文章目录
- [H-Spin the Wheel 找规律 模意义下的等差数列](#H-Spin the Wheel 找规律 模意义下的等差数列)
- [J-Target 位运算](#J-Target 位运算)
- [I-Square 找规律 贪心 等差数列](#I-Square 找规律 贪心 等差数列)
- [A Alice and Bob 组合计数 构造？](#A Alice and Bob 组合计数 构造？)
H-Spin the Wheel 找规律 模意义下的等差数列
打表找规律
- 先转不同位置 再加一次 发现n为奇数 只影响位置
- 加多次0 1 2 ...n-1 发现加n次又回来了
- 如果最后一次加的时候 加的数向左移位一下 其实相当于所有数都+1)%n
- 若a+b=n 在%n的情况下 +a和-b是相同的
- 所以对0 1 2 3 4 的圈，顺时针转要么+1 要么-(n-1)，都相当于+1
- 观察表，发现相邻的数差的值一样，每次加外圈的数相当于相邻数之间差值+1
- 所以，判断所给序列是否存在的标准：相邻两个数的差是否一样
- 如果数列中所有数都相同，说明add了n次，被%n约掉了
- 结果计算：
- 相邻数的差=operation 2(add)的次数
- operation 1(spin)
- 0+0=0 如果不转，样例中数列第一个数必是0
- 第一个数不是0，需要转一下，相当于所有数上都加一个数，把第一个数加成目标数
cpp
void solve()
{
int n;
cin >> n;
vector<int> a(n + 1);
forr(i, 0, n - 1) cin >> a[i];
int dis = (a[0] - a[n - 1] + n) % n;
forr(i, 1, n - 1) // 模意义下的等差数列
{
if ((a[i] - a[i - 1] + n) % n != dis)
return cout << -1 << endl, void();
}
if (dis == 0)
{
if (a[0] != 0) // 需要中间变动一下 得到非零相等
cout << n + 1 << endl;
else
cout << 0 << endl;
}
else
{
cout << dis + (a[0] != 0) << endl;
}
}不能只看样例n为奇数，要多打表，把规律找全面。
J-Target 位运算
题意
- 每次操作要么 ÷ 2 \div2 ÷2，要么 ÷ 2 \div 2 ÷2再 + 0.5 +0.5 +0.5
- 找 a → b a\rightarrow b a→b的方法，题目中只限制操作次数在50次之内，没有最小操作次数的要求
- 题中认为 ∣ x − y ∣ ≤ 10 − 4 → x = y |x-y|\leq10^{-4}\rightarrow x=y ∣x−y∣≤10−4→x=y
- 0 ≤ a ≤ 1 , 0 ≤ b ≤ 1 0\leq a\leq 1,0\leq b\leq 1 0≤a≤1,0≤b≤1
思路
- a → 0 → b a\rightarrow 0\rightarrow b a→0→b
- a → 0 a\rightarrow 0 a→0：因为 1 2 15 ≤ 10 − 4 {1\over 2^{15}}\leq 10^{-4} 2151≤10−4，进行15次操作1，一定能把a变成0
- 0 → b 0\rightarrow b 0→b：
- 0.5 0.5 0.5的二进制是 0.1 0.1 0.1， 0.75 = 0.5 ÷ 2 + 0.5 0.75=0.5\div2+0.5 0.75=0.5÷2+0.5是 0.11 0.11 0.11
- ÷ 2 \div2 ÷2相当于1向后移， + 0.5 +0.5 +0.5相当于在第一位放1
- 将b化二进制，有1的地方说明执行了操作2
- 同上，找15位就可以
cpp
void solve(){
double a,b;
cin>>a>>b;
string ans1,ans2;
forr(i,1,15)ans1+='1';
forr(i,1,15){
b*=2;
if(b>=1.0){
ans2+='2';
b=b-1;
}else ans2+='1';
}
reverse(ans2.begin(),ans2.end());//因为二进制是顺序找的，在前面的1应该在后面放，所以要逆转一下
cout<<ans1<<ans2;
}I-Square 找规律 贪心 等差数列
- x − 1 x-1 x−1让数字变小，如果x>y，直接一步步变小
- x + ⌊ 2 x + 1.5 ⌋ x + \lfloor \sqrt{2x}+1.5\rfloor x+⌊2x +1.5⌋变大
- 1 → 1 + 2 = 3 → 3 + 3 = 6 → 6 + 4 = 10 → 10 + 5 → . . . 1\rightarrow1+2=3\rightarrow3+3=6\rightarrow6+4=10\rightarrow10+5\rightarrow... 1→1+2=3→3+3=6→6+4=10→10+5→...
- 发现每次加的是差为1的等差数列
- 多打一下这个式子的递推表（横着看）
直接放dalao的题解...抽象的数值运算映射到三角形数阵的几何结构上
cpp
void solve(){
int x,y;
cin>>x>>y;
if(x>=y)return cout<<x-y<<endl,void();// 全用操作1
else{
int lx=sqrt(2*x),ly=sqrt(y*2);
// 凑出包含x,y的三角形 lx ly是三角形层数
while(lx*(lx+1)/2<x)lx++;
while(ly*(ly+1)/2<y)ly++;
int ans=ly-lx;//操作2 x跳到与y同层 x向上跳的次数 就是三角形差的层数
int px=x-lx*(lx-1)/2,py=y-ly*(ly-1)/2;//px py代表x y在本层的位置
// 操作1
//lx-px是到lx层末尾的长度 因为斜着跳 到末尾的长度不变
if(lx-px<=ly-py){// 如果x进行操作2跳到y的那一层 x'>=y 进行操作1 减到y
ans+=(ly-py)-(lx-px);
}else ans+=(ly-py)+px+1;//x'<y 多跳一层跳到ly+1层 x'和y的距离是(ly-py)+px
cout<<ans<<endl;
}
}A Alice and Bob 组合计数 构造？
先通过小样例摸出谁先得到1谁最后必输
又列样例发现
- 类似 2 3 4 5 1 / 2 3 5 4 1 B赢
- 3 2 4 5 1 A赢
谁拿到 p 1... p 1 p_{1...p_1} p1...p1中最小 谁就必输
对1~n每个数 q q q，构造 p 1 = q p_1=q p1=q且 p i > q ( i = 2... p 1 ) p_{i}>q(i={2...p_1}) pi>q(i=2...p1)的序列，即B赢
若 p 1 = q p_1=q p1=q，把 n − q n-q n−q个数放进 q − 1 q-1 q−1个位置，有 ( n − q ) ( n − q − 1 ) . . . q − 1 个相乘 = ( n − q ) ! ( n − q − ( q − 1 ) ) ! = ( n − q ) ! ( n − 2 q + 1 ) ! \underset{q-1个相乘}{(n-q)(n-q-1)...}=\frac{(n-q)!}{(n-q-(q-1))!}=\frac{(n-q)!}{(n-2q+1)!} q−1个相乘(n−q)(n−q−1)...=(n−q−(q−1))!(n−q)!=(n−2q+1)!(n−q)!
cpp
const int N = 1e7, M = 1e5;
const double PI = acos(-1), eps = 1e-7;
const long long mod = 998244353, inf = 2e18;
int qpow(int a, int b)
{
int res = 1;
while (b)
{
if (b & 1)
(res *= a) %= mod;
b >>= 1;
(a *= a) %= mod;
}
return res;
}
int inv(int x)
{
return qpow(x, mod - 2) % mod;
}
int fac[N], ifac[N];
void init()
{
fac[0] = 0, fac[1] = 1;
forr(i, 2, N)
{
fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
}
ifac[N] = inv(fac[N]);
reforr(i, 1, N - 1)
{
ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
ifac[0] = 1;
}
void solve()
{
int n;
cin >> n;
if (n == 1)
return cout << 1 << endl, void();
int ans = fac[n - 1] % mod;
forr(i, 2, n)
{
if (n - i < i - 1)// i-1个位置放不满 必有<i的数 B输
break;
(ans += (fac[n - i] * ifac[n - 2 * i + 1]) % mod * fac[n - i] % mod) %= mod;
}
cout << ans << endl;
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int _ = 1;
// cin >> _;
init();
while (_--)
{
solve();
}
return 0;
}