🌊 2026 山东省数学建模 C题 "五一"五日自驾景点优选与行程规划
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先来看题目：
""五一"五日小长假，某三口之家计划从居住地自驾前往同一文旅片区出游，全程固定入住市区同一家酒店，假期时间为5月1日至5 月5日。该文旅片区共有 10 个成熟旅游景点可供选择，各景点在地理位置、游览耗时、开放时段、游玩体验喜好度上存在明显差异。五一出行普遍存在时段性道路堵车、景点入园排队等待等不确定因素,且家庭自驾普遍习惯:每日从酒店出发后连续游玩1~2个景点:景点之间直接驱车前往，中途不返回酒店，当日全部游玩结束后统一返程回酒店。
现要求在5天假期不变、住宿地点固定、每日活动时间有合理边界的前提下，从 10个候选景点中选取合适数量景点安排游览，兼顾个人喜好满意度、景点游览时长达标、出行时序合理、抵御堵车与排队随机扰动，并针对不同出游偏好给出多套可行的备选行程方案。
根据上述背景，解决下面三个问题:
问题一:景点特征分析与组合优先级研究。对10个景点进行类型归类与多维特征分析，基于地理通勤关系挖掘可联动游玩的景点组合，从游览耗时、通勤距离、拥堵敏感度、喜好度四个维度筛选高低优先级景点，为行程规划提供基础备选池。
问题二:无随机扰动下的多目标景点优选与基准行程设计。不考虑堵车、排队等随机因素，以喜好总满意度、每日行车负荷、行程松紧均衡性为目标，建立多目标评价筛选模型，从10个景点中优选一组合理景点组合;遵循每日最多2个景点、中途不返酒店的规则，编
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📈 成品数据一览表
| 维度 | 数据详情 | 备注 |
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| 总页数 | 90页 | 含详细修改建议 |
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成品展示
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模型建立与求解
模型建立
问题形式化与符号系统
设研究区域内包含 NNN 个待评价景点，构成景点集合 A={a1,a2,...,aN}\mathcal{A} = \{a_1, a_2, \dots, a_N\}A={a1,a2,...,aN}，以及一个作为出行起点的酒店 hhh。对于任意景点 ai∈Aa_i \in \mathcal{A}ai∈A，我们定义其核心特征向量 xi∈Rd\mathbf{x}i \in \mathbb{R}^dxi∈Rd，其中 d=4d=4d=4，具体维度为：游览耗时（记为 tit_iti，单位：小时）、游客喜好度评分（记为 sis_isi，无量纲分值）、拥堵敏感度（记为 cic_ici，由位置分布与周边车程分布估计的密度压力指数）以及到酒店的通勤车程（记为 dihd{ih}dih，单位：分钟）。全部景点的特征矩阵记为 X=x1,x2,...,xNT∈RN×4\mathbf{X} = \\mathbf{x}_1, \\mathbf{x}_2, \\dots, \\mathbf{x}_N^T \in \mathbb{R}^{N \times 4}X=x1,x2,...,xNT∈RN×4。同时，已知景点间及酒店与景点间的车程矩阵 T=τij∈R(N+1)×(N+1)\mathbf{T} = \\tau_{ij} \in \mathbb{R}^{(N+1)\times(N+1)}T=τij∈R(N+1)×(N+1)，其中 τij\tau_{ij}τij 表示从节点 iii 到节点 jjj 的驾车平均耗时（i,j∈{h,a1,...,aN}i,j \in \{h, a_1, \dots, a_N\}i,j∈{h,a1,...,aN}），且 τii=0\tau_{ii}=0τii=0，τij=τji\tau_{ij} = \tau_{ji}τij=τji。我们的目标是建立一套多层次数学模型，完成景点类型的无监督划分、联动网络的拓扑发现以及多属性优先级排序，为组合初筛提供量化依据。
数据预处理与特征空间构建
教科书式溯源：Min-Max 归一化
在多维度特征分析中，量纲差异会严重扭曲距离度量与模型参数估计。为消除量纲影响并将各维度映射到统一尺度，我们采用 Min-Max 归一化方法。给定特征向量在总体样本上的一个维度 xxx，其样本集合为 {x(1),x(2),...,x(N)}\{x^{(1)}, x^{(2)}, \dots, x^{(N)}\}{x(1),x(2),...,x(N)}，定义该维度的极小值 xmin=min1≤i≤Nx(i)x_{\min} = \min\limits_{1 \le i \le N} x^{(i)}xmin=1≤i≤Nminx(i) 与极大值 xmax=max1≤i≤Nx(i)x_{\max} = \max\limits_{1 \le i \le N} x^{(i)}xmax=1≤i≤Nmaxx(i)。归一化映射 g:R→0,1g: \mathbb{R} \to 0, 1g:R→0,1 定义为：
g(x)=x−xminxmax−xming(x) = \frac{x - x_{\min}}{x_{\max} - x_{\min}}g(x)=xmax−xminx−xmin
从线性空间的角度看，该映射等价于对原始特征向量 X:,j\mathbf{X}{:,j}X:,j 进行了一次平移与缩放变换 X:,j′=ajX:,j+bj1\mathbf{X}'{:,j} = a_j \mathbf{X}{:,j} + b_j \mathbf{1}X:,j′=ajX:,j+bj1，其中 aj=1/(xmax−xmin)a_j = 1/(x{\max} - x_{\min})aj=1/(xmax−xmin)，bj=−xmin/(xmax−xmin)b_j = -x_{\min}/(x_{\max} - x_{\min})bj=−xmin/(xmax−xmin)。这一变换保持了数据的相对序关系，但在几何上会将所有样本压缩至边长为 1 的超立方体 0,1d0,1^d0,1d 内。对每个维度 j∈{1,2,3,4}j \in \{1,2,3,4\}j∈{1,2,3,4} 分别独立应用该映射后，得到归一化特征矩阵 X~∈0,1N×4\tilde{\mathbf{X}} \in 0,1^{N \times 4}X~∈0,1N×4，其中 x~ij=g(xij)\tilde{x}{ij} = g(x{ij})x~ij=g(xij)。
车程图模型构建
车程矩阵 T\mathbf{T}T 描述了景点间及酒店间的物理通行成本。为刻画景点间的空间联动强度，我们构建一个完全无向图 G=(V,E,W)\mathcal{G} = (\mathcal{V}, \mathcal{E}, \mathbf{W})G=(V,E,W)，其中节点集 V=A∪{h}\mathcal{V} = \mathcal{A} \cup \{h\}V=A∪{h}，边集 E\mathcal{E}E 包含所有景点对之间的连线（共 (N+12)\binom{N+1}{2}(2N+1) 条无向边），边权矩阵 W=wij\mathbf{W} = w_{ij}W=wij 定义为车程的倒数：
wij={1τij+ε,i≠j0,i=jw_{ij} = \begin{cases} \frac{1}{\tau_{ij} + \varepsilon}, & i \neq j \\ 0, & i = j \end{cases}wij={τij+ε1,0,i=ji=j
其中 ε=10−3\varepsilon = 10^{-3}ε=10−3 是为防止分母为零引入的平滑常数。权重 wijw_{ij}wij 的物理含义为"联动强度"------车程越短，联动越强；车程趋近于零（即相邻），联动强度趋于 (1/ε)(1/\varepsilon)(1/ε) 的上界。这一倒数变换将距离度量自然地转化为亲近度量，为后续网络社团检测与联动组合推荐提供拓扑基础。
异常检测与可视化
在正式建模前，需对各维度的统计特性进行侦测。对每一维特征 jjj，计算其上四分位数 Q3Q_3Q3、下四分位数 Q1Q_1Q1 与四分位距 IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1IQR=Q3−Q1，将落于区间 Q1−1.5⋅IQR,Q3+1.5⋅IQRQ_1 - 1.5 \\cdot IQR, Q_3 + 1.5 \\cdot IQRQ1−1.5⋅IQR,Q3+1.5⋅IQR 之外的样本标记为离群点。利用归一化后的矩阵 X~\tilde{\mathbf{X}}X~，可绘制叠加所有景点轮廓的多维雷达图与各维箱线图，形成异常探测面板。
探测面板显示，个别景点在拥堵敏感度维度上呈现极端偏高值，暗示其位于交通枢纽密集区，需要在后续优先级排序中合理控制其组合权重。经过异常筛查后，保留 NNN 个有效景点进入后续建模流程。
基于高斯混合模型的景点多维度分类
模型假设与概率生成过程
我们假设每一景点 aia_iai 的特征向量 x~i\tilde{\mathbf{x}}ix~i 是从一个由 KKK 个多元高斯分布混合而成的概率分布中独立抽取的。设每个高斯分量（即一个潜在类簇）对应一类别标签 zi∈{1,2,...,K}z_i \in \{1,2,\dots,K\}zi∈{1,2,...,K}，类别先验概率为 πk=P(zi=k)\pi_k = P(z_i = k)πk=P(zi=k)，满足 ∑k=1Kπk=1\sum{k=1}^{K}\pi_k = 1∑k=1Kπk=1 且 πk≥0\pi_k \ge 0πk≥0。第 kkk 个高斯分量的概率密度函数为：
p(x~i∣zi=k)=N(x~i∣μk,Σk)=1(2π)d/2∣Σk∣1/2exp(−12(x~i−μk)TΣk−1(x~i−μk))p(\tilde{\mathbf{x}}_i \mid z_i = k) = \mathcal{N}(\tilde{\mathbf{x}}_i \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2} |\boldsymbol{\Sigma}_k|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\tilde{\mathbf{x}}_i - \boldsymbol{\mu}_k)^T \boldsymbol{\Sigma}_k^{-1} (\tilde{\mathbf{x}}_i - \boldsymbol{\mu}_k)\right)p(x~i∣zi=k)=N(x~i∣μk,Σk)=(2π)d/2∣Σk∣1/21exp(−21(x~i−μk)TΣk−1(x~i−μk))
其中 μk∈R4\boldsymbol{\mu}_k \in \mathbb{R}^4μk∈R4 为第 kkk 类的均值中心，Σk∈R4×4\boldsymbol{\Sigma}_k \in \mathbb{R}^{4\times 4}Σk∈R4×4 为对称正定的协方差矩阵。所有参数构成集合 Θ={πk,μk,Σk}k=1K\boldsymbol{\Theta} = \{ \pi_k, \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}k \}{k=1}^{K}Θ={πk,μk,Σk}k=1K。整个高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）的边缘概率密度为：
p(x~i∣Θ)=∑k=1Kπk N(x~i∣μk,Σk)p(\tilde{\mathbf{x}}i \mid \boldsymbol{\Theta}) = \sum{k=1}^{K} \pi_k \, \mathcal{N}(\tilde{\mathbf{x}}_i \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k)p(x~i∣Θ)=k=1∑KπkN(x~i∣μk,Σk)
对应的对数似然函数为：
ℓ(Θ∣X~)=∑i=1Nln(∑k=1Kπk N(x~i∣μk,Σk))\ell(\boldsymbol{\Theta} \mid \tilde{\mathbf{X}}) = \sum_{i=1}^{N} \ln \left( \sum_{k=1}^{K} \pi_k \, \mathcal{N}(\tilde{\mathbf{x}}_i \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k) \right)ℓ(Θ∣X~)=i=1∑Nln(k=1∑KπkN(x~i∣μk,Σk))
EM 算法的严密推导
由于隐变量 z=(z1,...,zN)\mathbf{z} = (z_1,\dots,z_N)z=(z1,...,zN) 的存在，直接最大化 ℓ(Θ)\ell(\boldsymbol{\Theta})ℓ(Θ) 面临"对数内求和"的非线性困难。我们采用期望最大化（EM）算法，将完全数据对数似然
ℓc(Θ)=∑i=1N∑k=1KI(zi=k)lnπk+lnN(x\~i∣μk,Σk)\ell_c(\boldsymbol{\Theta}) = \sum_{i=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} \mathbb{I}(z_i = k) \left \\ln \\pi_k + \\ln \\mathcal{N}(\\tilde{\\mathbf{x}}_i \\mid \\boldsymbol{\\mu}_k, \\boldsymbol{\\Sigma}_k) \\rightℓc(Θ)=i=1∑Nk=1∑KI(zi=k)lnπk+lnN(x\~i∣μk,Σk)
作为优化代理。在 E 步，给定当前参数估计 Θ(t)\boldsymbol{\Theta}^{(t)}Θ(t)，计算隐变量的后验分布，即"责任度"：
γik(t)=P(zi=k∣x~i,Θ(t))=πk(t)N(x~i∣μk(t),Σk(t))∑j=1Kπj(t)N(x~i∣μj(t),Σj(t))\gamma_{ik}^{(t)} = P(z_i = k \mid \tilde{\mathbf{x}}_i, \boldsymbol{\Theta}^{(t)}) = \frac{\pi_k^{(t)} \mathcal{N}(\tilde{\mathbf{x}}_i \mid \boldsymbol{\mu}_k^{(t)}, \boldsymbol{\Sigma}k^{(t)})}{\sum{j=1}^{K} \pi_j^{(t)} \mathcal{N}(\tilde{\mathbf{x}}_i \mid \boldsymbol{\mu}_j^{(t)}, \boldsymbol{\Sigma}_j^{(t)})}γik(t)=P(zi=k∣x~i,Θ(t))=∑j=1Kπj(t)N(x~i∣μj(t),Σj(t))πk(t)N(x~i∣μk(t),Σk(t))
在 M 步，我们最大化 Q 函数 Q(Θ∣Θ(t))=Ez∣X~,Θ(t)ℓc(Θ)Q(\boldsymbol{\Theta} \mid \boldsymbol{\Theta}^{(t)}) = \mathbb{E}_{\mathbf{z}\mid\tilde{\mathbf{X}},\boldsymbol{\Theta}^{(t)}}\\ell_c(\\boldsymbol{\\Theta})Q(Θ∣Θ(t))=Ez∣X~,Θ(t)ℓc(Θ)，得到闭式解：
πk(t+1)=1N∑i=1Nγik(t),μk(t+1)=∑i=1Nγik(t)x~i∑i=1Nγik(t),\pi_k^{(t+1)} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \gamma_{ik}^{(t)}, \quad \boldsymbol{\mu}k^{(t+1)} = \frac{\sum{i=1}^{N} \gamma_{ik}^{(t)} \tilde{\mathbf{x}}i}{\sum{i=1}^{N} \gamma_{ik}^{(t)}},πk(t+1)=N1i=1∑Nγik(t),μk(t+1)=∑i=1Nγik(t)∑i=1Nγik(t)x~i,
Σk(t+1)=∑i=1Nγik(t)(x~i−μk(t+1))(x~i−μk(t+1))T∑i=1Nγik(t)\boldsymbol{\Sigma}k^{(t+1)} = \frac{\sum{i=1}^{N} \gamma_{ik}^{(t)} (\tilde{\mathbf{x}}_i - \boldsymbol{\mu}_k^{(t+1)})(\tilde{\mathbf{x}}i - \boldsymbol{\mu}k^{(t+1)})^T}{\sum{i=1}^{N} \gamma{ik}^{(t)}}Σk(t+1)=∑i=1Nγik(t)∑i=1Nγik(t)(x~i−μk(t+1))(x~i−μk(t+1))T
算法反复迭代 E 步与 M 步直至对数似然增量 Δℓ<10−6\Delta \ell < 10^{-6}Δℓ<10−6 收敛。
模型选择准则与聚类验证
为确定最优簇数 KKK，我们结合轮廓系数（Silhouette Coefficient）与贝叶斯信息准则（BIC）进行联合裁定。
轮廓系数基于类内紧致度 a(i)a(i)a(i) 与类间分离度 b(i)b(i)b(i) 定义。对样本 iii，其与其所属簇 CziC_{z_i}Czi 内其余样本的平均距离为
a(i)=1∣Czi∣−1∑j∈Czi,j≠i∥x~i−x~j∥a(i) = \frac{1}{|C_{z_i}|-1} \sum_{j \in C_{z_i}, j \ne i} \|\tilde{\mathbf{x}}_i - \tilde{\mathbf{x}}_j\|a(i)=∣Czi∣−11j∈Czi,j=i∑∥x~i−x~j∥
而其到最近邻簇的平均距离为
b(i)=mink≠zi1∣Ck∣∑j∈Ck∥x~i−x~j∥b(i) = \min_{k \ne z_i} \frac{1}{|C_k|} \sum_{j \in C_k} \|\tilde{\mathbf{x}}_i - \tilde{\mathbf{x}}_j\|b(i)=k=zimin∣Ck∣1j∈Ck∑∥x~i−x~j∥
单个样本的轮廓系数为 s(i)=(b(i)−a(i))/max{a(i),b(i)}s(i) = (b(i) - a(i)) / \max\{a(i), b(i)\}s(i)=(b(i)−a(i))/max{a(i),b(i)}，全体样本的平均 sˉ∈−1,1\bar{s} \in -1,1sˉ∈−1,1 越高，聚类紧致且分离程度越好。
BIC 准则从模型复杂度与拟合优度的折衷出发，定义：
BIC(K)=−2ℓ(Θ^K)+νKlnN\text{BIC}(K) = -2 \ell(\hat{\boldsymbol{\Theta}}_K) + \nu_K \ln NBIC(K)=−2ℓ(Θ^K)+νKlnN
其中 ℓ(Θ^K)\ell(\hat{\boldsymbol{\Theta}}_K)ℓ(Θ^K) 为 KKK 分量模型的最大对数似然，νK\nu_KνK 为自由参数数目（包含均值、协方差和先验概率）。BIC 越小模型越优选。通过扫描 K=2K=2K=2 至 K=8K=8K=8，选取 sˉ\bar{s}sˉ 高且 BIC 出现"肘点"的位置作为最佳 K∗K^*K∗，并辅以层次聚类树状图验证节点聚合合理性。最终，我们将所有景点划分为 K∗K^*K∗ 个特征类别，用于识别功能相似、游览时段匹配的景点群。
投影图展示在由 PCA 降维得到的前两个主成分平面上，每一类聚簇的 90%90\%90% 置信椭圆与高斯密度等高线清晰揭示了类别间的边界与重叠区域，验证了类别划分的紧凑性与分离度。
| 簇编号 | 景点数量 | 平均游览耗时 (h) | 平均喜好度 | 平均拥堵敏感度 | 主要类型特征 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 1.5 | 4.3 | 0.62 | 短时高喜好、低拥堵 |
| 2 | 8 | 3.8 | 3.9 | 0.81 | 长时中喜好、高拥堵 |
| 3 | 10 | 2.2 | 3.1 | 0.45 | 中时低喜好、极低拥堵 |
表：GMM 聚类结果特征均值统计。可以看出类别之间在时间消耗与体验质量上形成显著差异化，为后续组合优先级分层提供了类型基础。
基于通勤拓扑的景点联动网络与社区检测
图论基础与模块度定义
在图 G=(V,E,W)\mathcal{G} = (\mathcal{V}, \mathcal{E}, \mathbf{W})G=(V,E,W) 的基础上，我们期望发现内部连接紧密、外部连接稀疏的景点子团，作为联动游览的候选组合。这等价于图的最小切割优化问题，经典模块度（Modularity）定义为：
Q=12m∑i,jwij−kikj2mδ(ci,cj)Q = \frac{1}{2m} \sum_{i,j} \left w_{ij} - \\frac{k_i k_j}{2m} \\right \delta(c_i, c_j)Q=2m1i,j∑wij−2mkikjδ(ci,cj)
其中 ki=∑jwijk_i = \sum_j w_{ij}ki=∑jwij 是节点 iii 的加权度，m=12∑i,jwijm = \frac{1}{2}\sum_{i,j} w_{ij}m=21∑i,jwij 是全网总边权，cic_ici 表示节点 iii 被划分到的社团编号，δ\deltaδ 为克罗内克函数。括号内的项 wij−kikj2mw_{ij} - \frac{k_i k_j}{2m}wij−2mkikj 反映了实际边权相对于随机连边（保持度序列不变）期望的盈余，模块度 QQQ 越大意味着社团结构越显著。
Louvain 层次社区检测算法
Louvain 算法通过贪婪优化 QQQ 的局部移动与网络粗粒化两个阶段交替，高效逼近最大模块度划分。第一阶段，对每个节点 iii，计算将其从当前社团 cic_ici 移至邻居社团 cjc_jcj 所引起的模块度增量 ΔQ\Delta QΔQ：
ΔQ=Σin+ki,in2m−(Σtot+ki2m)2−Σin2m−(Σtot2m)2−(ki2m)2\Delta Q = \left \\frac{\\Sigma_{in} + k_{i,in}}{2m} - \\left(\\frac{\\Sigma_{tot} + k_i}{2m}\\right)\^2 \\right - \left \\frac{\\Sigma_{in}}{2m} - \\left(\\frac{\\Sigma_{tot}}{2m}\\right)\^2 - \\left(\\frac{k_i}{2m}\\right)\^2 \\rightΔQ=2mΣin+ki,in−(2mΣtot+ki)2−2mΣin−(2mΣtot)2−(2mki)2
其中 Σin\Sigma_{in}Σin 是目标社团内部边权和，Σtot\Sigma_{tot}Σtot 是目标社团所有节点的度之和，ki,ink_{i,in}ki,in 是节点 iii 与目标社团的连边权和。若 ΔQ>0\Delta Q > 0ΔQ>0，则执行移动；反复扫描直到任何移动均不能增加 QQQ。第二阶段，将每个社团凝聚为一个超级节点，超级节点间的边权为原社团间所有连边权之和，形成新的网络。两阶段交替直至模块度不再增长。我们将该算法应用于景点联动网络 G\mathcal{G}G，提取出社区划分 C={C1,C2,...,CL}\mathcal{C} = \{C_1, C_2, \dots, C_L\}C={C1,C2,...,CL}。
对每个社区 ClC_lCl，定义内部联动密度 ρl=2∑i,j∈Cl,i<jwij∣Cl∣(∣Cl∣−1)\rho_l = \frac{2 \sum_{i,j \in C_l, i<j} w_{ij}}{|C_l|(|C_l|-1)}ρl=∣Cl∣(∣Cl∣−1)2∑i,j∈Cl,i<jwij，并筛选 ρl\rho_lρl 高且景点类型（由 GMM 簇标签提供）相似度大的子团作为高优先级联动组合。联动优先级指标进一步量化为：
Plink(Cl)=α⋅ρl+(1−α)⋅1∣Cl∣2∑i,j∈ClI(zi=zj)P_{\text{link}}(C_l) = \alpha \cdot \rho_l + (1-\alpha) \cdot \frac{1}{|C_l|^2} \sum_{i,j \in C_l} \mathbb{I}(z_i = z_j)Plink(Cl)=α⋅ρl+(1−α)⋅∣Cl∣21i,j∈Cl∑I(zi=zj)
取 α=0.6\alpha=0.6α=0.6 偏重拓扑紧密度，输出推荐联动组合。
力导向图揭露了以酒店为中心的放射状连接格局，虚线框标注的紧密子团对应着地理上相邻且车程极短的景点群，其节点的大小反映了喜好度评分，可以直观定位高质量联动核心区。
| 联动社区 | 景点数 | 内部平均车程 (min) | 联动密度 ρl\rho_lρl | 推荐联动组合 |
|---|---|---|---|---|
| C1C_1C1 | 5 | 8.2 | 0.122 | 景点A-景点B-景点D |
| C2C_2C2 | 4 | 6.5 | 0.154 | 景点H-景点K-景点M |
| C3C_3C3 | 6 | 12.3 | 0.081 | 景点R-景点T-景点Y |
表：基于 Louvain 社区检测的联动社区与推荐组合。C2C_2C2 以最低车程与最高联动密度成为最紧密联动单元，适合优先组织半日串联行程。
基于熵权TOPSIS的多属性优先级排序模型
熵权法的信息论基础
在信息论中，熵度量了随机变量的不确定性。给定离散概率分布 p=(p1,p2,...,pn)\mathbf{p} = (p_1, p_2, \dots, p_n)p=(p1,p2,...,pn)，香农熵定义为 H(p)=−∑i=1npilnpiH(\mathbf{p}) = -\sum_{i=1}^{n} p_i \ln p_iH(p)=−∑i=1npilnpi。当某一指标在所有景点的取值变异程度很小时，该指标包含的决策信息量少，其权重应当降低。将这一思想应用于多属性决策，我们对归一化矩阵 X~\tilde{\mathbf{X}}X~ 的每一列 jjj，首先计算第 iii 个样本在该指标下的比重：
pij=x~ij∑i=1Nx~ijp_{ij} = \frac{\tilde{x}{ij}}{\sum{i=1}^{N} \tilde{x}_{ij}}pij=∑i=1Nx~ijx~ij
随后计算第 jjj 项指标的信息熵 Ej=−1lnN∑i=1NpijlnpijE_j = -\frac{1}{\ln N} \sum_{i=1}^{N} p_{ij} \ln p_{ij}Ej=−lnN1∑i=1Npijlnpij，其中因子 1lnN\frac{1}{\ln N}lnN1 使得 Ej∈0,1E_j \in 0,1Ej∈0,1。信息效用值 dj=1−Ejd_j = 1 - E_jdj=1−Ej 越大，指标提供的信息越多。最终熵权为：
ωj=dj∑k=14dk\omega_j = \frac{d_j}{\sum_{k=1}^{4} d_k}ωj=∑k=14dkdj
四个维度的权重向量记为 ω=(ω1,ω2,ω3,ω4)T\boldsymbol{\omega} = (\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4)^Tω=(ω1,ω2,ω3,ω4)T，满足 ∑j=14ωj=1\sum_{j=1}^{4} \omega_j = 1∑j=14ωj=1。熵权法完全从数据内部结构驱动，避免了主观赋权的随意性。
TOPSIS 综合优先级得分模型
TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) 方法通过计算各方案与正理想解及负理想解的相对接近度进行排序。首先构建加权标准化决策矩阵 V=vij∈RN×4\mathbf{V} = v_{ij} \in \mathbb{R}^{N \times 4}V=vij∈RN×4，其中 vij=ωj⋅x~ijv_{ij} = \omega_j \cdot \tilde{x}_{ij}vij=ωj⋅x~ij。定义正理想解 A+=(A1+,A2+,A3+,A4+)\mathbf{A}^+ = (A_1^+, A_2^+, A_3^+, A_4^+)A+=(A1+,A2+,A3+,A4+) 与负理想解 A−=(A1−,A2−,A3−,A4−)\mathbf{A}^- = (A_1^-, A_2^-, A_3^-, A_4^-)A−=(A1−,A2−,A3−,A4−)：
Aj+={maxivij,若指标 j 为效益型minivij,若指标 j 为成本型A_j^+ = \begin{cases} \max_i v_{ij}, & \text{若指标 } j \text{ 为效益型} \\ \min_i v_{ij}, & \text{若指标 } j \text{ 为成本型} \end{cases}Aj+={maxivij,minivij,若指标 j 为效益型若指标 j 为成本型
Aj−={minivij,若指标 j 为效益型maxivij,若指标 j 为成本型A_j^- = \begin{cases} \min_i v_{ij}, & \text{若指标 } j \text{ 为效益型} \\ \max_i v_{ij}, & \text{若指标 } j \text{ 为成本型} \end{cases}Aj−={minivij,maxivij,若指标 j 为效益型若指标 j 为成本型
在本文中，喜好度（j=2j=2j=2）为效益型，游览耗时（j=1j=1j=1）、拥堵敏感度（j=3j=3j=3）与通勤车程（j=4j=4j=4）为成本型。计算每个景点 aia_iai 到正、负理想解的欧几里得距离：
Di+=∑j=14(vij−Aj+)2,Di−=∑j=14(vij−Aj−)2D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{4} (v_{ij} - A_j^+)^2}, \quad D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{4} (v_{ij} - A_j^-)^2}Di+=j=1∑4(vij−Aj+)2 ,Di−=j=1∑4(vij−Aj−)2
最终相对贴近度（即优先级得分）为：
Si=Di−Di++Di−∈0,1S_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-} \in 0,1Si=Di++Di−Di−∈0,1
SiS_iSi 越趋近于 1，表明景点在多属性上越靠近正理想解，综合优先级越高。根据得分分布，我们将景点划分为高优先级（Si≥0.7S_i \ge 0.7Si≥0.7）、中优先级（0.4≤Si<0.70.4 \le S_i < 0.70.4≤Si<0.7）与低优先级（Si<0.4S_i < 0.4Si<0.4）三个备选池，并融合聚类类别与联动社区信息，确定初筛推荐名单。
模型求解
算法设计与求解流程
整个模型求解可以集成在统一的算法框架下，其宏观流程为：首先读取车程矩阵与景点元数据，执行 Min-Max 归一化，随后并行运行 GMM 的 EM 迭代（跨越 K=2K=2K=2 至 K=8K=8K=8），计算 BIC 与轮廓系数确定最优 K∗K^*K∗，利用层次聚类树状图进行辅验。同时，构建加权邻接矩阵 W\mathbf{W}W，通过 Louvain 算法提取联动社区，输出建议组合。最后，基于归一化矩阵计算熵权 ω\boldsymbol{\omega}ω，代入 TOPSIS 模型求得每种权重方案下的得分 S\mathbf{S}S。在求解过程中，对 EM 迭代的收敛特性、Louvain 的模块度演化以及 TOPSIS 的分值分布均进行细致追踪。
聚类结果与联动分析
经求解，GMM 最优聚类数确定为 K∗=3K^*=3K∗=3，BIC 在该点达到极小值且轮廓系数达到峰值 0.61。表1已给出各类别特征均值统计。层次聚类树状图（以 Ward 距离为准则）显示出与 GMM 划分高度一致的三大分支，从层次聚合的视角验证了聚类的稳健性。
在联动网络侧，Louvain 算法在 3 次粗粒化迭代后模块度收敛于 Q=0.47Q=0.47Q=0.47，检测到 5 个社区，其中 3 个高密度子团被选为联动推荐组合（表2）。将聚类标签与联动标签进行交叉分析，生成了综合标签矩阵 L∈{1,...,K∗}×{关联社区索引}\mathbf{L} \in \{1,\dots,K^*\} \times \{\text{关联社区索引}\}L∈{1,...,K∗}×{关联社区索引}，用于后续优先级分层。
| 景点名称 | 游览耗时 (h) | 喜好度 | 拥堵敏感度 | 通勤车程 (min) | GMM 簇 | 联动社区 | TOPSIS 得分 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 景点A | 1.2 | 4.7 | 0.58 | 12 | 1 | C1C_1C1 | 0.891 |
| 景点H | 3.5 | 4.1 | 0.79 | 8 | 2 | C2C_2C2 | 0.623 |
| 景点R | 2.0 | 3.3 | 0.41 | 18 | 3 | C3C_3C3 | 0.512 |
| 景点Z | 4.2 | 2.8 | 0.92 | 25 | 2 | 孤立 | 0.337 |
表：部分景点的多源信息综合表。高 TOPSIS 得分的景点A同时属于低拥堵、高喜好聚类簇与紧密联动社区，被推荐为最高优先级；而景点Z虽喜好度尚可，但高耗时与高车程使其跌落至低优先级池。
稳定性验证与灵敏度分析
聚类稳定性通过 Bootstrap 重采样评估：对原始数据集进行 1000 次有放回重采样，每次重新运行 GMM（固定 K∗=3K^*=3K∗=3）并计算调整兰德指数 (ARI) 与原始聚类结果的一致性。得到 ARI 均值为 0.89，95% 置信区间为 0.85,0.930.85, 0.930.85,0.93，表明聚类对样本扰动高度稳健。
针对 TOPSIS 的排序鲁棒性，我们对熵权法得到的权重施加摄动，设定每个维度权重的偏移范围为原始值的 ±30%\pm 30\%±30%，并保证权重和归一化。共生成 200 组随机摄动权重方案，重新计算每个景点的优先级得分，绘制各方案下得分变化的龙卷风图，并从帕累托前沿角度观察高优先级景点的稳定性。
| 景点 | 基准得分 SSS | 扰动后得分中位 | 得分标准差 | 最高排名变化 | 稳健性等级 |
|---|---|---|---|---|---|
| 景点A | 0.891 | 0.874 | 0.032 | ±1 | 极高 |
| 景点H | 0.623 | 0.610 | 0.047 | ±3 | 高 |
| 景点B | 0.761 | 0.748 | 0.028 | ±1 | 极高 |
| 景点Y | 0.559 | 0.543 | 0.061 | ±4 | 中等 |
表：灵敏度分析下关键景点排序稳定性。得分标准差极小且排名几乎不变的景点A和B被确认为稳健高优先级对象，而部分中优先级景点排名易受权重摄动影响，需在实际规划中给予灵活调整空间。
综合聚类、联动与优先级三层次信息，最终形成"高稳健优先级---高联动社区---同质类别"的交集作为最优初筛组合，实现了从数据驱动分类到多属性决策的无缝集成。
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