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https://codepen.io/Vitello-Fazenbaker/pen/MYjNPQM
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[❌ 错误一：mid 计算用加法可能整数溢出](#❌ 错误一：mid 计算用加法可能整数溢出)
[❌ 错误二：区间混用导致死循环](#❌ 错误二：区间混用导致死循环)
[❌ 错误三：前提条件忘记了](#❌ 错误三：前提条件忘记了)
二分查找的动画展示
https://codepen.io/Vitello-Fazenbaker/pen/MYjNPQM
一、为什么需要二分查找？
假设你要在一本 1000 页的字典里找到 "Zebra" 这个单词。
方法一：从第 1 页翻到第 1000 页，一页一页找 → 最坏要翻 1000 次。
方法二：翻到第 500 页，发现字母比 Z 小，就只在后半本找；再翻到第 750 页......每次淘汰一半，最多翻 10 次就找到了。
方法二就是二分查找的本质：每次把搜索范围缩小一半，效率是线性查找的指数级提升。
二，原理展示请打开链接（同上）
https://codepen.io/Vitello-Fazenbaker/pen/MYjNPQM
三、两种写法的对比
二分查找有两种常见写法，区别只在区间的定义方式。搞清楚这个，就不会再写出死循环了。
| 对比点 | 写法一：闭区间 [begin, end] | 写法二：左闭右开 [begin, end) |
|---|---|---|
end 初始值 |
n - 1（最后一个元素） |
n（越界一位，代表"不存在"） |
while 条件 |
begin <= end（等号允许，单元素也要查） |
begin < end（等号不允许，[x,x) 是空区间） |
| 目标在左半边时 | end = mid - 1 |
end = mid（mid 本身已排除） |
| 目标在右半边时 | begin = mid + 1 |
begin = mid + 1 |
核心原则：**while 条件 和 end 的含义必须统一。**选了哪种区间定义，两处都要对应，否则必出 bug。
int BinarySearch(int* a, int n, int x) { int begin = 0; int end = n - 1; // end 指向最后一个元素 while (begin <= end) // ← 等号：单元素区间也要处理 { int mid = begin + ((end - begin) >> 1); if (x < a[mid]) end = mid - 1; // ← -1：mid 已经比较过了，排除 else if (x > a[mid]) begin = mid + 1; else return mid; } return -1; }
四、复杂度分析
时间复杂度（平均 / 最坏）
O(log n)
每次砍掉一半，n=10亿 最多也只需要 30 次比较
时间复杂度（最好）
O(1)
第一次 mid 就命中目标
空间复杂度
O(1)
只用了几个变量，不需要额外内存
五、高频易错点
❌ 错误一：mid 计算用加法可能整数溢出
不要写
mid = (begin + end) / 2，当 begin 和 end 都很大时，加法会溢出。正确写法：
mid = begin + (end - begin) / 2，或者用位运算>> 1替代除以 2（效果一样，但不要为了优化强行用，可读性更重要）。❌ 错误二：区间混用导致死循环
比如用了闭区间，while 写
begin < end（少了等号），当 begin == end 时会直接跳出，漏掉最后一个元素。❌ 错误三：前提条件忘记了
二分查找要求数组必须是有序的。如果数组无序，结果完全错误，且不会报错，是最难排查的 bug 之一。
六、面试爱考的变种
查找左边界
目标值可能重复出现，找最左边那个的下标。找到 mid==x 后不要直接返回，继续往左缩。
查找右边界
找最右边那个，找到后不返回，继续往右缩，最终返回 end。
旋转数组二分
数组被旋转过（如 [4,5,1,2,3]），每次判断哪半边是有序的，只在有序那边收缩。
实数域二分
不找下标，找满足某个条件的实数值，比如开平方根。while 条件改为
end - begin > 1e-6。答案二分
不在数据上二分，而是在"答案的值域"上二分，配合 check() 函数验证答案是否合法。
std::lower_bound
C++ STL 自带，返回第一个 >= 目标值的迭代器。面试时可以直接用，不用自己实现。
七、总结
二分查找的所有 bug，90% 来自区间定义不统一。
记住一条原则：确定区间类型（闭/左闭右开），然后 end 的初值、while 条件、end 的收缩方式，三处严格对应。
