(\omega_c t) + jI(t)\\sin(\\omega_c t) + Q(t)\\cos(\\omega_c t)=I(t)cos(ωct)−Q(t)sin(ωct)+jI(t)sin(ωct)+Q(t)cos(ωct)
Re{sa(t)}=I(t)cos(ωct)−Q(t)sin(ωct)=s(t)✓\text{Re}\{s_a(t)\} = I(t)\cos(\omega_c t) - Q(t)\sin(\omega_c t) = s(t) \quad \checkmarkRe{sa(t)}=I(t)cos(ωct)−Q(t)sin(ωct)=s(t)✓
4.3 希尔伯特变换的IQ提取
希尔伯特变换的频域特性：
H{s(t)}↔F−j⋅sgn(f)⋅S(f)\mathcal{H}\{s(t)\} \xleftrightarrow{\mathcal{F}} -j \cdot \text{sgn}(f) \cdot S(f)H{s(t)}F −j⋅sgn(f)⋅S(f)
即：
- 正频率分量乘以 −j-j−j（相位延迟90°）
- 负频率分量乘以 +j+j+j（相位超前90°）
因此：
s^(t)=I(t)sin(ωct)+Q(t)cos(ωct)\hat{s}(t) = I(t)\sin(\omega_c t) + Q(t)\cos(\omega_c t)s^(t)=I(t)sin(ωct)+Q(t)cos(ωct)
IQ提取公式：
I(t)=s(t)⋅cos(ωct)+s^(t)⋅sin(ωct)\boxed{I(t) = s(t) \cdot \cos(\omega_c t) + \hat{s}(t) \cdot \sin(\omega_c t)}I(t)=s(t)⋅cos(ωct)+s^(t)⋅sin(ωct)
Q(t)=s^(t)⋅cos(ωct)−s(t)⋅sin(ωct)\boxed{Q(t) = \hat{s}(t) \cdot \cos(\omega_c t) - s(t) \cdot \sin(\omega_c t)}Q(t)=s^(t)⋅cos(ωct)−s(t)⋅sin(ωct)
或更简洁地：
s~(t)=s(t)+js\^(t)⋅e−jωct=sa(t)⋅e−jωct\tilde{s}(t) = s(t) + j\\hat{s}(t) \cdot e^{-j\omega_c t} = s_a(t) \cdot e^{-j\omega_c t}s~(t)=s(t)+js\^(t)⋅e−jωct=sa(t)⋅e−jωct
五、IQ图的数学定义
5.1 散点图（Scatter Plot）
对于离散采样 t=nTst = nT_st=nTs（Ts=1/fsT_s = 1/f_sTs=1/fs）：
IQ图={(In,Qn)∣n=0,1,...,N−1}\text{IQ图} = \{(In, Qn) \mid n = 0, 1, ..., N-1\}IQ图={(In,Qn)∣n=0,1,...,N−1}
其中：
- In=I(nTs)In = I(nT_s)In=I(nTs)
- Qn=Q(nTs)Qn = Q(nT_s)Qn=Q(nTs)
5.2 极坐标转换
幅度：An=I2n+Q2n=∣s~n∣\text{幅度：} An = \sqrt{I^2n + Q^2n} = |\tilde{s}n|幅度：An=I2n+Q2n =∣s~n∣
相位：ϕn=atan2(Qn,In)=arg(s~n)\text{相位：} \phin = \text{atan2}(Qn, In) = \arg(\tilde{s}n)相位：ϕn=atan2(Qn,In)=arg(s~n)
5.3 星座图（Constellation Diagram）
对于数字调制，在符号判决时刻 t=kTsymt = kT_{sym}t=kTsym：
星座点=s~k=Ik+jQk\text{星座点} = \tilde{s}k = Ik + jQk星座点=s~k=Ik+jQk
理想情况下，星座点应落在标准位置（如QPSK的 ±1±j\pm 1 \pm j±1±j）
六、误差分析数学
6.1 误差矢量（Error Vector）
设理想符号为 sideals_{ideal}sideal，接收符号为 smeass_{meas}smeas：
E⃗=smeas−sideal=(Imeas−Iideal)+j(Qmeas−Qideal)\vec{E} = s_{meas} - s_{ideal} = (I_{meas} - I_{ideal}) + j(Q_{meas} - Q_{ideal})E =smeas−sideal=(Imeas−Iideal)+j(Qmeas−Qideal)
6.2 EVM（误差矢量幅度）
EVMRMS=1N∑k=1N∣smeas,k−sideal,k∣21N∑k=1N∣sideal,k∣2\text{EVM}{RMS} = \sqrt{\frac{\frac{1}{N}\sum{k=1}^{N}|s_{meas,k} - s_{ideal,k}|^2}{\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}|s_{ideal,k}|^2}}EVMRMS=N1∑k=1N∣sideal,k∣2N1∑k=1N∣smeas,k−sideal,k∣2
EVMdB=20log10(EVMRMS)\text{EVM}{dB} = 20\log{10}(\text{EVM}_{RMS})EVMdB=20log10(EVMRMS)
6.3 EVM与SNR的关系
对于高斯白噪声：
SNR≈1EVMRMS2\text{SNR} \approx \frac{1}{\text{EVM}_{RMS}^2}SNR≈EVMRMS21
SNRdB≈−20log10(EVMRMS)=−EVMdB\text{SNR}{dB} \approx -20\log{10}(\text{EVM}{RMS}) = -\text{EVM}{dB}SNRdB≈−20log10(EVMRMS)=−EVMdB
七、完整流程公式总结
┌─────────────────────────────────────────┐
│ 输入：实带通信号 s(t) │
│ s(t) = A(t)cos[ω_c t + φ(t)] │
└─────────────────┬───────────────────────┘
↓
┌─────────────────────────────────────────┐
│ 步骤1：正交下变频 │
│ │
│ s(t)·2cos(ω_c t) ──LPF──→ I(t) │
│ = A(t)cos[φ(t)] │
│ │
│ s(t)·2sin(ω_c t) ──LPF──→ Q(t) │
│ = A(t)sin[φ(t)] │
└─────────────────┬───────────────────────┘
↓
┌─────────────────────────────────────────┐
│ 步骤2：构造复基带信号 │
│ │
│ s̃(t) = I(t) + jQ(t) = A(t)e^(jφ(t)) │
│ │
│ 或等价地（希尔伯特变换）： │
│ s̃(t) = [s(t) + jĤ{s(t)}]·e^(-jω_c t) │
└─────────────────┬───────────────────────┘
↓
┌─────────────────────────────────────────┐
│ 步骤3：离散采样 │
│ │
│ I[n] = I(nT_s), Q[n] = Q(nT_s) │
│ │
│ s̃[n] = I[n] + jQ[n] │
└─────────────────┬───────────────────────┘
↓
┌─────────────────────────────────────────┐
│ 步骤4：绘制IQ图 │
│ │
│ 散点图：(I[n], Q[n]) 所有n │
│ 星座图：(I[k], Q[k]) 符号时刻k │
│ │
│ 极坐标：A[n] = √(I²+Q²), φ[n]=atan2(Q,I)│
└─────────────────────────────────────────┘八、振动信号的特例
对于机械振动（fc=frotf_c = f_{rot}fc=frot 转频）：
振动位移：x(t)=Xcos(2πfrott+ϕ0)+噪声\text{振动位移：} x(t) = X\cos(2\pi f_{rot} t + \phi_0) + \text{噪声}振动位移：x(t)=Xcos(2πfrott+ϕ0)+噪声
IQ提取：
I(t)=LPF{x(t)⋅2cos(2πfrott)}≈Xcos(ϕ0)I(t) = \text{LPF}\{x(t) \cdot 2\cos(2\pi f_{rot} t)\} \approx X\cos(\phi_0)I(t)=LPF{x(t)⋅2cos(2πfrott)}≈Xcos(ϕ0)
Q(t)=LPF{x(t)⋅2sin(2πfrott)}≈Xsin(ϕ0)Q(t) = \text{LPF}\{x(t) \cdot 2\sin(2\pi f_{rot} t)\} \approx X\sin(\phi_0)Q(t)=LPF{x(t)⋅2sin(2πfrott)}≈Xsin(ϕ0)
物理意义：
- (I,Q)(I, Q)(I,Q) 点表示轴心在旋转坐标系中的位置
- 轨迹的圆心偏移 = 静不平衡量
- 轨迹的椭圆度 = 不对中/各向异性