LeetCode 120. 三角形最小路径和：动态规划详解

在LeetCode的动态规划题目中，「三角形最小路径和」是一道经典的入门级题目，它既考察了对动态规划核心思想的理解，也需要我们结合题目特性设计合理的状态转移方程。今天就来一步步拆解这道题，从题目分析到代码实现，再到思路优化，帮你彻底搞懂这道题的解题逻辑。

一、题目回顾：明确需求与约束

题目给出一个三角形 triangle，要求找出自顶向下的最小路径和，核心约束如下：

每一步只能移动到下一行中「相邻的结点」；
相邻结点定义：当前行下标为 i，下一步可移动到下一行的 i 或 i+1 下标；
三角形的行数不固定，每一行的元素个数等于当前行的行号（从0开始计数的话，第0行1个元素，第1行2个元素，以此类推）。

举个简单示例：若三角形为 [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]，自顶向下的最小路径和为 2→3→5→1 = 11。

二、解题思路：为什么用动态规划？

这道题的核心是「求最小路径和」，而路径的选择具有「重叠子问题」和「最优子结构」，这正是动态规划的适用场景：

重叠子问题：到达第 i 行第 j 个元素的最小路径和，依赖于到达第 i-1 行第 j 个和第 j-1 个元素的最小路径和（除了边界情况）；
最优子结构：到达第 i 行第 j 个元素的最小路径和，是其上方两个可能路径的最小路径和加上当前元素的值，即「局部最优推导全局最优」。

因此，我们可以用动态规划的思路，通过构建一个DP数组，逐步计算每一步的最小路径和，最终得到整个三角形的最小路径和。

三、代码逐行解析：读懂每一步的意义

先给出完整的解题代码（题目要求的TypeScript版本），再逐行拆解其逻辑：

typescript 复制代码

function minimumTotal(triangle: number[][]): number {
  const Len = triangle.length;
  const dp: number[][] = new Array(Len);
  for (let i = 0; i < Len; i++) {
    dp[i] = new Array(i + 1).fill(0);
  }
  dp[0][0] = triangle[0][0];
  for (let i = 1; i < Len; i++) {
    for (let j = 0; j <= i; j++) {
      if (j === 0) {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j] + triangle[i][j];
      } else if (j === i) {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + triangle[i][j];
      } else {
        dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + triangle[i][j];
      }
    }
  }
  return Math.min(...dp[Len - 1]);
};

1. 初始化DP数组

首先获取三角形的行数 Len，然后创建一个二维DP数组 dp，其中 dp[i][j] 表示「到达第 i 行第 j 个元素的最小路径和」。

由于第 i 行有 i+1 个元素（行号从0开始），所以我们通过循环给每一行的DP数组初始化，长度为 i+1，初始值填充为0。

2. 边界条件：三角形顶部

三角形的顶部只有一个元素（第0行第0列），到达这个元素的路径只有一条，所以 dp[0][0] = triangle[0][0]，这是整个DP数组的起始值。

3. 状态转移：填充DP数组

从第1行开始（因为第0行已经初始化），逐行逐列填充DP数组，分三种情况讨论：

当 j === 0（当前列是当前行的第一列）：只能从上层的第一列（j=0）移动过来，所以 dp[i][j] = dp[i-1][j] + triangle[i][j]；
当 j === i（当前列是当前行的最后一列）：只能从上层的最后一列（j-1）移动过来，所以 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + triangle[i][j]；
其他情况（中间列）：可以从上层的 j 列或 j-1 列移动过来，取两者的最小值，再加上当前元素的值，即 dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + triangle[i][j]。

4. 最终结果：取最后一行的最小值

DP数组填充完成后，最后一行的每个元素 dp[Len-1][j]，分别表示到达三角形底部每一个元素的最小路径和。我们只需要取这一行的最小值，就是整个三角形的最小路径和，用 Math.min(...dp[Len-1]) 即可实现。

四、代码测试：验证逻辑正确性

用前面提到的示例 triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]] 测试代码：

初始化DP数组为 [[0], [0,0], [0,0,0], [0,0,0,0]]；
设置 dp[0][0] = 2；
第1行（i=1）：j=0 → dp $1$ $0$ = 2+3=5；j=1 → dp $1$ $1$ = 2+4=6；
第2行（i=2）：j=0 → 5+6=11；j=1 → min(5,6)+5=10；j=2 → 6+7=13；
第3行（i=3）：j=0 → 11+4=15；j=1 → min(11,10)+1=11；j=2 → min(10,13)+8=18；j=3 →13+3=16；
最后一行最小值为 11，与预期结果一致，代码正确。

五、优化方向：空间复杂度优化

上面的代码空间复杂度是 O(n²)（n为三角形行数），因为我们创建了一个和三角形大小一致的DP数组。但实际上，我们可以优化到 O(n)，核心思路是「滚动数组」：

观察状态转移方程，我们发现第 i行的DP值，只依赖于第 i-1 行的DP值，因此不需要保存整个二维数组，只需要一个一维数组，不断覆盖更新即可。

优化后的代码（TypeScript）：

typescript 复制代码

function minimumTotal(triangle: number[][]): number {
  const Len = triangle.length;
  let dp: number[] = new Array(Len).fill(0);
  dp[0] = triangle[0][0];
  for (let i = 1; i < Len; i++) {
    // 从后往前更新，避免覆盖上一行未使用的值
    for (let j = i; j >= 0; j--) {
      if (j === 0) {
        dp[j] = dp[j] + triangle[i][j];
      } else if (j === i) {
        dp[j] = dp[j - 1] + triangle[i][j];
      } else {
        dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - 1]) + triangle[i][j];
      }
    }
  }
  return Math.min(...dp);
};

注意：优化后需要「从后往前」更新一维数组，因为如果从前往后更新，会覆盖上一行的 dp[j-1]，导致后续计算出错。

六、总结：解题关键与易错点

解题关键

明确DP数组的定义：dp[i][j] 表示到达第 i 行第 j 个元素的最小路径和；
区分边界情况（第一列和最后一列）和中间情况，正确写出状态转移方程；
最终结果是最后一行的最小值。

易错点

忽略边界条件：忘记第一列只能从上层第一列过来，最后一列只能从上层最后一列过来；
DP数组初始化错误：第 i 行的长度应该是 i+1，而非固定长度；
空间优化时，从前往后更新一维数组，导致数据覆盖出错。

这道题虽然简单，但却是动态规划思想的典型应用，掌握它的解题逻辑，能为后续解决更复杂的DP问题打下基础。