动态规划——最长递增子序列系列问题（python）

总述：

这些系列问题都是，遍历当前元素，然后去找当前元素的前驱元素（即不能超过当前元素的下标）。有的问题需要先排序，有的不需要。

即：

for i in range(len(nums)):

for j in range(i):

1.最长递增子序列：

如：nums = $10,9,2,5,3,7,101,18$ 最长递增子序列为2 3 7 10 长度为4.

dp数组定义:dp $i$ 表示以nums $i$ 为结尾的最长递增子序列长度为dp $i$

dp初始化：dp= $1$ *(len(nums)) 每个元素的初始序列长度都为1

条件：if nums $i$ >nums $j$

状态转移：dp $i$ =max(dp $i$ ,dp $j$ +1)

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def lengthOfLIS(nums):
    n=len(nums)
    dp=[1]*n  #初始化，以每个元素结尾的初始长度都为1
    for i in range(n):  #遍历当前元素
        for j in range(i):  #遍历当前元素的所有前驱元素
            if nums[i]>nums[j]:
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)
    return max(dp) if dp else 0

def main():
    nums=list(map(int,input().split()))
    res=lenghthOfLIS(nums)
    print(res)
if __name__=="__main__":
    main()

2.俄罗斯套娃信封问题

求信封的最大个数。只有当高度和宽度都大于另一个信封的时候，才能将该信封装进去。如：envelopes = $\[5,4$ , $6,4$ , $6,7$ , $2,3$ ] 最多信封个数为3。首先，这里需要排序。

排序：envelpoes.sort(key=lambda x:(x $0$ ,-x $1$ ))

dp数组定义：dp $i$ 表示以前i个信封为底的时候，高度为dp $i$

dp数组初始化：dp= $1$ *(n) 对于每一个信封，初始数量为一个

条件：if cur_h>pre_h and cur_w>pre_w:

状态转移：dp $i$ =max(dp $i$ ,dp $j$ +1)

该算法只能通过90%样例，因为O(n^2)会超时。优化需要用二分查找。

复制代码

def maxEnvelopes(nums):
    n=len(nums)
    nums.sort(key=lambda x:(x[0],-x[1]))  #先排序，如果宽度一样，高度倒序排序
    dp=[1]*n
    for i in range(n):  #遍历当前信封
        cur_w,cur_h=nums[i]
        for j in range(i):  #遍历前驱信封
            pre_w,pre_h=nums[j]
            if cur_h>pre_h and cur_w>pre_w:
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)
    return max(dp) if dp else 0
def main():
    nums= [[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]]
    res=maxEnvelopes(nums)
    print(res)
if __name__=="__main__":
    main()

3.堆叠长方体的最大高度

如果一个长方体的长宽高都小于等于第i个长方体，那么就可以堆在它上面。这里可以通过旋转重新排列长方体的长宽高，求可以堆叠的最大高度。

排序：for c in cuboids: c.sort() 重排长宽高

再次排序：cuboids.sort()

dp数组定义：前i个长方体堆叠的最大高度为dp $i$

dp数组初始化：dp= $item\[2$ for item in cuboids] 初始化为每个长方体的高度

条件：if cur_l>=pre_l and cur_w>=pre_w and cur_h>=pre_h

状态转移：dp $i$ =max(dp $i$ ,dp $j$ +cur_h)

复制代码

def maxHeight(cuboids):
    n=len(cuboids )
    for c in cuboids:
        c.sort()
    cuboids.sort()
    dp=[item[2] for item in cuboids]
    for i in range(n):
        cur_l,cur_w,cur_h=cuboids[i]
        for j in range(i):
            pre_l,pre_w,pre_h=cuboids[j]
            if cur_w>=pre_w and cur_l>=pre_l and cur_h>=pre_h:
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+cur_h)
    return max(dp) if dp else 0
def main():
    cuboids = [[50, 45, 20], [95, 37, 53], [45, 23, 12]]
    res=maxHeight(cuboids)
    print(res)
if __name__=="__main__":
    main()

4.盒子的最大高度

也是求最大高度，和上一题求长方体最大高度类似，只不过这题不能重排长宽高。同时长宽高必须严格大于才能堆叠。首先依旧得排序。

排序：nums.sort() 这里进行了升序排列，所以越往后面越大，在后面条件判断时，就是大于

dp数组定义：前i个盒子堆起来的最大高度为dp $i$

dp数组初始化：dp= $item\[2$ for item in nums] 初始化为每个盒子自身的高度

条件：if cur_l>pre_l and cur_w>pre_w and cur_h>pre_h

状态转移：dp=max(dp $i$ ,dp $j$ +cur_h)

复制代码

#盒子的高度
# 4
# 1 1 1
# 2 3 4
# 3 6 7
# 4 5 6
# 输出：12
def box(n,nums):
    nums.sort()
    dp=[item[2] for item in nums]
    for i in range(n):  #遍历当前盒子
        cur_l,cur_w,cur_h=nums[i]
        for j in range(i):  #遍历前缀盒子
            pre_l,pre_w,pre_h=nums[j]
            #因为前面对nums从小到大排序，所以当前遍历到的i要是大的才行，所以是大于号
            if cur_l>pre_l and cur_w>pre_w and cur_h>pre_h:
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+cur_h)
    return max(dp) if dp else 0
def main():
    n=int(input())
    nums=[]
    for i in range(n):
        a,b,c=map(int,input().split())
        nums.append((a,b,c))
    res=box(n,nums)
    print(res)
if __name__=="__main__":
    main()

5.规划兼职工作的最大利润

求最大利润。

排序：按工作结束时间排序 nums.sort(key=lambda x: x $1$ )

dp数组定义：前i份工作可以得到的最大利润为dp $i$

dp数组初始化：dp= $item\[2$ for item in nums] 初始化为每份工作的利润

条件：if cur_s>=pre_e

状态转移：dp $i$ =max(dp $i$ ,dp $j$ +cur_p)

复制代码

#最大利润
# 4
# 1 3 50
# 2 4 10
# 3 5 40
# 3 6 70
#输出 120
def maxProfit(n,nums):
    nums.sort(key=lambda x:x[1])  #按结束时间排序
    dp=[item[2] for item in nums]
    for i in range(n):
        cur_s,cur_e,cur_p=nums[i]
        for j in range(i):
            pre_s,pre_e,pre_p=nums[j]
            if cur_s>=pre_e:
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+cur_p)
    return max(dp) if dp else 0
def main():
    n=int(input())
    nums=[]
    for i in range(n):
        s,e,p=map(int,input().split())
        nums.append((s,e,p))
    res=maxProfit(n,nums)
    print(res)
if __name__=="__main__":
    main()

6.基站的盈利

求最大盈利。首先也是排序**，按照任务结束时间排序。**

这份代码只能通过部分测试样例，可以使用二分查找优化。

排序：nums.sort(key=lambda x :x $1$ ) 按照结束时间排序

dp数组定义：完成前i个任务得到的最大利润为dp $i$

dp数组初始化：dp= $item\[2$ for item in nums] 初始化为每个任务的利润

条件：if cur_s >pre_e

状态转移：dp $i$ =max(dp $i$ ,dp $j$ +cur_p)

复制代码

#基站盈利问题
# 20
# 6
# 1 6 1
# 3 10 2
# 10 12 3
# 11 12 2
# 12 15 2
# 13 18 1
# 输出 5
def stationsProfit(m,nums):
    nums.sort(key=lambda x:x[1]) #按结束时间排序
    dp=[item[2] for item in nums]  #初始化为每个任务的利润
    for i in range(m):
        cur_s,cur_e,cur_p=nums[i]
        for j in range(i):
            pre_s,pre_e,pre_p=nums[j]
            if cur_s>pre_e:
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+cur_p)
    return max(dp) if dp else 0
def main():
    n=int(input())
    m=int(input())
    nums=[]
    for i in range(m):
        a,b,c=map(int,input().split())
        nums.append((a,b,c))
    res=stationsProfit(m,nums)
    print(res)
if __name__=="__main__":
    main()