循环嵌套笔记
------彭彭老师一、循环嵌套基础：什么是"套娃循环"？
就像"俄罗斯套娃"，一个循环里藏着另一个循环：
- 外层循环：控制"大步骤"（比如做几轮）
- 内层循环：控制"小步骤"（比如每轮重复做什么）
核心逻辑：外层循环每走1次，内层循环会完整走一遍（或按需走）。
二、课堂例题
例4.12 阶乘和
问题 ：求 1! + 2! + ... + n!（比如n=3时，1+2+6=9）
知识点
- 外层循环：控制加到第几个数（
i从1到n） - 内层循环：计算每个数的阶乘（
i! = 1×2×...×i） - 累加：把每个阶乘的结果加起来
通俗解释
想象你算"1个苹果 + 2个苹果×1（2!） + 3个苹果×2×1（3!）......"，每算一个数的阶乘（内层循环），就把它加到总和里（外层循环控制加几个数）。
简化代码（C++）
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int n = 3; // 求到3!
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 外层：加第i个阶乘
int fact = 1; // 每个阶乘的初始值
for (int j = 1; j <= i; j++) { // 内层：算i!
fact *= j;
}
sum += fact; // 累加阶乘
}
cout << "1!+2!+...+" << n << "! = " << sum << endl;
return 0;
}答案
n=3时输出9；n=5时输出153（1+2+6+24+120）。
例4.13 打印三角形（*组成）
问题：打印n行正三角形（比如n=3时）：
*
**
***知识点
- 外层循环：控制行数（
i从1到n） - 内层循环：控制每行的数量（
j从1到i，打印i个）
通俗理解
想象画三角形：第1行画1个*，第2行画2个*......第i行画i个*。外层选"第几行"，内层在这一行画"几个*"。
简化代码
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int n = 3;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 外层：第i行
for (int j = 1; j <= i; j++) { // 内层：画i个*
cout << "*";
}
cout << endl; // 换行
}
return 0;
}答案
n=3时输出如上三角形；n=5时输出5行，每行依次1-5个*。
例4.14 百钱买百鸡
问题：100文买100只鸡，公鸡5文/只，母鸡3文/只，小鸡1文3只。求所有买法。
知识点
- 外层循环：公鸡数量
x（0≤x≤20，5×20=100） - 内层循环：母鸡数量
y（0≤y≤33，3×33=99） - 小鸡数量
z=100-x-y，需满足：5x+3y + z/3=100且z能被3整除（小鸡不能买半只）
通俗理解
想象买鸡：先试买0只公鸡+0只母鸡，算小鸡数量；再试0只公鸡+1只母鸡......一个个试（双重循环），找到所有符合条件的组合。
简化代码
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
for (int x = 0; x <= 20; x++) { // 公鸡最多20只
for (int y = 0; y <= 33; y++) { // 母鸡最多33只
int z = 100 - x - y;
if (z % 3 == 0 && 5*x + 3*y + z/3 == 100) {
cout << "公鸡：" << x << "，母鸡：" << y << "，小鸡：" << z << endl;
}
}
}
return 0;
}答案
共4种买法：
- 公鸡0，母鸡25，小鸡75
- 公鸡4，母鸡18，小鸡78
- 公鸡8，母鸡11，小鸡81
- 公鸡12，母鸡4，小鸡84
例4.15 水仙花数（三位数）
问题：找三位数中"每个数位的立方和等于自身"的数（比如153=1³+5³+3³）。
知识点
- 外层循环：遍历100~999的三位数（
i从100到999） - 内层操作：分解
i的百位、十位、个位（比如153→百位1，十位5，个位3） - 判断：
百位³ + 十位³ + 个位³ == i？
通俗理解
检查每个三位数，拆成"百、十、个"三个数字，算它们的立方和（比如1³=1，5³=125，3³=27，和为153），如果和原数一样，就是水仙花数。
简化代码
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
for (int i = 100; i <= 999; i++) {
int a = i / 100; // 百位（153/100=1）
int b = (i / 10) % 10; // 十位（153/10=15→15%10=5）
int c = i % 10; // 个位（153%10=3）
if (a*a*a + b*b*b + c*c*c == i) {
cout << i << " 是水仙花数" << endl;
}
}
return 0;
}答案
三位数中的水仙花数：153、370、371、407。
例4.16 100以内素数
问题：找100以内的素数（只能被1和自身整除的数，比如2、3、5）。
知识点
- 外层循环：遍历2~100的数（
i从2到100） - 内层循环：判断
i是否能被2~√i的数整除（若都不能，是素数）
通俗解释
检查每个数（从2开始），看看它能不能被比它小的数整除（比如5：2不能整除，3不能，4不能→是素数）。内层循环是"试除"，外层循环是"检查哪个数"。
简化代码
cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
for (int i = 2; i <= 100; i++) {
bool isPrime = true; // 先假设是素数
for (int j = 2; j <= sqrt(i); j++) {
if (i % j == 0) { // 能整除，不是素数
isPrime = false;
break; // 跳出内层循环
}
}
if (isPrime) cout << i << " ";
}
return 0;
}答案
100以内素数：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97。
例4.17 四位完全平方数
问题：找四位数中的完全平方数（比如1024=32²）。
知识点
- 外层循环：遍历32~99的数（31²=961是三位数，99²=9801是四位数）
- 计算平方：
k=i×i，输出所有四位数的平方。
通俗解释
算每个数的平方，看看是不是四位数（比如32²=1024，是；99²=9801，是），把这些数找出来。
简化代码
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
for (int i = 32; i <= 99; i++) {
cout << i*i << " ";
}
return 0;
}答案
部分结果：1024（32²）、1089（33²）、1156（34²）......9801（99²）。
例4.18 分解质因数
问题：把数分解成质数相乘（比如12=2×2×3）。
知识点
- 外层循环：从2开始试除（最小质数是2）
- 内层循环：若能整除，记录质数，继续用商试除（直到商为1）
通俗解释
把数"拆成小质数的乘积"：比如12→先除以2（能整除，记录2），得到6；再除以2（能整除，记录2），得到3；再除以2（不能），换3（能整除，记录3），结束。
简化代码（以12为例）
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int n = 12;
cout << n << " = ";
for (int i = 2; i <= n; i++) {
while (n % i == 0) {
cout << i;
n /= i;
if (n != 1) cout << "×";
}
}
cout << endl;
return 0;
}答案
12=2×2×3；18=2×3×3；25=5×5。
三、循环嵌套技巧
- 先想外层循环控制什么 （比如行数、范围），再想内层循环做什么（比如每行操作、试除）。
- 用"套娃"比喻理解嵌套，外层每走1步，内层走完整轮。