验证图 Steane 码的生成子稳定 Steane 编码的码字

Steane 码是一种 CSS 码（Calderbank--Shor--Steane 码），它由两个经典线性码构造。在 Steane 码中，这两个经典码都取为相同的经典汉明码。

稳定子码的一个核心性质是：每个码字 （编码逻辑量子态的量子态）必须是每一个稳定子生成元的 +1 本征态。也就是说，将一个生成元作用在码字上，码字保持不变。

Steane 码的六个稳定子生成元如下（按标准文献及本题图 10-6 给出）：

逻辑码字的定义基于经典汉明码的码字集合。设为经典汉明码的所有 16 个码字（由型生成元对应的比特串 0001111、0110011、1010101 张成）。两个逻辑量子态为：

即：⟩ 是所有 16 个经典码字的等幅叠加，⟩ 是对所有经典码字按位取反（与全 1 向量异或）后的等幅叠加。

对于型生成元，它作用在计算基态上的效果是：在生成元中为的位置上翻转对应比特。这等价于：

其中是该生成元位置对应的比特掩码。

例如：对应掩码。

（1）作用在上

将每个基映射为。由于本身就是中的一个码字，因此仍然跑遍整个（只是顺序重排）。于是：

（2）作用在上

同样，跑遍，所以整体和不变，。

同理，（掩码 0110011）和（掩码 1010101）也都是中的码字，因此完全类似地，它们分别稳定和。

对于型生成元，它作用在计算基态上会产生一个相位：若在生成元中为的位置上，的对应比特为 1 的个数为奇数，则相位为；偶数则为。这个相位可以写成：

其中是该生成元位置对应的奇偶校验掩码，是模 2 内积。

对于 Steane 码，掩码恰好是经典汉明码奇偶校验矩阵的三行。

经典码的重要性质 ：是汉明码，它的每个码字与奇偶校验矩阵的每一行的内积都是 0（模 2）。即：

（1）作用在上

对所有，，因此每项相位为。于是：

（2）作用在 |1_L\rangle∣1L⟩ 上

此时基态为。需要计算：

已知：

因此，相位仍为。所以：

因此，所有六个生成元都满足和，即它们确实稳定了 Steane 码的逻辑码字。证毕。