Day 12：支持向量机（SVM）原理与实践

Day 12：支持向量机（SVM）原理与实践

📋 目录

1. SVM 概述与发展
2. 线性可分 SVM（硬间隔）
3. 线性不可分 SVM（软间隔）
4. 核方法（Kernel Trick）
5. SVM 超参数详解
6. SVM 优缺点与应用场景

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第一部分：SVM 概述与发展

1.1 什么是 SVM？

支持向量机（Support Vector Machine, SVM） 是一种监督学习 模型，通过寻找最大间隔超平面来区分不同类别的数据。

核心思想：

找到离决策边界最近的样本点（支持向量），并最大化它们到边界的距离。

1.2 SVM 的发展历程

时间	里程碑	贡献者
1963年	线性可分 SVM（硬间隔）	Vladimir Vapnik 等
1992年	核技巧（Kernel Trick）	Bernhard Boser 等
1995年	软间隔（Soft Margin）	Corinna Cortes 等

重要地位：被誉为"最好的现成分类器"，在深度学习兴起前是机器学习的主流算法。

1.3 SVM vs 其他分类器

特性	逻辑回归	KNN	决策树	SVM
决策边界	线性	非线性	分段线性	线性/非线性
对异常值敏感度	中	高	低	低
高维数据表现	好	差	中	优秀
可解释性	高	中	高	低
训练速度	快	快	快	慢（大数据）

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第二部分：线性可分 SVM（硬间隔）

2.1 基本概念

线性可分：存在一个超平面能够完全分开两类数据点。

超平面方程 ：
wTx+b=0 \mathbf{w}^T \mathbf{x} + b = 0 wTx+b=0

其中：

• w\mathbf{w}w：法向量（决定方向）
• bbb：偏置（决定位置）

分类决策函数 ：
f(x)=sign⁡(wTx+b) f(\mathbf{x}) = \operatorname{sign}(\mathbf{w}^T \mathbf{x} + b) f(x)=sign(wTx+b)

2.2 函数间隔与几何间隔

函数间隔 ：
γ^i=yi(wTxi+b) \hat{\gamma}_i = y_i(\mathbf{w}^T \mathbf{x}_i + b) γ^i=yi(wTxi+b)

几何间隔 （点到超平面的真实距离）：
γi=yi(wTxi+b)∥w∥=γ^i∥w∥ \gamma_i = \frac{y_i(\mathbf{w}^T \mathbf{x}_i + b)}{\|\mathbf{w}\|} = \frac{\hat{\gamma}_i}{\|\mathbf{w}\|} γi=∥w∥yi(wTxi+b)=∥w∥γ^i

数据集的最小几何间隔 ：
γ=min⁡i=1,...,nγi \gamma = \min_{i=1,\dots,n} \gamma_i γ=i=1,...,nminγi

2.3 最大间隔原理

目标 ：找到使几何间隔 γ\gammaγ 最大的超平面。

优化问题 ：
max⁡w,bγs.t.yi(wTxi+b)∥w∥≥γ,i=1,...,n \max_{\mathbf{w}, b} \gamma \quad \text{s.t.} \quad \frac{y_i(\mathbf{w}^T \mathbf{x}_i + b)}{\|\mathbf{w}\|} \geq \gamma, \quad i = 1, \dots, n w,bmaxγs.t.∥w∥yi(wTxi+b)≥γ,i=1,...,n

等价形式 （令 γ^=1\hat{\gamma} = 1γ^=1）：
min⁡w,b12∥w∥2s.t.yi(wTxi+b)≥1,i=1,...,n \min_{\mathbf{w}, b} \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2 \quad \text{s.t.} \quad y_i(\mathbf{w}^T \mathbf{x}_i + b) \geq 1, \quad i = 1, \dots, n w,bmin21∥w∥2s.t.yi(wTxi+b)≥1,i=1,...,n

2.4 支持向量

定义 ：距离决策边界最近的样本点，即满足 yi(wTxi+b)=1y_i(\mathbf{w}^T \mathbf{x}_i + b) = 1yi(wTxi+b)=1 的点。

性质：

• 只有支持向量决定决策边界
• 移除非支持向量不影响模型

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第三部分：线性不可分 SVM（软间隔）

3.1 为什么要软间隔？

硬间隔的问题：

• 数据可能线性不可分（不存在完美分隔的超平面）
• 即使线性可分，硬间隔对异常值极其敏感

3.2 软间隔的引入

松弛变量 ξi\xi_iξi ：
ξi=max⁡(0,1−yi(wTxi+b)) \xi_i = \max(0, 1 - y_i(\mathbf{w}^T\mathbf{x}_i + b)) ξi=max(0,1−yi(wTxi+b))
含义：

• ξi=0\xi_i = 0ξi=0：正确分类且在间隔外
• 0<ξi<10 < \xi_i < 10<ξi<1：正确分类但在间隔内
• ξi≥1\xi_i \geq 1ξi≥1：分类错误

3.3 C 参数（惩罚系数）

优化目标 ：
min⁡w,b,ξ12∥w∥2+C∑i=1nξi \min_{\mathbf{w}, b, \xi} \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2 + C \sum_{i=1}^n \xi_i w,b,ξmin21∥w∥2+Ci=1∑nξi

约束条件 ：
yi(wTxi+b)≥1−ξi,ξi≥0,i=1,...,n y_i(\mathbf{w}^T \mathbf{x}_i + b) \geq 1 - \xi_i, \quad \xi_i \geq 0, \quad i = 1, \dots, n yi(wTxi+b)≥1−ξi,ξi≥0,i=1,...,n

3.4 C 参数的影响

C 值	效果	风险
大 C	更关注分类正确，允许更小的间隔	过拟合
小 C	更关注间隔最大化，允许更多误分类	欠拟合

调参经验：

• C 过大 → 训练集准确率高，测试集可能低（过拟合）
• C 过小 → 训练集准确率低（欠拟合）
• 通常使用对数尺度搜索：[0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 100]

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第四部分：核方法（Kernel Trick）

4.1 为什么需要核函数？

问题 ：很多真实数据在原始特征空间是线性不可分的。

解决方案 ：将数据映射到高维特征空间，使其变得线性可分。

# 一维线性不可分 → 二维线性可分
# 原始空间: x (一维)
# 映射到: φ(x) = [x, x²] (二维)

4.2 核函数定义

核函数 ：K(xi,xj)=ϕ(xi)Tϕ(xj)K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \phi(\mathbf{x}_i)^T \phi(\mathbf{x}_j)K(xi,xj)=ϕ(xi)Tϕ(xj)

核技巧 ：不需要显式计算高维映射 ϕ\phiϕ，直接计算内积，大大降低计算量。

4.3 常用核函数

核函数	公式	参数	特点
线性核	K(xi,xj)=xiTxjK(x_i, x_j) = x_i^T x_jK(xi,xj)=xiTxj	-	速度快，可解释
多项式核	K(xi,xj)=(γxiTxj+r)dK(x_i, x_j) = (\gamma x_i^T x_j + r)^dK(xi,xj)=(γxiTxj+r)d	degree, coef0	全局性强
RBF核	K(xi,xj)=exp⁡(−γ∣xi−xj∣2)K(x_i, x_j) = \exp(-\gamma |x_i - x_j|^2)K(xi,xj)=exp(−γ∣xi−xj∣2)	gamma	局部性强，最常用
Sigmoid核	K(xi,xj)=tanh⁡(γxiTxj+r)K(x_i, x_j) = \tanh(\gamma x_i^T x_j + r)K(xi,xj)=tanh(γxiTxj+r)	gamma, coef0	类似神经网络

4.4 RBF 核详解

RBF (Radial Basis Function) 是最常用的核函数，又称高斯核。

公式 ：
K(xi,xj)=exp⁡(−γ∥xi−xj∥2) K(x_i, x_j) = \exp(-\gamma \|x_i - x_j\|^2) K(xi,xj)=exp(−γ∥xi−xj∥2)

参数 γ\gammaγ 的影响：

γ\gammaγ	效果	风险
大	影响范围小，决策边界复杂	过拟合
小	影响范围大，决策边界平滑	欠拟合

RBF 核的优势：

• 只有一个参数 γ\gammaγ，调参简单
• 能逼近任意连续函数
• 数值稳定性好

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第五部分：SVM 超参数详解

5.1 核心参数

参数	含义	典型范围	调参建议
C	惩罚系数	0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 100	对数尺度
gamma	RBF 核参数	0.001, 0.01, 0.1, 1, 10	对数尺度
kernel	核函数类型	'linear', 'rbf', 'poly'	优先尝试 linear, rbf
degree	多项式核次数	2, 3, 4, 5	与 kernel='poly' 配合

5.2 参数交互

C 大 + gamma 大 = 复杂边界（过拟合风险高）
C 小 + gamma 小 = 平滑边界（欠拟合风险高）
C 大 + gamma 小 = 间隔小但平滑
C 小 + gamma 大 = 间隔大但复杂

5.3 数据预处理

SVM 对特征缩放极其敏感，必须进行标准化！

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)

原因：SVM 基于距离计算，不同量纲的特征会主导决策边界。

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第六部分：SVM 优缺点与应用场景

6.1 优点

优点	说明
高维有效	特征维度 > 样本数时表现好
内存高效	只使用支持向量
鲁棒性强	对异常值不敏感
核技巧	处理非线性问题

6.2 缺点

缺点	说明
计算量大	O(n2)O(n^2)O(n2) 到 O(n3)O(n^3)O(n3)
解释性差	核映射后难以解释
参数敏感	C 和 gamma 需要仔细调参
概率输出差	不如逻辑回归自然

6.3 量化交易应用场景

场景	适用性	说明
涨跌预测	中等	需要调参，特征标准化
市场状态分类	较好	区分牛/熊/震荡
配对交易	较好	识别价格背离
高频交易	差	训练速度慢