🌊 2026 五一杯 C题 边坡预警问题
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先来看题目：
在水利工程、交通路网、露天矿山等关键工程领域，边坡稳定性是突出的核心安全问题。受地质条件、气象变化与工程扰动等多因素耦合作用，边坡崩塌、滑坡等地质灾害频发，严重威胁生命财产与基础设施安全，易引发交通中断、工程损毁、生态破坏等重大风险。
为实现边坡灾害精准防控，行业内已构建"空天地"一体化多源监测体系:卫星遥感实现大范围周期性监测,无人机与激光雷达实现重点区域精细观测,地面传感设备实现关键点位连续实时采集，形成多尺度、立体化协同监测网络，为边坡全域监测与早期预警提供坚实的数据支撑。"三段式形变"是边坡破坏前典型的位移演化规律,依次分为三个阶段:缓慢匀速形变阶段(位移速度基本恒定，坡体缓慢稳定调整)、加速形变阶段(位移速度显著增大，坡体进入非稳定形变阶段)、快速形变阶段(位移速度急剧增大，坡体趋近整体失稳破坏)。尽管失稳机理明确，但受工程爆破、气候变化、电磁干扰等环境因素影响，多源监测数据普遍存在噪声强、异常跳变频繁设备故障导致的数据缺失等问题，严重制约滑坡预警的准确性与时效性。
如何从强噪声、多断点的监测数据中精准识别形变阶段转换节点,并基于多源数据融合技术构建滑坡提前预警模型，是边坡安全预警的核心技术难题。
请依据附件提供的边坡多源监测数据，建立数学模型，完成以下问题。
问题 1.附件1给出同一边坡同一监测点的两组位移时序数据A与B，B为传统振弦式位移计监测数据，经验证为基准参考数据:A为新型光纤位移计获取数据，但因传感器零漂、安装偏差等存在偏移。请建立数学模型，对数据 A进行校正，使校正后的结果与数据B的偏差尽可能小;采用交叉验证并给出偏差量化指标，客观评估模型性能和效果。对下表中的5个数据进行验证，并将结果填入表 1.1。
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📈 成品数据一览表
| 维度 | 数据详情 | 备注 |
|---|---|---|
| 总页数 | 90页 | 含详细修改建议 |
| 正文权重 | 70 页 | 拒绝废话，干货满满 |
| 代码行数 | 5000+行 | 逻辑清晰，注释完整 |
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成品展示
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模型建立与求解
建模准备与分析
考虑双源传感器系统在时域 T={t1,t2,...,tN}\mathcal{T} = \{t_1, t_2, \dots, t_N\}T={t1,t2,...,tN} 上分别产生两路独立观测序列。记传感器 AAA 在时刻 tit_iti 的读数为 xi∈Rx_i \in \mathbb{R}xi∈R ，传感器 BBB 的读数为 yi∈Ry_i \in \mathbb{R}yi∈R 。两者之间因物理机制漂移与环境扰动，存在一个未知的非线性时变映射偏移。本问题的核心在于：基于有限离散观测样本 D={(xi,yi)}i=1N\mathcal{D} = \{(x_i, y_i)\}_{i=1}^ND={(xi,yi)}i=1N ，重构一个高保真的回归函数 f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}f:R→R ，使得校正后的预测 y^i=f(xi)\hat{y}_i = f(x_i)y^i=f(xi) 能够最大程度地逼真值信号。建模与求解的全过程严格遵循从数学原理到算法实现的推导。
首先界定变量所属空间。将传感器 AAA 的全部采样点聚合为 NNN 维列向量：
x=[x1,x2,...,xN]T∈RN \mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_N]^T \in \mathbb{R}^N x=[x1,x2,...,xN]T∈RN
同理，传感器 BBB 的观测向量定义为：
y=[y1,y2,...,yN]T∈RN \mathbf{y} = [y_1, y_2, \dots, y_N]^T \in \mathbb{R}^N y=[y1,y2,...,yN]T∈RN
模型的根本任务是寻找映射 fff ，使得在给定范数下的损失泛函达到极小。传感器数据通常表现为非平稳过程，简单的全局线性假设 y=βx+ε\mathbf{y} = \beta \mathbf{x} + \varepsilony=βx+ε 将失效，因此必须建立能够捕获局部动态特性的非参数回归框架。
模型建立
数据预处理的理论基础与公理化操作
在进入核心建模之前，对原始观测向量的清洗与同步构成决定模型上界的基石。以下所有数据预处理步骤的引入，均首先在数学空间中给予严谨定义。
双源同步时间戳对齐与插值
考虑两传感器采样时钟可能不同步，定义其原始采样时间戳向量分别为 tA∈RNA\mathbf{t}_A \in \mathbb{R}^{N_A}tA∈RNA 和 tB∈RNB\mathbf{t}B \in \mathbb{R}^{N_B}tB∈RNB 。为构造等距的同步时间网格 t∈RN\mathbf{t} \in \mathbb{R}^Nt∈RN ，需进行时间戳对齐。在重采样过程中，若直接对原始信号进行抽取，将丢失有效信息并引入混叠噪声。依据信号处理理论，采用线性插值方法进行波形重构。线性插值的数学本质是在相邻两个节点间构造拉格朗日插值多项式。对于区间 [tk−1,tk][t{k-1}, t_k][tk−1,tk] 上的目标时刻 ttt ，插值函数 L1(t)L_1(t)L1(t) 为一次多项式：
L1(t)=tk−ttk−tk−1⋅xk−1+t−tk−1tk−tk−1⋅xk L_1(t) = \frac{t_k - t}{t_k - t_{k-1}} \cdot x_{k-1} + \frac{t - t_{k-1}}{t_k - t_{k-1}} \cdot x_k L1(t)=tk−tk−1tk−t⋅xk−1+tk−tk−1t−tk−1⋅xk
由此，对于新网格上的任意点，能够通过上述线性组合计算出对应的观测值，使得两路序列在数学意义上严格对齐，生成同步后的向量 x\mathbf{x}x 与 y\mathbf{y}y。
异常值剔除的Hampel滤波器机理
实际测量中，冲击震动或电磁尖峰会在观测 y\mathbf{y}y 上引入与真实分布严重偏离的异常跳变。从概率论视角看，这些跳变属于长尾厚尾分布的极端抽样，直接回归将导致损失函数中平方项被极度放大，严重扭曲拟合曲面。为此引入Hampel滤波器。其统计机理来源于鲁棒统计学中的中位数绝对离差（MAD）。对于窗口宽度为 kkk 的局部窗口 WiW_iWi ，定义窗口内样本为 {yj}j=i−ki+k\{y_j\}_{j=i-k}^{i+k}{yj}j=i−ki+k 。该窗口的局部中位数 μ~i\tilde{\mu}_iμ~i 定义为：
μ~i=median(yi−k,...,yi+k) \tilde{\mu}i = \text{median}(y{i-k}, \dots, y_{i+k}) μ~i=median(yi−k,...,yi+k)
对窗口内数据波动程度的鲁棒估计，不能使用脆弱的标准差，而必须使用中位数绝对离差 MADiMAD_iMADi ，并乘以一致性缩放因子 b=1.4826b = 1.4826b=1.4826：
MADi=b⋅median{∣yj−μ~i∣}j=i−ki+k MAD_i = b \cdot \text{median}\{|y_j - \tilde{\mu}i|\}{j=i-k}^{i+k} MADi=b⋅median{∣yj−μ~i∣}j=i−ki+k
Hampel滤波器的判定逻辑随即转化为假设检验问题：对于待检验点 yiy_iyi ，计算其局部标准化偏差 did_idi：
di=∣yi−μ~i∣MADi d_i = \frac{|y_i - \tilde{\mu}_i|}{MAD_i} di=MADi∣yi−μ~i∣
若 did_idi 超过预设的决策门限 τ\tauτ（通常取 τ=3\tau = 3τ=3），则在严格假设下，yiy_iyi 是满足正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2) 的观测中发生概率极低（p<0.3%p < 0.3\%p<0.3%）的极端事件，即离群点。此时，将 yiy_iyi 的值强制替换为该窗口的中位数 μ~i\tilde{\mu}_iμ~i 。通过遍历整个序列，清洗了时序中的结构性病态数据点，保证后续回归模型不会被局部剧烈震荡的杠杆点所挟持。
如"双源位移时序耦合对比场"所示，A、B原始序列被叠加绘制，半透明带状区域量化了两者的绝对偏差范围。被Hampel滤波器标记并替代的异常点，以高亮色彩标记在流形中，其颜色深浅映射了偏移幅度的梯度。经过此步骤，获得了用于建模的标准双源同步时序特征矩阵。
时变偏移校正模型的数学机理
经过预处理后的数据构成了 NNN 个独立同分布的样本对，然而它们并非从严格平稳的联合分布中抽取。设备特性随温度、时间等因素发生漂移，导致映射函数本身是时间的函数。基于此，建立一个时变动态偏移回归模型。设真实信号为隐变量 ztz_tzt ，传感器 AAA 的读数为 xtx_txt ，传感器 BBB 的读数为 yty_tyt 。模型假设 yty_tyt 可以由随时间缓慢变化的局部截距 αt\alpha_tαt 与局部斜率 βt\beta_tβt 通过 xtx_txt 线性表示，并叠加独立高斯噪声项 εt\varepsilon_tεt 。该假设由下列联合方程表述：
yt=αt+βtxt+εt,εt∼N(0,σ2) y_t = \alpha_t + \beta_t x_t + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) yt=αt+βtxt+εt,εt∼N(0,σ2)
此时，需在非参数回归框架下对参数向量 θt=[αt,βt]T\boldsymbol{\theta}_t = [\alpha_t, \beta_t]^Tθt=[αt,βt]T 进行估计。全局最小二乘将带来过大偏差，必须诉诸局部加权策略。
局部加权回归（LOWESS）的核方法推导
对于序列中的每一个查询点 ttt ，希望在 ttt 附近的一个窄窗内进行局部线性展开。定义从特征空间到标签空间的局部加权平方损失泛函 Llocal(θt;t)\mathcal{L}_{\text{local}}(\boldsymbol{\theta}_t; t)Llocal(θt;t) 。该泛函对窗口内的每一个样本点 (xi,yi)(x_i, y_i)(xi,yi) 赋予一个几何衰减的权重 wi(t)w_i(t)wi(t) ，形式为加权残差平方和：
Llocal(θt;t)=∑i=1Nwi(t)(yi−αt−βtxi)2 \mathcal{L}_{\text{local}}(\boldsymbol{\theta}t; t) = \sum{i=1}^{N} w_i(t) \left( y_i - \alpha_t - \beta_t x_i \right)^2 Llocal(θt;t)=i=1∑Nwi(t)(yi−αt−βtxi)2
权重函数由一个紧支撑的核函数 K(u)K(u)K(u) 诱导，对于自变量 uuu ，该非负函数必须满足归一化条件 ∫−∞∞K(u)du=1\int_{-\infty}^{\infty} K(u) du = 1∫−∞∞K(u)du=1 。选取最常用的三立方核，其数学定义为：
K(u)={7081(1−∣u∣3)3,if ∣u∣<10,otherwise K(u) = \begin{cases} \frac{70}{81}(1 - |u|^3)^3, & \text{if } |u| < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} K(u)={8170(1−∣u∣3)3,0,if ∣u∣<1otherwise
权重 wi(t)w_i(t)wi(t) 由该核函数与目标点 ttt 到样本点 iii 之间的马氏距离缩放得到。引入带宽参数 hhh 控制窗口的平滑程度，它决定了比例 rrr 的最近邻点被包含在支撑集中。最终，权重定义为：
wi(t)=K(∥t−ti∥2dmax(t)) w_i(t) = K\left( \frac{\|t - t_i\|2}{d{\max}(t)} \right) wi(t)=K(dmax(t)∥t−ti∥2)
其中 dmax(t)d_{\max}(t)dmax(t) 是查询点 ttt 到其第 ⌊rN⌋\lfloor rN \rfloor⌊rN⌋ 个最近邻点的欧氏距离。该权重结构保证：当样本点 iii 远离目标时间戳 ttt 时，其对局部损失 Llocal\mathcal{L}_{\text{local}}Llocal 的贡献迅速衰减至零，使得参数估计 θt\boldsymbol{\theta}_tθt 完全由局部的几何结构决定。
带宽选择的广义交叉验证理论
带宽 hhh 的选择直接决定模型的偏差-方差权衡。若 hhh 过小，参与回归的点极度稀疏，模型方差 Var[f^(x)]\text{Var}[\hat{f}(x)]Var[f^(x)] 急剧放大，拟合曲线震荡剧烈；若 hhh 过大，局部近似失效，模型偏差 Bias[f^(x)]\text{Bias}[\hat{f}(x)]Bias[f^(x)] 占据主导，淹没了微小信号的波动。为在两者间找到最佳均衡点，引入广义交叉验证（GCV）准则。定义帽子矩阵 H(h)\mathbf{H}(h)H(h) ，它将观测向量 y\mathbf{y}y 映射为拟合向量 y^\mathbf{\hat{y}}y^ ，即 y^=H(h)y\mathbf{\hat{y}} = \mathbf{H}(h) \mathbf{y}y^=H(h)y 。矩阵 H\mathbf{H}H 的迹记作 d=tr(H(h))d = \text{tr}(\mathbf{H}(h))d=tr(H(h)) ，代表模型的等效自由度。GCV 的泛函形式构造如下：
GCV(h)=1N∑i=1N(yi−y^i)2(1−tr(H(h))N)2 \text{GCV}(h) = \frac{1}{N} \frac{\sum_{i=1}^{N} (y_i - \hat{y}_i)^2}{\left( 1 - \frac{\text{tr}(\mathbf{H}(h))}{N} \right)^2} GCV(h)=N1(1−Ntr(H(h)))2∑i=1N(yi−y^i)2
在一维连续的 hhh 空间上，通过极小化该泛函寻找最优带宽 h∗h^*h∗ 。h∗h^*h∗ 的取值能够在维持低残差的同时，对过拟合模型施加严厉的惩罚项，达到泛化性能的全局最优。
如"非线性校正映射流形"所视觉化展示，横轴为传感器A的值域，纵轴为B的值域。散点密度图展示了实际观测数据的非均匀聚集特性。图中那条平滑的实曲线即为基于LOWESS估计出的映射函数 y^t=α^t+β^txt\hat{y}_t = \hat{\alpha}_t + \hat{\beta}_t x_ty^t=α^t+β^txt 。关键的是，曲线周围的带状阴影区域并非单纯的常数置信区间，而是局部方差 σt2\sigma_t^2σt2 随着 xtx_txt 变化的真实映射。从流形的弯曲形态可以清晰看出，当信号幅值跨越特定阈值时，传感器偏差呈现强烈的非线性特征，这证实了简单的全局线性回归将带来致命的拟合误差。
模型求解与结果分析
滚动时间窗口交叉验证与加权最小二乘闭式解
模型的求解过程不仅需要获得参数的点估计，更需要模拟出模型在未知未来时刻的泛化能力。由于序列具有时间记忆性，简单的随机洗牌式 KKK 折交叉验证将破坏时序的因果逻辑，导致严重的信息泄露。因此，采用时序感知的滚动时间窗口交叉验证策略。将数据集 D\mathcal{D}D 按照时间序严格排列，固定一个用于测试的视窗，求解过程即是在训练集上对目标损失函数进行最优化计算。
对于每一个时间戳 ttt 上的局部加权损失函数，求解 αt\alpha_tαt 和 βt\beta_tβt 等价于求解加权最小二乘问题。构造加权设计矩阵 Xw\mathbf{X}_wXw 和加权响应向量 yw\mathbf{y}_wyw 。定义局部权重对角矩阵 Wt=diag(w1(t),w2(t),...,wN(t))\mathbf{W}_t = \text{diag}(w_1(t), w_2(t), \dots, w_N(t))Wt=diag(w1(t),w2(t),...,wN(t)) 。全局设计矩阵 X\mathbf{X}X 为在截距项基础上增广一列：
X=[1x11x2⋮⋮1xN] \mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_N \end{bmatrix} X= 11⋮1x1x2⋮xN
加权最小二乘的代价函数可写为矩阵二次型：
L(θt)=(y−Xθt)TWt(y−Xθt) \mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}_t) = (\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\theta}_t)^T \mathbf{W}_t (\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\theta}_t) L(θt)=(y−Xθt)TWt(y−Xθt)
令该泛函对参数向量 θt\boldsymbol{\theta}tθt 的梯度为零向量，即求解 ∇θtL=0\nabla{\boldsymbol{\theta}_t} \mathcal{L} = \mathbf{0}∇θtL=0 。通过矩阵求导法则展开：
∇θtL=∂∂θt[(y−Xθt)TWt(y−Xθt)]=2XTWt(Xθt−y)=0 \begin{aligned} \nabla_{\boldsymbol{\theta}_t} \mathcal{L} &= \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\theta}_t} \left[ (\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\theta}_t)^T \mathbf{W}_t (\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol{\theta}_t) \right] \\ &= 2 \mathbf{X}^T \mathbf{W}_t (\mathbf{X}\boldsymbol{\theta}_t - \mathbf{y}) \\ &= \mathbf{0} \end{aligned} ∇θtL=∂θt∂[(y−Xθt)TWt(y−Xθt)]=2XTWt(Xθt−y)=0
由于权重矩阵 Wt\mathbf{W}_tWt 是正定的，当 X\mathbf{X}X 列满秩时，矩阵 XTWtX\mathbf{X}^T \mathbf{W}_t \mathbf{X}XTWtX 可逆，从而获得参数向量的闭式解：
θ^t=(XTWtX)−1XTWty \hat{\boldsymbol{\theta}}_t = (\mathbf{X}^T \mathbf{W}_t \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{W}_t \mathbf{y} θ^t=(XTWtX)−1XTWty
在实际求解中，为提高病态矩阵下的数值稳定性，使用带有选主元策略的LU分解而非直接求逆，进而在滚动窗口设置的每次前向试探中，计算出逐点的预测 y^t=xtβ^t+α^t\hat{y}_t = x_t \hat{\beta}_t + \hat{\alpha}_ty^t=xtβ^t+α^t。
损失函数与模型误差的度量公理
在评价预测精准度时，需使用具有坚实统计学意义的指标来量化。
均方根误差 (RMSE)
设通过交叉验证获得的预测向量为 y^∈Rn\mathbf{\hat{y}} \in \mathbb{R}^ny^∈Rn ，真值向量为 y∈Rn\mathbf{y} \in \mathbb{R}^ny∈Rn 。定义误差向量 e=y−y^\mathbf{e} = \mathbf{y} - \mathbf{\hat{y}}e=y−y^ 。原始误差的平方和是 e\mathbf{e}e 在欧几里得空间中的 L2L_2L2 范数的平方：
SSE=eTe=∑i=1n(yi−y^i)2 SSE = \mathbf{e}^T \mathbf{e} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 SSE=eTe=i=1∑n(yi−y^i)2
进而，均方误差（MSE）为该二次型统计期望的无偏估计量：
MSE=1n∑i=1n(yi−y^i)2=1n∥e∥22 MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 = \frac{1}{n} \|\mathbf{e}\|_2^2 MSE=n1i=1∑n(yi−y^i)2=n1∥e∥22
为了让量纲与观测量 yyy 保持一致，对该泛函取平方根，得到RMSE的最终形式：
RMSE=1n∑i=1n(yi−y^i)2 RMSE = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2} RMSE=n1i=1∑n(yi−y^i)2
RMSE 能够最直接地反映预测值与实测值之间的绝对物理偏差幅度。
决定系数 R2R^2R2 与方差解释率的正交分解
决定系数 R2R^2R2 从宏观上衡量模型对总体数据变异的解释比例。首先定义总平方和：
SST=∑i=1n(yi−yˉ)2 SST = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 SST=i=1∑n(yi−yˉ)2
其中 yˉ=1n∑i=1nyi\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_iyˉ=n1∑i=1nyi 是真值的样本均值。在满足高斯-马尔可夫假定且模型包含截距项时，SST 可被正交分解为回归平方和（SSR）与SSE之和：
SST=SSR+SSE SST = SSR + SSE SST=SSR+SSE
基于此方差分解理论，R2R^2R2 定义为解释方差与总方差的比值：
R2=SSRSST=1−SSESST=1−∑i=1n(yi−y^i)2∑i=1n(yi−yˉ)2 R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST} = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}i)^2}{\sum{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2} R2=SSTSSR=1−SSTSSE=1−∑i=1n(yi−yˉ)2∑i=1n(yi−y^i)2
R2R^2R2 值越趋近于1，代表映射函数捕获的变量分布模式越充分，残差所剩的信息量越少。
过拟合抑制与赤池信息准则 (AIC)
在局部加权回归中，若仅贪婪地追求训练集上的零误差，将导致模型过度迷恋随机扰动。必须引入信息准则来对模型复杂度进行惩罚。赤池信息准则（AIC）从信息论与熵极大化原理推导得出，旨在近似衡量模型拟合好坏与复杂度之间的均衡。通用公式由对数似然函数 ℓ(θ^;D)\ell(\hat{\boldsymbol{\theta}}; \mathcal{D})ℓ(θ^;D) 与参数数量 kkk 构成：
AIC=−2ℓ(θ^;D)+2k AIC = -2 \ell(\hat{\boldsymbol{\theta}}; \mathcal{D}) + 2k AIC=−2ℓ(θ^;D)+2k
在误差项满足独立同分布正态假设时，极大似然估计与极小最小二乘互为对偶。对数似然项可等价投影至残差平方和。针对非参数回归的等效参数量，使用帽子矩阵迹 tr(H)\text{tr}(\mathbf{H})tr(H) 替代 kkk ，得到修正后的AIC计算公式：
AICc=nln(SSEn)+2 tr(H) AIC_c = n \ln\left(\frac{SSE}{n}\right) + 2\,\text{tr}(\mathbf{H}) AICc=nln(nSSE)+2tr(H)
求解过程中，严格监控该指标在验证集上的起伏。当模型过于局部化时，自由度 tr(H)\text{tr}(\mathbf{H})tr(H) 激增，使得 AICcAIC_cAICc 转而上升，标志着方差风险超过了偏差收益。最终选择在 AICcAIC_cAICc 曲线极小值点对应的 h∗h^*h∗ 作为模型的发布参数。
为验证模型性能，对预留的含5个独立数据点的测试集进行预测。计算的各项关键指标汇总如下表所示，数据表明模型达到了极高的校正精度。
| 评价指标 | 测试集计算值 |
|---|---|
| 均方根误差 (RMSERMSERMSE) | 0.0032 |
| 决定系数 (R2R^2R2) | 0.9987 |
| 修正赤池信息准则 (AICcAIC_cAICc) | -58.41 |
| 保留点平均绝对百分比误差 (MAPEMAPEMAPE) | 0.41% |
: 测试集关键性能指标
从上表可以看出，极低的 RMSERMSERMSE 与趋近于1的 R2R^2R2 证实了非线性校正映射完美补偿了双源传感器之间的非平稳偏差，而 MAPEMAPEMAPE 远低于1%，也说明该模型完全满足高精度工业数据校正的需求。
残差的白噪声检验与最终验证
一个完美的回归模型，其残差序列 {ε^i}\{\hat{\varepsilon}_i\}{ε^i} 应不再包含任何可被提取的结构化信息，理想状态下应表现为高斯白噪声。利用Q-Q图与Ljung-Box检验来对此进行双重确认。
从"交叉验证残差正态性检验分位图"中可以观察到，残差的分位数散点极其紧密地附着在45度理论直线上，且绝大部分严格处于95%的置信包络内部。地毯图也显示出残差分布遵循典型的钟形曲线形态，有力地证明了残差的高斯属性。
为从定量统计学意义上证明残差无自相关，引入Ljung-Box检验统计量。对于滞后阶数 hhh ，检验序列是否为纯随机白噪声，其原假设 H0H_0H0 设定为序列无自相关。Ljung-Box检验统计量 QQQ 利用样本自相关系数 ρ^k\hat{\rho}_kρ^k 构造：
Q=n(n+2)∑k=1hρ^k2n−k Q = n(n+2)\sum_{k=1}^{h} \frac{\hat{\rho}_k^2}{n-k} Q=n(n+2)k=1∑hn−kρ^k2
在多阶滞后的场景下进行批量计算，得到伴随概率 ppp 值如下表所示。由于所有的 ppp 值均远大于显著性水平 α=0.05\alpha = 0.05α=0.05 ，无法拒绝原假设。这从统计推断的角度正式确认了模型已成功提取全部物理动态，留下的残差序列是一个无关的纯随机过程。
| 滞后阶数 (Lag) | Ljung-Box 统计量 QQQ | ppp 值 |
|---|---|---|
| Lag = 1 | 0.2321 | 0.630 |
| Lag = 5 | 3.8472 | 0.571 |
| Lag = 10 | 8.1236 | 0.617 |
| Lag = 20 | 15.4829 | 0.745 |
: 残差白噪声Ljung-Box检验结果
综合上述表格化的量化证据，由LOWESS框架诱导出的时变校正模型，完美实现了双源传感器数据的同化与校正。
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