【每天学习一点算法 2026/04/30】寻找重复数

每天学习一点算法 2026/04/30

题目：寻找重复数

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums ，其数字都在 $1, n$ 范围内（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。

假设 nums 只有一个重复的整数，返回这个重复的数。

你设计的解决方案必须不修改数组 nums 且只用常量级 O(1) 的额外空间。

作者：LeetCode

链接：https://leetcode.cn/leetbook/read/top-interview-questions-hard/xwz4lj/

来源：力扣（LeetCode）

著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

二分查找

首先我们来分析一下，假设我们的 m 是重复数

在 1 ~ m-1 范围中的数都是唯一的，那么这个范围中的任意一个数 i 一定满足：小于等于 i 的数字个数 count 是小于等于 i 的。

在 m ~ n 范围中的数因为存在重复数 m，那么这个范围中的任意一个数 i 一定满足：小于等于 i 的数字个数 count 是大于 i 的。

有点抽象我们以 nums = [3,1,3,4,2] 为例：
- m = 3
- 1 ~ 2 范围内有 1 和 2 两个数他们 count 分别是 1 和 2，满足上面的规律。
- 3 ~ 4 范围内有 3 和 4 两个数他们 count 分别是 4 和 5，满足上面的规律。
那么我们就可以根据这个规律在 1 ~ n 范围进行二分查找，找到第一个 count 大于它自身的数字就是重复数字。
typescript 复制代码
```
function findDuplicate(nums: number[]): number {
  let left = 1, right = nums.length - 1
  let res = 0
  while (left <= right) {
    const mid = Math.floor((left + right) / 2)
    let count = 0
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
      if (nums[i] <= mid) count++
    }

    if (count > mid) {
      right = mid - 1
      res = mid
    } else {
      left = mid + 1
    }
  }

  return res
};
```
快慢指针

我们如果根据数组建立一个链表，使他的下一个节点在数组中的索引等于当前元素值。

以 nums = [1,3,4,2,2] 为例：
- 第一个节点值为：1
- 第二个节点值为：下标为 1 的 3
- 第三个节点值为：下标为 3 的 2
- 第四个节点值为：下标为 2 的 4
- 第五个节点值为：下标为 4 的 2
此时出现了重复的节点表示这个链表是有环的，只有存在有重复数字这样生成的链表一定就会有环，而环的入口 2 就是重复的数字。

这个问题就变成了寻找链表环的入口的问题，我们可以使用快慢指针，快指针每次移动两步，慢指针每次移动一步，根据 Floyd 判圈算法两个指针一定会相遇。

假设环的长度是 len，从起点到环的入口步数是 a，入口到相遇位置的步数是 b，从相遇位置回到入口的步数是 c。

首先 len = b + c

两指针相遇时，慢指针走了 a + b 步，快指针走了 2(a + b) 步。

因为两指针相遇时，快指针一定会比慢指针多走若干圈，假设时 x 圈

那么快指针走的步数也可以表示成：a + b + x * len

于是就有了： 2(a + b) = a + b + x * len

a = x * len - b = (x - 1) * len + c

根据这个公式：如果两个指针一个从快指针出发一个从相遇点出发，当一个指针走了 a 步到达起点时，另外一个指针刚好也能绕 x - 1 圈后再走 c 步回到入口。

所以我们需要先利用龟兔赛跑式快慢指针到达相遇点，再移动一个指针至起始点，然后两个指针每次都只移动一步，相遇的节点就是环的入口也就是我们要找的重复数。
typescript 复制代码
```
function findDuplicate(nums: number[]): number {
  let fast = 0, slow = 0
  // 利用 Floyd 判圈移动指针到相遇点
  do {
    fast = nums[nums[fast]]
    slow = nums[slow]
  } while (fast != slow)
	
  slow = 0 // 将慢指针移动到起始点
  // 同步移动快慢指针直至相遇
  while (fast != slow) {
    slow = nums[slow]
    fast = nums[fast]
  }
  return fast // 返回相遇点指针
};
```
题目来源：力扣（LeetCode）