csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【线性扫描贪心】：均分纸牌

题目描述

有 N N N 堆纸牌，编号分别为 1 , 2 , ... , N 1,2,\ldots,N 1,2,...,N。每堆上有若干张，但纸牌总数必为 N N N 的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动。

移牌规则为：在编号为 1 1 1 堆上取的纸牌，只能移到编号为 2 2 2 的堆上；在编号为 N N N 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N − 1 N-1 N−1 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。

现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。

例如 N = 4 N=4 N=4 时， 4 4 4 堆纸牌数分别为 9 , 8 , 17 , 6 9,8,17,6 9,8,17,6。

移动 3 3 3 次可达到目的：

从第三堆取 4 4 4 张牌放到第四堆，此时每堆纸牌数分别为 9 , 8 , 13 , 10 9,8,13,10 9,8,13,10。
从第三堆取 3 3 3 张牌放到第二堆，此时每堆纸牌数分别为 9 , 11 , 10 , 10 9,11,10,10 9,11,10,10。
从第二堆取 1 1 1 张牌放到第一堆，此时每堆纸牌数分别为 10 , 10 , 10 , 10 10,10,10,10 10,10,10,10。

输入格式

第一行共一个整数 N N N，表示纸牌堆数。

第二行共 N N N 个整数 A 1 , A 2 , ... , A N A_1,A_2,\ldots,A_N A1,A2,...,AN，表示每堆纸牌初始时的纸牌数。

输出格式

共一行，即所有堆均达到相等时的最少移动次数。

输入输出样例 1

输入 1

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4
9 8 17 6

输出 1

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说明/提示

对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ N ≤ 100 1 \le N \le 100 1≤N≤100， 1 ≤ A i ≤ 10000 1 \le A_i \le 10000 1≤Ai≤10000。

分析思路

本题要求通过最少的相邻移动次数，使所有堆的纸牌数相等。

已知纸牌总数是堆数 N 的倍数，因此平均值 avg = 总牌数 / N。

贪心策略：从左到右依次处理每一堆。

若当前堆的纸牌数不等于 avg，则必须通过一次移动（与右边相邻堆交换）来调整。
具体地，计算当前堆与平均值的差值 d = a[i] - avg，然后将这个差值移动到下一堆（即 a[i+1] += d），同时移动次数加 1。
这样处理后，当前堆就变成了 avg，而差值的影响传递给了下一堆。
继续处理下一堆，直到最后一堆（最后一堆必然已是 avg，无需再移动）。

正确性 ：

每次移动只涉及相邻两堆，且保证已处理过的左边部分全部达到平均值，不会因为后续调整而破坏。这种局部最优策略最终得到全局最优解，移动次数即为需要调整的堆数（即 a[i] != avg 的堆数，但不包括最后一堆）。

时间复杂度 O(N)，空间复杂度 O(N)。

代码实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>  
using namespace std;

int n;  // 堆数
int a[105]; // 每堆纸牌数，最大 N=100，开稍大一点
int s, avg, ans; // s:总和, avg:平均值, ans:最少移动次数

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
        s += a[i]; // 累加总张数
    }
    avg = s / n; // 计算平均值（题目保证整除）

    for (int i = 1; i < n; ++i) {   // 只处理到第 n-1 堆
        if (a[i] != avg) {
            // 当前堆与平均值的差值，移动到下一堆
            int d = a[i] - avg;
            a[i+1] += d;
            ans++; // 发生一次移动
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

功能分析

输入

第一行：整数 N（1 ≤ N ≤ 100）
第二行：N 个整数，表示每堆初始纸牌数（1 ≤ Ai ≤ 10000）

处理

计算总和 s 和平均值 avg。
从左到右扫描前 N-1 堆：
- 若当前堆不等于平均值，则将其与平均值的差值（可正可负）加到下一堆，并计数一次。
输出计数结果。

输出

一个整数，即最少移动次数。

样例验证

输入：

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4
9 8 17 6

总和 = 40，avg = 10
i=1: a $1$ =9 ≠10 → d=-1 → a $2$ =8+(-1)=7, ans=1
i=2: a $2$ =7 ≠10 → d=-3 → a $3$ =17+(-3)=14, ans=2
i=3: a $3$ =14 ≠10 → d=4 → a $4$ =6+4=10, ans=3
输出 3，与题目示例一致。

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"##########  一站式掌握信奥赛知识!  ##########";
	cout<<"#############  冲刺信奥赛拿奖!  #############";
	cout<<"######  课程购买后永久学习，不受限制!   ######";
	return 0;
}

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
	cout<<"    成就更好的自己！       ";
	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}