2024年华数杯全国大学生数学建模
A题 机器臂关节角路径的优化设计
原题再现：
机器臂是一种由多个连杆和关节组成的自动化装置，广泛应用于工业生产、 精密操作、危险环境作业和物流等领域。其主要作用包括提高生产效率、执行精密操作、适应恶劣环境以及优化物流流程。当前有关机器臂的研究重点包括运动学与动力学建模、关节角路径的优化设计以及路径规划等。这些研究旨在提升机器臂的性能和应用范围，确保其在各种复杂任务中的高效性和精确性。其中，关 节角路径的优化设计尤为重要，它直接影响着机器臂的精度和能效。
关节角路径的优化设计涉及到多个相互冲突和影响的目标。最小化输出误差（即机器人实际动作与预期动作之间的偏差）是优化任务的首要目标，特别关注末端误差这一关键部分。末端误差描述的是一次任务中机器臂末端部位与目标位置之间的位置偏差。例如，在使用机器臂拾取货物时，通常更关注末端是否准确 到达货物的位置，而不太关注各关节的具体位置。
在执行一次任务的过程中，由于各个关节之间的杠杆长度不变，机器臂通常通过调整关节角度来完成任务。而在调整关节角度的过程中会由于关节转动、机器臂克服重力势能做功等产生各种能耗，如何在末端误差允许的范围内使得能耗最小化，是另一个研究重点。例如，在机器臂拾取货物的过程中，末端不一定要精准地到达目标位置的正中心，如果对于关节角路径的优化能减少能耗，微小的 误差是被允许的。
在工业、服务业等各个领域，机器臂通常需要执行多次任务。比如，在工业生产线上，机器臂需要对在不同位置的货物依次完成抓取；为了更好地完成任务，需要考虑末端误差和能耗，同时对底座移动路径和关节角路径进行优化设计。
六自由度机器臂在工业应用中因其极高的灵活性和多功能性而被广泛使用，能够处理各种复杂的任务。本文中所有任务均依赖于六自由度机器臂的执行，需 解决的问题如下：
问题 1 为方便后续建模，请先绘制出零位状态（θ1=0°、θ2=−90°θ3=0°、θ4=180°、θ5=−90°、θ6=0°）的六自由度机器臂简图，机器臂初始参数（包括关
节的初始位置，角度等）如表 1 所示。假设机器臂收到一次抓取货物的任务，目标点相对于机器臂的位置为（1500mm，1200mm，200mm），请建立机器臂运动的数学模型，并以最小化末端误差为目标，对机器臂的关节角路径进行优化。
问题 2 在第一问的基础上，已知机器臂质量和末端载重之和为 5kg，各个关节的转动惯量和平均角速度如表 2 所示。假设末端误差（末端误差指目标点坐标与机器臂端部坐标之间的欧式距离）允许的范围为±200mm，请以最小化末端误 差和能耗为目标，对机器臂的关节角路径进行优化。
问题 3 在问题二的基础上，假设机器臂收到一次货物抓取任务，需要绕过障碍物抓取一个货物，收到指令后，机器臂底座（移动过程中视为质点，为了简化问题，假设移动的能耗不考虑，只考虑机器臂抓取过程中的能耗）先移动到目标点附近，然后再进行抓取动作。机器臂底座栅格图中默认无法沿斜线移动，机器臂底座需要回到起点。机器臂出发时的状态与问题一中的零位状态一致。机器臂的所有关节均无法从障碍上方越过进行物体抓取。请以最小化末端误差和能耗为目标，设计出最优底座移动路径和最优关节角路径，并将底座移动路径用栅格 图可视化。货物和障碍物的位置见"附件.xlsx"中的 Sheet1。
问题 4 假设机器臂收到一次完整的货物抓取任务，需要绕过障碍物抓取多个货物，请以最小化末端误差和能耗为目标，设计出最优底座移动路径和关节角路径，并将底座移动路径用栅格图可视化。货物和障碍物的位置见"附件.xlsx"中 的 Sheet2。请在结果中明确给出总末端误差和总能耗。
整体求解过程概述(摘要)
针对问题一，本文依托机械臂出厂初始结构与尺寸参数，完成机械臂零位基准构型示意图绘制，直观展示各连杆与关节初始装配关系。为统一空间位姿描述标准，以机械臂基础安装原点为中心搭建全局空间直角坐标系，选用改进型 D-H 参数法完成全部关节局部坐标系的规范化建立。通过逐层求解基坐标系至各关节坐标系的齐次坐标变换矩阵，系统性推导机械臂完整的正向运动学与逆向运动学求解方程。以机械臂末端执行器与作业目标点之间的欧氏空间距离最小化为核心目标函数，结合各转动关节物理机械限位、安全转角范围设立不等式约束条件，构建单精度指标下的机械臂关节角度路径优化模型。引入蚁群智能优化算法对模型进行迭代寻优求解，有效规避传统求解易陷入局部最优的问题。仿真结果表明，机械臂末端定位最小误差优化至 9.26mm，末端空间坐标输出为 (146.73，123.15，30.48)，各关节最优转动角度组合结果统一汇总于表 2，有效提升了单目标场景下机械臂末端定位精度。
针对问题二，在问题一运动学分析的基础上，进一步兼顾作业能耗指标，开展多目标优化研究。结合题目给定的整机质量分布、各关节驱动功耗与转动损耗参数，分别构建适配机械臂运动特性的转动动能计算体系与重力势能计算体系。针对关节动态转动过程，通过对瞬时转动动能在完整运动时域内积分运算，精准刻画各关节动态动能变化规律；同时引入连杆与关节质心等效简化方法，依据各部件质心竖直高度完成重力势能的量化计算，叠加所有运动构件的动能与势能，推导出机械臂整机运行总能耗理论计算表达式。在此基础上，融合末端定位误差与整机运行能耗双重评价指标，构建多目标协同优化函数，对单一精度约束下的关节路径优化模型进行迭代改良。延续蚁群算法完成改良模型的仿真求解，平衡定位精度与能耗消耗两大核心需求。最终求得机械臂最小末端定位误差为 5.13mm，全局最优运行能耗为 15.76J，末端稳定作业坐标为 (152.94，113.86，182.15)，各组最优关节控制角度详见表 4，实现了机械臂精准作业与节能运行的双向均衡。
针对问题三，引入复杂障碍物作业环境，研究机械臂底座移动与关节运动协同规划问题。依托附件提供的障碍物坐标、作业目标点位数据，采用栅格地图建模方式完成作业空间可视化划分，清晰区分无障碍可行区域、障碍物禁止通行区域，为避障路径规划提供环境基础。为进一步压缩运行能耗、削弱环境干扰带来的定位偏差，设计科学可行的空间可达点判定规则：以预设作业目标点为圆心，选取机械臂零位构型水平最大伸展长度为半径划定四分之一扇形搜索区域，筛选区域内目标连线无碰撞、无遮挡的有效栅格单元作为备选可达点。结合避障需求搭建基于可达点筛选机制的 A算法路径规划模型，利用 A全局寻路算法完成多备选点位的路径遍历与择优筛选。依托问题二成熟的误差核算与能耗评估方案，同步完成机械臂底座移动轨迹规划与关节运动角度优化求解。仿真测试得出，复杂障碍环境下机械臂最小末端误差控制在 6.08mm，单次作业最优能耗降低至 13.25J，底座最优移动行进距离为 6420mm，最优关节角度参数记录于表 7，底座全局移动规划路径如图 24 所示，充分验证了该避障协同规划方案的可行性与稳定性。
针对问题四，面向多目标点连续抓取的实际作业场景，开展连续作业路径全域优化研究。沿用问题三提出的可达点判定逻辑，结合 S算法多节点扩展搜索能力，批量完成五个连续作业目标周边全域可达点集合的遍历与筛选。以初始安装位置为基准，通过欧式空间距离测算，优先筛选距离起点最近的目标点位作为连续作业初始抓取任务，搭建适配多任务场景的 A避障抓取规划模型。采用分段式迭代优化思路，依托 A * 算法对多目标可达路径进行全局统筹规划，结合既定的定位误差与能耗计算标准，对分段运动路径、关节运动参数逐级择优迭代。考虑连续作业的位姿关联性，将上一抓取任务完成后的机械臂末端位姿、关节角度作为先验约束条件，定义为下一目标抓取作业的初始运动状态，保证多任务衔接过程平稳连续。经全域优化求解，多目标连续作业模式下，整体累计末端定位总误差控制在 40.75mm，全程累计运行总能耗为 63.42J，底座连续移动最优路径总长优化至 10280mm。该规划方案有效解决了多点位交替抓取、位姿连续约束、全局能耗管控等核心难题，为移动机械臂多场景连续作业提供了完整的优化理论与数据支撑。
模型假设：
1.本次研究忽略机械臂实际运行过程中存在的零部件装配间隙、加工制造偏差、结构受力形变等客观机械误差与形变影响，理想化各连杆、关节尺寸参数恒定不变，保障所构建运动学模型的理论精度与求解稳定性，降低复杂干扰因素对仿真计算的影响。
2.在能耗计算分析层面，仅聚焦机械臂各关节动态转动产生的动能变化以及连杆、关节构件相对高度变化带来的重力势能变化，统一忽略关节运动摩擦损耗、空气阻力做功、驱动元件热损耗、线路能耗等次要能耗因素，简化能耗计算逻辑，聚焦核心能耗指标开展优化研究。
3.统一假定机械臂所有运动关节与连接连杆均为均质规则构件，质量呈均匀分布状态，便于准确求解各部件质心位置，为重力势能核算、转动动能计算及动力学建模提供标准化前提，提升理论计算的规范性。
4.理想化机械臂整体运动性能，假定各转动关节运动顺畅稳定，运动区间无卡顿、卡死、运动干涉及额外限位约束，各关节均可在预设转角范围内自由灵活运转，严格遵循规划角度完成运动轨迹。
5.对移动底座进行简化处理，将机械臂底座整体等效为运动质点，不计底座自身结构尺寸、转动惯量与移动过程中的能量消耗，仅统计机械臂抓取作业阶段的运动能耗，单独聚焦臂体运动能耗优化，减少非核心结构对模型的干扰。
问题分析：
问题一分析
问题一以六自由度机械臂为研究对象，依托题目所提供的整机结构尺寸、关节初始位置、初始转角等基础参数，首要任务为完成机械臂零位基准构型示意图的绘制，直观呈现各连杆、关节在初始零位下的空间排布与相对位置关系。本问题核心应用场景为单目标定点抓取作业，已知作业目标点相对机械臂基坐标系的空间坐标，核心研究需求为合理规划各关节转动角度，优化关节运动路径，以机械臂末端执行器定位误差最小作为单一核心优化目标，完成逆运动学求解与角度最优配置。为实现精准建模与定量求解，研究首先依托给定初始参数完成零位状态可视化绘图；其次以机械臂底座中心为基准构建全局空间直角坐标系，统一整机位姿描述标准，为后续坐标变换与空间运算奠定基础；结合任务需求可判定，该问题本质属于机械臂典型逆运动学求解问题。本文采用改进 D-H 参数法完成全维度关节坐标系的标准化搭建，依次推导基坐标系至六号末端关节的相邻齐次坐标变换矩阵，完整建立机械臂正向、逆向运动学方程。在此基础上，结合各关节物理机械结构限制，划定合理的角度转动区间作为模型约束条件，以末端执行器与目标点的欧氏距离最小值为目标函数，构建完善的关节角路径单目标优化模型，同时引入改进蚁群算法开展迭代寻优，有效提升求解效率与全局寻优能力，最终求解得到最优关节角度组合，实现机械臂末端高精度定位。
问题二分析
问题二在问题一运动学分析与单目标优化的研究基础上，进一步拓展研究维度，引入能耗评价指标，开展定位精度与作业能耗协同的多目标优化。题目明确给出机械臂整机含末端执行器总质量、各关节转动惯量、平均运动角速度等动力学关键参数，同时设定硬性约束条件，要求机械臂末端定位误差不得超过 200mm，在此限制前提下，同步实现末端误差最小化与整机运行能耗最低化，完成多约束条件下的关节角路径二次优化，更加贴合机械臂实际作业的节能化应用需求。在能耗计算层面，结合机械臂运动特性，分别构建关节转动动能与连杆重力势能的系统化计算方法，通过积分运算表征关节动态转动过程中的动能变化，结合构件高度差量化重力势能损耗，整合所有运动部件的能量变化规律，推导得出机械臂整机综合能耗计算表达式。以末端定位偏差、整体作业能耗为双重优化目标，融合各关节安全转动范围、末端误差阈值上限等多重约束，对问题一原有优化模型进行迭代升级与完善，搭建多目标耦合优化模型。延续智能算法求解思路，利用蚁群算法对改进后模型进行全局寻优计算，平衡定位精度与能量消耗两大核心指标，求解得出最优关节运动轨迹、整机最低作业能耗以及最优末端定位误差，实现机械臂精准作业与低碳运行的双向平衡。
问题三分析
问题三在问题二多目标优化模型的基础上，引入复杂障碍作业环境与移动底座协同控制条件，研究带障碍物约束的机械臂定点抓取协同路径规划问题。该问题明确规定机械臂底座仅可在栅格地图中沿横纵方向移动，禁止斜线行进，同时依托附件数据给出作业环境内障碍物分布、可行活动区域、底座初始停放位置以及作业目标点精准坐标，整体作业场景更贴合实际工程复杂工况。本问题核心要求为，在兼顾末端定位精度与运行能耗的前提下，同步完成底座移动路径规划与机械臂关节角运动路径规划，并通过栅格地图完成底座行进路线的可视化呈现。针对障碍物遮挡与空间限制问题，首先导入附件环境数据，采用栅格建模方法完成作业区域可视化处理，清晰划分可行通行区域、障碍物禁止区域，明确空间运动边界。为进一步缩减无效行程、降低整机能耗、规避碰撞风险，设计科学规范的可达点筛选判定机制；以作业目标点为中心，选取机械臂零位构型水平最大伸展距离为半径，划定四分之一圆形有效搜索区域，逐一校验区域内点位与目标点连线的通行无障碍性，筛选全部无碰撞、可正常作业的有效栅格点位，构建目标可达点集合。依托问题二成熟的误差核算体系与能耗计算模型，遍历测算不同可达点作为作业基准时的机械臂抓取能耗与定位误差。结合栅格运动规则，采用 A * 全局寻路算法，完成机械臂底座从初始位置至最优可达点的无障碍路径规划，联立求解最优底座行进轨迹与匹配的关节角运动方案，最终实现障碍环境下机械臂抓取作业的高精度、低能耗协同运行。
问题四分析
问题四为多场景拓展延伸问题，聚焦复杂障碍环境下多目标连续抓取作业的全局路径优化，在问题三单目标避障抓取的基础上，增加多个货物抓取任务，要求机械臂依次绕过空间障碍物，完成多目标连续抓取作业。依托附件提供的多组货物坐标与障碍物分布数据，以最小化全程累计末端误差、降低整体作业总能耗为核心优化目标，统筹规划全程底座移动路线与分段关节角运动路径，输出完整连续作业方案，并完成全流程底座路径栅格可视化，精准核算多任务叠加下的总定位误差与总能耗指标。研究延续问题三成熟的可达点判定核心策略，结合 S算法多节点深度扩展搜索优势，批量完成五个作业目标周边全域范围内的可达点筛选与集合构建。以机械臂初始底座位置为参考，通过欧氏空间距离测算比对，优先选取距离起点最近的目标点位作为连续作业首个抓取任务，以此搭建适配多任务场景的 A避障路径规划模型。采用分段式分步优化思想，运用 A * 算法对各目标对应的可达点集合进行全局路径遍历择优，结合问题二标准化的误差、能耗计算规则，对每一段抓取运动路径与关节角度配置进行精细化优化筛选。同时充分考虑连续作业的运动连贯性，将上一货物抓取完成后的机械臂末端位姿、关节角度状态作为先验约束，设定为下一目标抓取作业的初始运动条件，保证多任务衔接平稳顺滑、运动逻辑连续。通过逐点择优、分段规划、全局统筹的方式，依次迭代求解，最终确定全程最优底座移动路径与分阶段最优关节角路径，量化统计多目标作业累计末端误差与总能耗，完善移动机械臂多障碍物、多任务连续作业的整体优化方案。
模型的建立与求解整体论文缩略图
全部论文请见下方" 只会建模 QQ名片" 点击QQ名片即可
部分程序代码：
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from roboticstoolbox import DHRobot, RevoluteDH
# ======================
# 1. DH参数建立6轴机械臂
# ======================
links = [
RevoluteDH(d=0.6, a=0, alpha=0), # 关节1
RevoluteDH(d=0, a=0.3, alpha=-np.pi/2), # 关节2
RevoluteDH(d=0, a=1.2, alpha=0), # 关节3
RevoluteDH(d=1.2, a=0.3, alpha=-np.pi/2), # 关节4
RevoluteDH(d=0, a=0, alpha=-np.pi/2), # 关节5
RevoluteDH(d=0, a=0, alpha=-np.pi/2) # 关节6
]
robot = DHRobot(links, name="6-DOF Robot")
# 初始关节角（对应MATLAB的零位）
q0 = np.array([0, -np.pi/2, 0, np.pi, -np.pi/2, 0])
# 绘制机械臂（可选）
# robot.plot(q0)
# ======================
# 2. 目标点
# ======================
target_position = np.array([1.5, 1.2, 0.2])
# ======================
# 3. 蚁群算法参数
# ======================
num_ants = 50
num_iterations = 100
alpha = 1.0 # 信息素重要性
beta = 2.0 # 启发函数重要性
rho = 0.5 # 挥发系数
Q = 100 # 信息素强度
# 关节角度范围（转弧度）
joint_limits = np.array([
[-160, 160],
[-150, 15],
[-200, 80],
[-180, 180],
[-120, 120],
[-180, 180]
]) * np.pi / 180
# 转动惯量与平均角速度（能耗计算）
inertias = np.array([0.5, 0.3, 0.4, 0.6, 0.2, 0.4])
avg_speeds = np.array([2.0, 1.5, 1.0, 2.5, 3.0, 2.0])
# 目标权重
alpha_weight = 1.0
beta_weight = 1.0
# ======================
# 4. 目标函数（误差 + 能耗）
# ======================
def combined_objective(angles):
# 正运动学求末端位置
T = robot.fkine(angles)
pos = T.t
error = np.linalg.norm(pos - target_position)
# 能耗
energy = np.sum(inertias * (avg_speeds ** 2))
# 综合目标
return alpha_weight * error + beta_weight * energy
# ======================
# 5. 蚁群算法主程序
# ======================
# 初始化信息素
pheromone = np.ones((6, num_ants))
best_solution = None
best_obj = np.inf
all_paths = []
for iteration in range(num_iterations):
paths = np.zeros((num_ants, 6))
objs = np.zeros(num_ants)
for ant in range(num_ants):
path = np.zeros(6)
# 每个关节按概率选择角度
for j in range(6):
low = joint_limits[j, 0]
high = joint_limits[j, 1]
angles = np.linspace(low, high, num_ants)
prob = (pheromone[j] ** alpha) * ((1.0 / (angles + 1e-6)) ** beta)
prob /= prob.sum()
# 随机采样
path[j] = np.random.choice(angles, p=prob)
# 计算目标值
obj_val = combined_objective(path)
paths[ant] = path
objs[ant] = obj_val
# 更新最优
if obj_val < best_obj:
best_obj = obj_val
best_solution = path.copy()
all_paths.append(paths.copy())
# 更新信息素
pheromone *= (1 - rho)
for ant in range(num_ants):
pheromone += Q / objs[ant]
# ======================
# 6. 绘制关节角度变化曲线
# ======================
plt.figure(figsize=(12, 8))
for j in range(6):
plt.subplot(3, 2, j+1)
for it in range(num_iterations):
plt.plot(all_paths[it][:, j], 'b-', linewidth=0.3, alpha=0.4)
plt.plot(all_paths[-1][:, j], 'r-', linewidth=1.5)
plt.title(f'Joint {j+1} Angle')
plt.xlabel('Iteration')
plt.ylabel('Rad')
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
# ======================
# 7. 绘制3D末端路径
# ======================
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
# 绘制所有迭代路径
for it in range(num_iterations):
paths = all_paths[it]
for ant in range(num_ants):
T = robot.fkine(paths[ant])
x, y, z = T.t
ax.plot(x, y, z, 'b.', markersize=1, alpha=0.2)
# 绘制最优路径
T_best = robot.fkine(best_solution)
best_pos = T_best.t
ax.plot(best_pos[0], best_pos[1], best_pos[2], 'ro', markersize=8, label='Best Position')
ax.scatter(target_position[0], target_position[1], target_position[2],
c='gold', s=100, label='Target')
ax.set_xlabel('X (m)')
ax.set_ylabel('Y (m)')
ax.set_zlabel('Z (m)')
ax.set_title('3D Path Optimization (ACO)')
ax.legend()
ax.grid(True)
plt.show()
# ======================
# 8. 输出最终结果
# ======================
T_final = robot.fkine(best_solution)
final_pos = T_final.t
error = np.linalg.norm(final_pos - target_position)
energy = np.sum(inertias * (avg_speeds ** 2))
print("=" * 50)
print(" 6自由度机械臂蚁群算法优化结果")
print("=" * 50)
print(f"最优关节角：\n{np.round(best_solution, 4)}")
print(f"末端坐标：{np.round(final_pos, 4)} m")
print(f"目标点：{target_position} m")
print(f"末端误差：{error:.4f} m = {error*1000:.2f} mm")
print(f"能耗：{energy:.4f} J")
print(f"综合目标函数：{best_obj:.4f}")
print("=" * 50)