2025年国赛高教社杯数学建模
D题 矿井突水水流漫延模型与逃生方案
原题再现
矿井水灾是矿山安全开采生产"五大灾害"之首，易造成重大人员伤亡和财产损失。由于矿井水文地质条件复杂，矿井水灾害事故难以避免。当水灾发生时，若能快速推演出突水水流的漫延过程，制订科学的救灾方案和逃生线路，就能降低涉险人员的危险性，减少经济损失。
矿井巷道系统根据矿藏分布和矿脉走向布局，通常形成复杂的立体交叉三维网络结构。巷道断面存在多种类型（如矩形、拱形、梯形等），本赛题仅考虑矩形断面，断面底边与水平面平行，如图1(a)所示。一段巷道用其两端断面底边中点的连线来表示，如图1(b)所示的巷道用线段 𝐴𝐵 表示。
图2是一个矿井巷道网络的示意图，其中黑点表示巷道断面底边的中点，红点表示矿井网络的出入口，两点之间的线段表示矿井的一段巷道。附件1和附件2给出了两个不同的矿井巷道网络数据。
假设巷道的断面是宽4 m，高3 m的矩形，突水水流以0.1 m的初始水位（水流首次到达后能够保持的高度）向前漫延。当水流漫延到巷道的分叉节点处时，水流向水平巷道和下行巷道平均分流，且初始水位不变。以开始突水时间为零时刻，各突水点的突水量均为 30 m3⁄min。
请建立数学模型，解决以下问题：
问题1 若巷道的某一点发生突水，试分析水流过程，建立突水水流在巷道的流动漫延模型。 对附件1和附件2给出的两个矿井巷道网络，分别给出网络中各巷道水流的变化情况，其中附件1中的突水点位置为A1 (5349.03,4931.90,10.00)，附件 2 中的突水点位置为 A2 (4143.12,4376.28,6.33)。将结果分别保存到文件 result1-1.xlsx 和 result1-2.xlsx 中（模板文件在附件3中，所有结果均保留2位小数，下同），其中端点水流到达时刻是指突水水流首次流经该点的时刻，巷道充满水时刻是指巷道中水流的水平面达到巷道最高点的时刻。
问题2 当矿井发生突水后，安全生产部门即刻监控到突水情况，并应尽快为每个工人的制订出有效逃生方案。请根据问题1中所建水流漫延模型，协助安全生产部门为各矿工设计最佳逃生路径。 假设工人在无突水水流巷道时，前进速度为4 m/s；巷道内水面高度小于等于0.3 m时，工人逆水行进速度为1 m/s，顺水行进速度为2 m/s；当巷道内水面高度为超过0.3 m时，不建议涉水通行。 假设在突水1分钟时发布逃生通知，请对附件1和附件2给出的两个矿井巷道网络，分别给出各矿工的最佳逃生路径，其中附件1中的出入口位置分别为 (3252.16,3326.63,10.00)，(3173.10,2819.97,10.00)，矿工的位置分别为 (5808.18,5367.75,10.00)，(5194.00,4785.31, 10.00)，(6190.81,3434.29,10.00)；附件2中的出入口位置分别为 (6336.99,6073.22,36.15)，(6416.05,6579.88,8.69)，矿工的位置分别为 (4395.15,4614.53,6.59)，(3398.34,5965.56, 1.31)，(3879.44,4125.47,6.22)。将结果分别保存到文件 result2-1.xlsx 和 result2-2.xlsx 中（模板文件在附件3中）。
问题3 若矿井有两个突水点发生突水，分析水流过程，建立突水水流在巷道的流动漫延模型。 对附件1和附件2给出的两个矿井巷道网络，分别给出网络中各巷道水流的变化情况，其中附件1中第二个突水点的位置为B1 (3760.40,3808.33,10.00)，在A1点突水4分钟后开始突水；附件2中第二个突水点的位置为B2 (5883.14,5643.35,40.37)，在 A2 点突水 5分钟后开始突水。将结果分别保存到文件result3-1.xlsx和result3-2.xlsx中（模板文件在附件3 中）。
问题4 当矿井出现第二个突水点后，安全生产部门即刻监控到突水情况，并尽快调整逃生方案。请协助安全生产部门调整最佳逃生路径。 在前面问题的基础上，假设在第二突水点突水1分钟后，安全生产部门发布调整后的逃生方案。对附件1和附件2给出的两个矿井巷道网络，分别给出各矿工调整后的最佳逃生路径。请将结果分别保存到文件result4-1.xlsx和result4-2.xlsx 中（模板文件在附件3中）。
整体求解过程概述(摘要)
矿井水灾作为矿山安全生产 "五大灾害" 之首，具有突发性强、致灾范围广、伤亡率高、次生灾害链复杂的特征，是威胁深部矿山安全生产的核心风险源之一。我国多数矿井水文地质条件具有多含水层、高承压水、巷道网络拓扑复杂的特点，突水发生后，水流在巷道内的非均匀漫延过程存在强烈的时空动态耦合效应，传统静态风险评估与逃生路径规划方法难以适配突水过程中水位动态演化、巷道通行条件快速变化的复杂场景，极易导致应急处置延误与人员伤亡扩大。为突破现有研究的局限性，降低涉险人员的生命安全风险，减少矿山企业的经济损失与社会影响，本文以突水水流在矿井巷道网络中的多模式漫延过程为核心研究对象，构建了集 "水流动力学建模 - 水位时空演化预测 - 动态逃生路径优化" 于一体的实时动态分析框架，系统开展了单突水点、双突水点、延时突水等多工况下的水流漫延规律分析与应急逃生方案设计，为矿井突水事故的科学应急处置提供了理论支撑与技术参考。
首先，本文依托矿井巷道拓扑数据（附件一、附件二），基于 Python 实现了矿井巷道网络的二维平面可视化与三维立体建模，精准定位了突水点 A1、A2 位置分别在二维平面图和三维立体图的 "H0399" 巷道。在此基础上，针对单突水点工况下水流在巷道内的动态漫延过程，提出了多场景耦合的平面突水水流漫延动力学模型。该模型综合考虑了巷道封闭状态与水流连续性的不同组合，构建了三类基础漫延模型：无封闭无断流模型、封闭无断流模型、无封闭断流模型，通过巷道几何参数（长度、截面尺寸）与突水点流量的耦合计算，推导了水流在单条巷道内的传输时间公式；进一步采用顶点集扩展的方式，将水流首次到达各端点的最短时间作为核心约束，通过动态顶点集迭代的方式，完整覆盖巷道网络所有节点，实现了水流漫延过程的全域追踪。巷道突水先后到达 0.1m 后，再同时逐步上升到 0.3m，直至上升到 3m 灌满整个巷道。通过上述模型，得到以下结论：（1）铺满巷道全域浅层积水时间为 1586.72min；（2）所有巷道水位高度到达 0.3m 临界安全水位的时间为 4892.35min；（3）全域巷道完全灌满饱和的时间为 49873.45min，实现了单突水点水流漫延过程的全周期时空预测。
其次，针对附件二含高程落差约束的巷道网络水流漫延问题，首先筛选出等于和低于突水位置的端点，并利用上述模型，求出形成平面集合包含的所有端点，集合中的端点已铺满 0.1m 浅层积水，以此找出筛选出但未在集合中的端点，采用 BFS 广度优先模型搜索这些端点对应巷道的另一个端点。接着将模型简化为以形成的平面为基础，从低到高，突水以平行于平面方向上漫延，直至到达 3m，灌满整个巷道。在整个过程中，铺满和灌满同步递进推演，且灌满整个巷道的时间即为水体抵达最远高位节点的极限时长，全域完全淹没历时为 49657.83min。
随后，针对突水发生后的应急逃生路径优化问题，本文构建了基于实时动态网络的 Dijkstra 算法优化模型。根据突水 1 分钟后所有矿工均处于无突水水流巷道的初始条件，以巷道内水位超过 0.3m 作为人员安全撤离的临界判定标准，结合单突水点工况下的水位时空演化结果，根据端点水流到达时刻的先后顺序确定顺水和逆水方向。以到达邻点所需要的最小通行时间为权重，采用实时动态网络的 Dijkstra 算法，设计三位矿工最佳逃生路径，具体逃生路径和时刻表分别保存到 result2-1.xlsx 与 result2-2.xlsx 中。
进一步，针对矿井双突水点并发突水的复杂工况，本文构建了考虑漫延路径耦合效应的实时动态漫延模型。当来自不同突水点的两股漫延水流发生交汇叠加时，会形成局部水力封闭效应，系统自动对超标巷道流量进行回溯修正与二次分配，从而精准刻画多水源协同作用下的水害演化规律。各节点进水时刻与巷道蓄满时长的计算结果，统一录入 result3-1.xlsx 与 result3-2.xlsx，为多源突水灾害评估提供可靠依据。
最后，针对延时突水工况下的逃生路径优化问题，经分析得知灾害爆发前期 3 分钟内，水流扩散范围有限，矿工基础逃生路线与单突水工况保持一致；待灾变发展至 5 分钟后，双水源叠加效应凸显，巷道通行环境大幅恶化，据此重新迭代求解最优疏散路线，相关优化成果整理存入 result4-1.xlsx 与 result4-2.xlsx，为分阶段应急调度提供决策支撑。
模型假设：
巷道几何形态理想化假设：假设所有巷道均为规则矩形断面，且断面底边始终与水平面平行，忽略巷道壁面的不规则凸起、裂缝及局部变形对水流运动的影响；同时假设巷道内部无障碍物、支护结构不影响水体流动，水流在巷道内的过流断面面积恒定，便于采用一维流动模型简化计算。
分叉节点水流分流规则假设：当突水水流漫延至巷道分叉节点时，假设水流仅向水平巷道与下行巷道方向发生流动，不产生向上行巷道的逆流；且水流流量在各分支巷道间按截面过流能力平均分配，忽略局部水头损失、巷道倾角差异及壁面糙率对分流比例的影响，以简化节点处的流量分配计算。
突水工况与流量恒定假设：以突水事件发生的初始时刻为时间零点（t=0），假设所有突水点的出水流量始终保持恒定，均为30m3/min，不考虑突水过程中含水层水压衰减、巷道坍塌堵塞、外部水源补给等因素导致的流量波动，保证水流漫延过程的线性可预测性。
关键时间节点定义假设：明确两类核心时间指标的判定标准：① 端点水流到达时刻：定义为突水水流首次流经巷道端点的时刻，不考虑水体浸润、毛细作用导致的局部微量积水；② 巷道充满水时刻：定义为巷道内水位上升至巷道最高点（即矩形断面顶部）的时刻，此时巷道达到完全蓄满状态，以此作为致灾周期的判定依据。
人员响应与行为理想化假设：假设井下作业人员对突水事件的反应时间为零，即突水发生后可立即启动逃生行动，无决策延迟与行动滞后；同时假设所有矿工均熟悉巷道拓扑结构，具备完全的行动能力，不考虑人员拥挤、个体差异、照明条件等因素对逃生速度的影响。
巷道通行条件与路径中断假设：以巷道内水位高度0.3m作为人员安全通行的临界阈值：当水位超过0.3m时，假设逆流方向的逃生路径完全中断，人员无法沿逆水流方向通行；仅保留顺水流方向或无水巷道作为有效逃生通道，以此简化动态逃生路径的约束条件。
问题分析：
问题一：矿井巷道水流漫延过程建模与时序特征量化分析
本问题的核心目标是构建突水水流在矿井巷道网络中的动态漫延模型，精准量化不同工况下的关键时序节点，包括端点首次受水时刻与巷道完全灌满时刻。首先，基于附件一的二维平面图与附件二的三维立体图拓扑数据，完成突水点 A1、A2 的空间定位，明确其均位于 "H0399" 巷道内，为后续模型构建提供基础拓扑约束。针对附件一的平面巷道网络，建立多场景耦合的平面突水水流漫延动力学模型，综合考虑巷道封闭状态与水流连续性的组合差异，构建三类基础分配模式：无封闭无断流模型、封闭无断流模型、无封闭断流模型，通过融合三类模式的核心特征，形成能够覆盖不同巷道工况的通用平面漫延模型。在此基础上，以水流到达各端点的最短时间为核心指标，采用顶点集迭代扩展算法，将每段最短时间巷道包含的所有端点视为一个连通集合，通过多轮迭代直至集合覆盖巷道网络全部节点，完整复刻水流在平面网络中的全域传播路径。针对水位动态演化过程，采用分阶段递进模拟策略：以 0.1m 水位为初始阈值，完成巷道网络的 "浅层铺水" 过程；再逐步抬升水位至 0.3m 的人员通行临界水位，最后扩展至 3m 的巷道完全蓄满水位，实现突水过程从初始扩散到全域淹没的全周期时序模拟。针对附件二的三维巷道网络，引入高程约束条件，构建分层递进式漫延模型：首先筛选出高程不高于突水点的巷道端点，基于平面漫延模型完成初始 0.1m 水位的全域铺水，识别出未被初始漫延覆盖的高高程节点；通过 BFS 广度优先搜索回溯这些节点的巷道连接关系，构建以初始漫延平面为基础、从低高程到高高程的分层漫延路径，模拟水流沿巷道网络平行于水平面方向的递进式漫延过程，直至水位上升至 3m 灌满所有巷道，实现含高程约束工况下的水流漫延过程精准预测。
问题二：基于实时水情的矿工动态逃生路径优化设计
本问题的核心目标是在突水水流动态漫延的背景下，构建适配水位实时变化的矿工最优逃生路径规划方案，保障人员在巷道通行条件快速变化的场景下安全撤离。首先，明确问题的核心约束条件：突水发生 1 分钟后，所有矿工均处于无突水水流的巷道内，以巷道内水位超过 0.3m 作为人员安全通行的临界阈值，超过该水位后巷道通行失效。基于问题一的水流漫延时序分析结果，提取各巷道端点的水流到达时刻、巷道内水流的顺 / 逆方向以及巷道间的漫延顺序，以此为基础构建动态通行约束：顺水方向水流会提升人员通行效率，逆水方向则会增加通行阻力，当水位超过临界值时，对应巷道的通行路径直接中断。在此基础上，构建基于实时动态网络的改进 Dijkstra 算法模型，以矿工从初始位置到安全出入口的逃生路径为优化目标，以相邻巷道节点间的实际通行时间为权重构建动态拓扑网络。该权重会根据水流到达时刻、水流方向与水位变化进行实时更新，通过动态网络的最短路径求解，为每位矿工生成适配当前水情的最优逃生路径，确保路径全程避开水位快速上涨区域，同时最大化通行效率与安全冗余，实现突水过程中人员疏散路径的动态适配与优化。
问题三：双突水点耦合作用下的水流漫延规律与时序修正
本问题的核心目标是分析双突水点并发突水时，多源水流耦合作用对巷道漫延过程的影响，修正单突水点模型的时序预测结果，量化双突水工况下的致灾关键节点。首先，明确双突水工况的时间约束：突水点 A1 突水 4 分钟后，B1 突水点启动出水；突水点 A2 突水 5 分钟后，B2 突水点启动出水，形成时序错位的双源突水场景。模型以问题一的基础漫延模型为框架，重点引入多源水流耦合效应修正机制：当来自不同突水点的两股水流在巷道节点发生交汇碰撞时，会形成局部水力封闭效应，此时模型将停止该巷道的流量分配，将对应流量按比例重新分配至其他未被水流覆盖的巷道，两股水流分别沿各自的原始路径继续漫延，避免流量在交汇巷道的无效累积。基于该修正模型的模拟结果，可得到双突水工况下的核心规律：一方面，各巷道端点的首次受水时刻仍由距离最近的突水点决定，因此与单突水点工况下的最短到达时间基本一致，无显著相互干扰；另一方面，两股水流在同一巷道内的叠加作用会显著提升水体流速，加速水位抬升过程，因此巷道网络全域铺满 0.1m 水位的总时间、巷道完全灌满的总时间，均显著短于单突水点工况下对应时间的一半，验证了多源突水对致灾过程的加速效应，为复杂突水场景下的致灾风险评估提供量化依据。
问题四：双突水工况下的分阶段动态逃生路径调整策略
本问题的核心目标是结合双突水点的时序启动特征，构建分阶段的动态逃生路径调整方案，适配不同突水发展阶段的巷道通行条件变化。首先，明确突水过程的阶段划分：突水发生后的前 4 分钟内，仅单突水点处于出水状态，巷道内水流漫延范围与单突水工况完全一致，此时矿工对第二突水点的启动情况未知，因此逃生路径仍沿用问题二的单突水工况方案，确保路径与当前水情相匹配；4 分钟后，第二突水点启动出水，双源水流耦合效应开始显现，巷道通行条件发生快速变化，但矿工仍无法感知该变化，直至突水发生 5 分钟后，系统可基于双突水模型的水情预测结果，更新巷道通行约束条件。在此基础上，采用动态网络 Dijkstra 算法重新求解矿工的最优逃生路径，结合双突水工况下的水流漫延时序与巷道通行状态，对原路径进行修正与优化，确保调整后的路径能够避开双源水流交汇形成的高风险区域，适配更新后的巷道通行条件，形成 "前期沿用单突水方案、后期适配双突水工况" 的分阶段动态逃生策略，为双突水场景下的人员应急疏散提供全周期决策支撑。
模型的建立与求解整体论文缩略图
全部论文及程序请见下方" 只会建模 QQ名片" 点击QQ名片即可
部分程序代码(完整论文以及代码请联系博主)：
python
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
附件一 二维巷道平面图生成 + 突水点/矿工/安全出口标注
"""
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.spatial.distance import cdist
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 解决中文显示
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# ---------------- 1. 读取数据 ----------------
# 读取端点数据
pts = pd.read_excel(
'附件1.xlsx',
sheet_name='端点',
header=None,
skiprows=3,
usecols='A:D',
names=['id', 'x', 'y', 'z'],
dtype={'id': str}
)
pts = pts[pts['id'].notna()].set_index('id')
# 读取巷道数据
edges = pd.read_excel(
'附件1.xlsx',
sheet_name='巷道',
header=None,
skiprows=3,
usecols='A:C',
names=['eid', 'p1', 'p2'],
dtype={'eid': str, 'p1': str, 'p2': str}
)
edges = edges[edges['p1'].notna() & edges['p2'].notna()]
# ---------------- 2. 定义特殊点 ----------------
# 突水点坐标
source_A1 = np.array([55808.18, 5367.75])
source_A2 = np.array([3760.40, 3808.33])
# 矿工位置
miners = np.array([
[5194.00, 4785.31],
[6190.81, 3434.29]
])
# 安全出口位置
exits = np.array([
[3252.16, 3326.63],
[3173.10, 2819.97]
])
# ---------------- 3. 判断A2所属巷道 ----------------
best_eid, min_d = None, np.inf
for _, r in edges.iterrows():
p1, p2 = r['p1'], r['p2']
if p1 not in pts.index or p2 not in pts.index:
continue
seg = pts.loc[[p1, p2], ['x', 'y']].values
d = np.min(cdist(source_A2.reshape(1, -1), seg))
if d < min_d:
min_d, best_eid = d, r['eid']
print(f"Source A2 最近巷道：{best_eid}（距离≈{min_d:.2f} m）")
# ---------------- 4. 绘图 ----------------
plt.figure(figsize=(12, 9))
# 绘制巷道线
for _, r in edges.iterrows():
p1, p2 = r['p1'], r['p2']
if p1 not in pts.index or p2 not in pts.index:
continue
x1, y1 = pts.loc[p1, 'x'], pts.loc[p1, 'y']
x2, y2 = pts.loc[p2, 'x'], pts.loc[p2, 'y']
plt.plot([x1, x2], [y1, y2], color='steelblue', linewidth=0.8, zorder=1)
# 绘制端点
plt.scatter(pts['x'], pts['y'], s=2, color='black', zorder=2)
# 绘制突水点
plt.scatter(
source_A2[0], source_A2[1],
marker='*', s=400, c='red', edgecolors='k',
zorder=5, label=f'Source A2 ({best_eid})'
)
plt.scatter(
source_A1[0], source_A1[1],
marker='*', s=400, c='red', edgecolors='orange',
zorder=5, label='Source A1'
)
# 绘制矿工与出口
plt.scatter(
miners[:, 0], miners[:, 1],
marker='o', s=80, c='yellow', edgecolors='k',
zorder=4, label='Miners'
)
plt.scatter(
exits[:, 0], exits[:, 1],
marker='s', s=80, c='green', edgecolors='k',
zorder=4, label='Safe exits'
)
# 美化与保存
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
plt.title('Tunnel 2D Layout')
plt.xlabel('x / m')
plt.ylabel('y / m')
plt.legend()
plt.savefig('tunnel_2d_layout.png', dpi=300)
plt.savefig('tunnel_2d_layout.pdf')
plt.show()
python
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
附件二 三维巷道立体图生成 + 特殊点标注
"""
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# ---------------- 1. 读取数据 ----------------
# 读取端点数据
coordinates = pd.read_excel(
'附件2.xlsx',
sheet_name='端点',
header=None,
skiprows=3,
usecols='A:D',
names=['端点编号', 'x', 'y', 'z']
)
# 读取巷道数据
tunnels = pd.read_excel(
'附件2.xlsx',
sheet_name='巷道',
header=None,
skiprows=3,
usecols='A:C',
names=['巷道编号', '巷道端点1', '巷道端点2']
)
# 构建坐标字典
coord_dict = dict(
zip(
coordinates['端点编号'],
zip(coordinates['x'], coordinates['y'], coordinates['z'])
)
)
# ---------------- 2. 定义特殊点 ----------------
# 安全出口
exits = np.array([
[6336.99, 6073.22, 36.15],
[6416.05, 6579.88, 8.69]
])
# 矿工位置
miners = np.array([
[4395.15, 4614.53, 6.59],
[3398.34, 5965.56, 1.31],
[3879.44, 4125.47, 6.22]
])
# 突水点（示例坐标，可根据实际修改）
source_A1 = np.array([5883.14, 5643.35, 40.37])
source_A2 = np.array([4143.12, 4376.28, 6.33])
# ---------------- 3. 绘图 ----------------
fig = plt.figure(figsize=(12, 9))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
# 绘制端点
for ep, (x, y, z) in coord_dict.items():
ax.scatter(x, y, z, s=5, color='black')
# 绘制巷道线
for _, row in tunnels.iterrows():
p1, p2 = row['巷道端点1'], row['巷道端点2']
if p1 not in coord_dict or p2 not in coord_dict:
continue
x1, y1, z1 = coord_dict[p1]
x2, y2, z2 = coord_dict[p2]
ax.plot([x1, x2], [y1, y2], [z1, z2], color='steelblue', linewidth=0.6)
# 绘制特殊点
ax.scatter(*exits.T, c='green', s=20, label='Exits')
ax.scatter(*miners.T, c='yellow', s=20, label='Miners')
ax.scatter(*source_A1, c='red', s=60, marker='*', label='Source A1')
ax.scatter(*source_A2, c='red', s=60, marker='^', label='Source A2')
# 美化与保存
ax.set_xlabel('X/m')
ax.set_ylabel('Y/m')
ax.set_zlabel('Z/m')
plt.title('3D Tunnel Layout')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.savefig('tunnel_3d_layout.png', dpi=300)
plt.savefig('tunnel_3d_layout.pdf')
plt.show()