最小二乘拟合椭圆

已知椭圆方程

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y = 1 ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey=1 ax2+bxy+cy2+dx+ey=1

令 a = [ a , b , c , d , e ] T , x = [ x 2 , x y , y 2 , x , y ] T a=[a,b,c,d,e]^{T},x=[x^{2},xy,y^{2},x,y]^{T} a=[a,b,c,d,e]T,x=[x2,xy,y2,x,y]T,于是方程可表示为 a T x = 1 a^{T}x=1 aTx=1。那么拟合椭圆的最优化问题可表示为:

min ⁡ ∥ D a ∥ 2 \min\|D a\|^{2} min∥Da∥2

s.t. a T C a = 1 a^{T}Ca=1 aTCa=1

其中D表示数据样本集合 n × 6 n\times6 n×6，6表示维度， n n n表示样本数。 a a a表示椭圆方程的参数，矩阵常数矩阵 C C C为:

C = [ 0 0 2 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] C=\begin{bmatrix}0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} C= 0020000−10000200000000000000000000000

根据拉格朗日乘子法，引入拉格朗日因子 λ \lambda λ，得到以下的两个等式方程:

2 D T D a − 2 λ C a = 0 2D^{T}Da-2\lambda Ca=0 2DTDa−2λCa=0

a T C a = 1 a^{T}Ca=1 aTCa=1

令 S = D T D S=D^{T}D S=DTD，那么上述方程可改写为:

S a = λ C a Sa=\lambda Ca Sa=λCa

a T C a = 1 a^{T}Ca=1 aTCa=1

求解方程 S a = λ C a Sa=\lambda Ca Sa=λCa的特征值和向量 ( λ i , u i ) (\lambda_{i},u_{i}) (λi,ui)，那么同样地 ( λ i , μ u i ) (\lambda_{i},\mu u_{i}) (λi,μui)也是方程 S a = λ C a Sa=\lambda Ca Sa=λCa的特征解，其中 μ \mu μ是任意的实数。而根据方程 a T C a = 1 a^{T}Ca=1 aTCa=1，可以容易地找到一个 μ \mu μ，使得 μ 2 u i T C u i = 1 \mu^{2}u_{i}^{T}Cu_{i}=1 μ2uiTCui=1，即:

μ i = 1 u i T C u i 2 = λ i u i T S u i 2 \mu_{i}=\sqrt[2]{\frac{1}{u_{i}^{T}Cu_{i}}}=\sqrt[2]{\frac{\lambda_{i}}{u_{i}^{T}Su_{i}}} μi=2uiTCui1 =2uiTSuiλi

最后令 a ˉ i = μ i u i \bar{a}{i}=\mu{i}u_{i} aˉi=μiui，取 λ i > 0 \lambda_{i}>0 λi>0对应的特征向量 u i u_{i} ui，即可作为曲线拟合的方程解。

Matlab实现的为代码只需要六行，如下所示:

matlab 复制代码

% x,y are lists of coordinates
function a = fit_ellipse(x,y)
    % Build design matrix
    D = [x.*x x.*y y.*y x y ones(size(x))];
    % Build scatter matrix
    S = D'*D;
    % Build 6x6 constraint matrix
    C(6,6) = 0; C(1,3) = 2; C(2,2) = -1; C(3,1) = 2;
    % Solve eigensystem
    [gevec, geval] = eig(inv(S)*C);
    % Find the positive eigenvalue
    [PosR, PosC] = find(geval > 0 & ~isinf(geval));
    % Extract eigenvector corresponding to positive eigenvalue
    a = gevec(:, PosC);