day28-数据结构力扣

今天开始学动态规划

其实动态规划这个部分一直都挺难的,一般包含：背包问题，打家劫舍，股票问题，子序列问题

对于动态规划问题，拆解为如下五步曲：

动态规划理论基础 | 动态规划 | 状态推导 | dp数组 | 代码随想录

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的

自己思考这三个问题：

这道题目我举例推导状态转移公式了么？
我打印dp数组的日志了么？
打印出来了dp数组和我想的一样么？

509. 斐波那契数

题目链接 509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）

思路

什么是斐波那契数？

斐波那契数是一个整数序列，其中每个数是前两个数的和。序列通常以 0 和 1 开始，后续数字依次为 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21......数学上，斐波那契数列的递推关系为：

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n-1) + F(n-2) （n ≥ 2）

斐波那契数列具有许多有趣的数学特性：

黄金分割比：随着 n 增大，F(n+1)/F(n) 趋近于黄金比例 (1 + √5)/2 ≈ 1.618。
组合意义：斐波那契数表示用 1×1 和 1×2 的方块铺满 1×n 棋盘的方法数。
矩阵表示：可通过矩阵幂运算高效计算斐波那契数。

动态规划思想

1.确定dp数组下标及其含义 dp $i$ :第i个斐波那契值为dp $i$

2.递推公式 dp $i$ =dp $i-1$ +dp $i-2$

3.dp数组如何初始化 dp $0$ =0 dp $1$ =1

4.遍历顺序从前往后遍历

5.打印dp数组

提交

python 复制代码

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
       
        # 排除 Corner Case
        if n == 0:
            return 0
        
        # 创建 dp table 
        dp = [0] * (n + 1)

        # 初始化 dp 数组
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1

        # 遍历顺序: 由前向后。因为后面要用到前面的状态
        for i in range(2, n + 1):

            # 确定递归公式/状态转移公式
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        
        # 返回答案
        return dp[n]

70. 爬楼梯

题目链接70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

思路

1.确定dp数组下标及其含义 dp $i$ :i个台阶需要dp $i$ 种方法

2.递推公式 dp $i$ =dp $i-1$ +dp $i-2$ （我把n=1,2,3,4推了一下，然后看他们数值之间的关系）

3.dp数组如何初始化 dp $0$ =0 dp $1$ =1

4.遍历顺序从前往后遍历

5.打印dp数组

那就是和上个题差不多，只是看起来形式不太一样

提交

但是这里需要注意，初始化应该多初始化一个dp $2$ =2

因为他不符合我们的递推式，所以要单独写出来

然后遍历就往后移一位

python 复制代码

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n==0:
            return 0
        if n==1:
            return 1
        dp=[0]*(n+1)
        dp[0]=0
        dp[1]=1
        dp[2]=2

        for i in range(3,n+1):
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

        return dp[n]

746. 使用最小花费爬楼梯

题目链接746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

思路

1.确定dp数组下标及其含义 dp $i$ :到台阶i所需要的最小费用

2.递推公式

这里到i之后可能爬1阶，也可能2阶

dp $i$ =min(dp $i-1$ , dp $i-2$ )+cost $i$

含义：

要到第 i 阶，只能从 i-1 爬 1 步或从 i-2 爬 2 步
取两者中花费更小的，再加上当前台阶的费用 cost[i]

这个递推公式我没想出来

3.dp数组如何初始化 dp $0$ =cost $0$ dp $1$ =cost $1$

4.遍历顺序从前往后遍历

5.打印dp数组

提交

python 复制代码

class Solution:
    def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
        n=len(cost)
        if n==0:
            return 0
        if n<=2:
            return min(cost)
        dp=[0]*(n+1)
        cost.append(0)

        dp[0]=cost[0]
        dp[1]=cost[1]
        for i in range(2,n+1):
            dp[i]=min(dp[i-1],dp[i-2])+cost[i]
        print(dp)
        return dp[n]