本文涉及知识点
第一节 对弧长的曲线积分
一，对弧长曲线积分的概念与性质
定义 ： 设L为xOy面内的一条光滑曲线函数，函数f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列 M 1 , M 2 , ⋯ M n − 1 M_1,M_2,\cdots M_{n-1} M1,M2,⋯Mn−1把L分成n个小段。设第i个小段的长度为 Δ σ i \Delta \sigma_i Δσi,又 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)为第i小段上任意一点，作乘积 f ( x i , y i ) Δ σ i ( i = 1 , 2 , ⋯ m ) f(x_i,y_i)\Delta \sigma_i(i=1,2,\cdots m) f(xi,yi)Δσi(i=1,2,⋯m),并作和 ∑ i = 1 n f ( x i , y i ) \sum_{i=1}^nf(x_i,y_i) ∑i=1nf(xi,yi)。如果当各小弧度的长度的最大值 λ → 0 \lambda \to 0 λ→0时，这和的极限总存在，且与弧线L的分发及点 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)的取法无关，那么称此极限为函数f(x,y)在曲线L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分。记作 ∫ L f ( x , y ) d s \int_Lf(x,y)ds ∫Lf(x,y)ds，即 ∫ L f ( x , y ) d s = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( x i , y i ) Δ s i \int_Lf(x,y)ds=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)\Delta s_i ∫Lf(x,y)ds=λ→0limi=1∑nf(xi,yi)Δsi其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。
性质1 设 α , β \alpha,\beta α,β为常数，则
∫ L [ α f ( x , y ) + β g ( x , y ) ] d s = α ∫ L f ( x , y ) d s + β ∫ L g ( x , y ) d s \int_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha \int_L f(x,y)ds+\beta \int_L g(x,y)ds ∫L[αf(x,y)+βg(x,y)]ds=α∫Lf(x,y)ds+β∫Lg(x,y)ds
性质2 ：若积分弧度L可分为两段光滑的曲线弧 L 1 和 L 2 L1和L2 L1和L2，则
∫ L f ( x , y ) d s = ∫ L 1 f ( x , y ) d s + ∫ L 2 f ( x , y ) d s \int_Lf(x,y)ds=\int_{L1}f(x,y)ds+\int_{L2}f(x,y)ds ∫Lf(x,y)ds=∫L1f(x,y)ds+∫L2f(x,y)ds
性质3 ：设在L上f(x,y) ≤ g ( x , y ) \leq g(x,y) ≤g(x,y)则
∫ L f ( x , y ) d s ≤ ∫ L g ( x , y ) d s \int_Lf(x,y)ds \leq \int_Lg(x,y)ds ∫Lf(x,y)ds≤∫Lg(x,y)ds
二，对弧长的曲线积分的计算法
定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为：
{ x = ϕ ( t ) , y = ψ ( t ) ( a ≤ t ≤ β ) , \begin{cases} x=\phi(t),\\ y=\psi(t) \end{cases}(a\le t \le \beta), {x=ϕ(t),y=ψ(t)(a≤t≤β),
如果 ϕ ( t ) , ψ ( t ) 在 [ α , β ] 上具有一阶连续导数，且 ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0 , 则曲线积分存在 ∫ L f ( x , y ) d s 存在，且 \phi(t),\psi(t)在[\alpha,\beta]上具有一阶连续导数，且\phi'^2(t)+\psi'^2(t) \neq 0,则曲线积分存在\int_Lf(x,y)ds存在，且 ϕ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数，且ϕ′2(t)+ψ′2(t)=0,则曲线积分存在∫Lf(x,y)ds存在，且
∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t ( α < β ) \int_Lf(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f[\phi(t),\psi(t)]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t) }dt(\alpha < \beta) ∫Lf(x,y)ds=∫αβf[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′2(t)+ψ′2(t) dt(α<β)
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x,y)与Q(x,y)在L上有界。在L上沿L的方向任意插入一点列 M 1 ( x 1 , y 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 ) , ⋯ , M n − 1 ( x n − 1 , y n − 1 , 把 L 分成 n 各有向小弧段 M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2),\cdots ,M_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1},把L分成n各有向小弧段 M1(x1,y1),M2(x2,y2),⋯,Mn−1(xn−1,yn−1,把L分成n各有向小弧段 M i − 1 M i ⌢ ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ; M 0 = A , M n = B ) \overset{\frown}{M_{i-1}M_i}(i=1,2,\cdots,n;M_0=A,M_n=B) Mi−1Mi⌢(i=1,2,⋯,n;M0=A,Mn=B)设 Δ x i = x i − x i − 1 , Δ y i = y i − y i − 1 , 点 ( x i , y i ) 为弧上任取一点，作乘积 P ( x i , y i ) Δ x i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) , 并作和 ∑ i = 1 n P ( x i , y i ) Δ x i ，如果当小段弧长的最大值 λ → 0 \Delta x_i=x_i-x_{i-1},\Delta y_i=y_i-y_{i-1},点(x_i,y_i)为弧上任取一点，作乘积P(x_i,y_i)\Delta x_i(i=1,2,\cdots,n),并作和\sum_{i=1}^nP(x_i,y_i)\Delta x_i，如果当小段弧长的最大值\lambda \to 0 Δxi=xi−xi−1,Δyi=yi−yi−1,点(xi,yi)为弧上任取一点，作乘积P(xi,yi)Δxi(i=1,2,⋯,n),并作和∑i=1nP(xi,yi)Δxi，如果当小段弧长的最大值λ→0时，这和的极限总存在，且与曲线弧L的分发及点 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)的取法无关，那么称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧上对坐标x的曲线积分，记作 ∫ L P ( x , y ) d x 。 \int_LP(x,y)dx。 ∫LP(x,y)dx。
类似地，如果 lim h → 0 Q ( x , y ) Δ y i 总存在，且与曲线弧 L 的分法及点 ( x i , y i ) 的取法无关，那么称此极限为函数 Q ( x , y ) 在有向曲线弧 L 上对坐标 y 的曲线积分，记作 ∫ L Q ( x , y ) d y \lim\limits_{h\to0}Q(x,y)\Delta y_i总存在，且与曲线弧L的分法及点(x_i,y_i)的取法无关，那么称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，记作\int_LQ(x,y)dy h→0limQ(x,y)Δyi总存在，且与曲线弧L的分法及点(xi,yi)的取法无关，那么称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，记作∫LQ(x,y)dy。即
∫ L P ( x , y ) d x = lim λ → 0 ∑ i = 1 n P ( x i , y i ) Δ x i ∫ L Q ( x , y ) d y = lim λ → 0 ∑ i = 1 n Q ( x i , y i ) Δ y i \int_LP(x,y)dx=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nP(x_i,y_i)\Delta x_i \\ \int_LQ(x,y)dy=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nQ(x_i,y_i)\Delta y_i ∫LP(x,y)dx=λ→0limi=1∑nP(xi,yi)Δxi∫LQ(x,y)dy=λ→0limi=1∑nQ(xi,yi)Δyi
其中P(x,y),Q(x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。以上两个积分也称第二类曲线积分。
性质1 ：设 α 与 β 为常数，则 \alpha与\beta为常数，则 α与β为常数，则
∫ L [ α F 1 ( x , y ) + β F 2 ( x , y ) ] d r ⃗ = α ∫ L F 1 ( x , y ) d r ⃗ + β ∫ F 2 ( x , y ) d r ⃗ \int_L[\alpha F_1(x,y)+\beta F_2(x,y)]d\vec r=\alpha\int_LF_1(x,y)d\vec r+\beta\int F_2(x,y)d\vec r ∫L[αF1(x,y)+βF2(x,y)]dr =α∫LF1(x,y)dr +β∫F2(x,y)dr
性质2 ：若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧 L 1 和 L 2 , L_1和L_2, L1和L2,则
∫ L F ( x , y ) d r ⃗ = ∫ L 1 F ( x , y ) r ⃗ + ∫ L 2 F ( x , y ) d r ⃗ \int_LF(x,y)d\vec r=\int_{L1}F(x,y)\vec r+ \int_{L2}F(x,y)d\vec r ∫LF(x,y)dr =∫L1F(x,y)r +∫L2F(x,y)dr
性质3 ：设L是有向光滑曲线弧， L − L^- L−是L的反向曲线弧，则
∫ L − F ( x , y ) d r ⃗ = − ∫ L F ( x , y ) r ⃗ \int_{L^-}F(x,y)d\vec r=-\int_LF(x,y)\vec r ∫L−F(x,y)dr =−∫LF(x,y)r
二、对坐标的曲线积分的及算法
定理 设P(x,y)与Q(x,y)在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为
{ x = ϕ ( t ) , y = ψ ( t ) \begin{cases} x=\phi(t),\\ y=\psi(t) \end{cases} {x=ϕ(t),y=ψ(t)
当参数t单调地由 α 变到 β 时，点 M ( x , y ) 从 L 起点 A 沿着运动到终点 B , 若 ϕ ( t ) 与 ψ ( t ) 在以 α 及 β 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0 , 则曲线积分 ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y 存在，且 \alpha变到\beta时，点M(x,y)从L起点A沿着运动到终点B,若\phi(t)与\psi(t)在以\alpha及\beta为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且\phi'^2(t)+\psi'^2(t)\neq 0,则曲线积分\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy存在，且 α变到β时，点M(x,y)从L起点A沿着运动到终点B,若ϕ(t)与ψ(t)在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且ϕ′2(t)+ψ′2(t)=0,则曲线积分∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy存在，且
= ∫ α β { P [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) + Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) } d t =\int_{\alpha}^{\beta}\{P[\phi(t),\psi(t)]\phi'(t)+Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)\}dt =∫αβ{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt
例4 ：计算 ∫ Γ x 3 d x + 3 z y 2 d y − x 2 y d z ，其中 Γ \int_\Gamma x^3dx+3zy^2dy-x^2ydz，其中\Gamma ∫Γx3dx+3zy2dy−x2ydz，其中Γ是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB。
解 ：直线的方向向量是(3,2,1)，故参数方程是：
{ x = 3 t , y = 2 t , z = t t 从 1 到 0 \begin{cases} x=3t,\\ y=2t,\\ z=t\\ \end{cases}t从1到0 ⎩ ⎨ ⎧x=3t,y=2t,z=tt从1到0
原式 = ∫ 1 0 ( 27 t 3 3 + 12 t 3 2 − 18 t 2 ) d t = ∫ 1 0 ( 87 t 3 ) d t = 87 4 t 4 ∣ 1 0 = − 87 4 原式=\int_1^0(27t^33+12t^32-18t^2)dt=\int_1^0(87t^3)dt=\frac {87}{4}t^4|_1^0=-\frac{87}4 原式=∫10(27t33+12t32−18t2)dt=∫10(87t3)dt=487t4∣10=−487
例5 ： 设一个质点在点M(x,y)处受到力F的作用，F的大小点M到原点O的距离称正比，F的方向恒指向原点。此质点由点A(a,0)沿椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1按逆时针方向移到点B(0,b)所做的功。
解 ：令力F为 ( − k x , − k y ) (-kx,-ky) (−kx,−ky)，指向原点，且大小 ∣ ( ⃗ − k x , − k y ) ∣ = k x 2 + y 2 |\vec(-kx,-ky)|=k\sqrt{x^2+y^2} ∣( −kx,−ky)∣=kx2+y2 和到原点距离成正比。
做的功为： ∫ A B ⌢ ( − k x ) d x + ∫ A B ( − k y ) d y = − k ∫ A B ⌢ ( x d x + y d y ) \int_{\overset{\frown}{AB}}(-kx)dx+\int_A^B(-ky)dy=-k\int_{\overset{\frown}{AB}}(xdx+ydy) ∫AB⌢(−kx)dx+∫AB(−ky)dy=−k∫AB⌢(xdx+ydy)
用参数方程求解： x = a cos t , y = b sin t , 0 ≤ t ≤ π ÷ 2 x=a\cos t,y=b\sin t,0 \le t \le \pi \div 2 x=acost,y=bsint,0≤t≤π÷2
∫ A B ⌢ ( x d x + y d y ) = ∫ 0 π 2 a cos t ( − a sin t ) d t + b sin t b cos t d t \int_{\overset{\frown}{AB}}(xdx+ydy)=\int_0^{\frac \pi 2}a\cos t (-a\sin t )dt+b\sin t b\cos t dt ∫AB⌢(xdx+ydy)=∫02πacost(−asint)dt+bsintbcostdt
( b 2 − a 2 ) ∫ 0 π 2 sin t cos t d t = ( b 2 − a 2 ) ∫ 0 π 2 sin t d ( sin t ) (b^2-a^2)\int_0^{\frac \pi 2}\sin t\cos tdt=(b^2-a^2)\int_0^{\frac \pi 2}\sin td(\sin t) (b2−a2)∫02πsintcostdt=(b2−a2)∫02πsintd(sint)
= ( b 2 − a 2 ) sin 2 t 2 ∣ 0 π 2 = ( b 2 − a 2 ) 1 2 =(b^2-a^2)\frac{\sin^2 t}2|_0^{\frac \pi 2}=(b^2-a^2)\frac 1 2 =(b2−a2)2sin2t∣02π=(b2−a2)21
故解为： k ( a 2 − b 2 ) 2 \frac {k(a^2-b^2)}2 2k(a2−b2)
三、两类曲线积分之间的连续
{ x = ϕ ( t ) , y = ψ ( t ) \begin{cases} x=\phi(t),\\ y=\psi(t) \end{cases} {x=ϕ(t),y=ψ(t)
平面曲线弧L上的两类曲线积分之间如下联系：
∫ L P d x + Q d y = ∫ L ( P cos α + Q cos β ) d s \int_LPdx+Qdy=\int_L(P\cos \alpha+Q \cos \beta)ds ∫LPdx+Qdy=∫L(Pcosα+Qcosβ)ds
其中 α ( x , y ) 与 β ( x , y ) 为有曲线弧 L 在点 ( x , y ) 处切向量的方向角 \alpha(x,y)与\beta(x,y)为有曲线弧L在点(x,y)处切向量的方向角 α(x,y)与β(x,y)为有曲线弧L在点(x,y)处切向量的方向角
cos α = ϕ ′ ( t ) ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) , cos β = ψ ′ ( t ) ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) \cos \alpha=\frac{\phi'(t)}{\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}},\cos \beta=\frac{\psi'(t)}{\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}} cosα=ϕ′2(t)+ψ′2(t) ϕ′(t),cosβ=ϕ′2(t)+ψ′2(t) ψ′(t)
第三节 格林公式及其应用
一，格林公式
D为平面区域，若D内任一闭曲线所围部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。通俗地说，平面单连通就是不含有洞（包括点洞)的区域。
定理1（格林公式) 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，若函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有 ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ L P d x + Q d y \iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_LPdx+Qdy D∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮LPdx+Qdy其中L是D去正向的边界曲线。
闭区域的面积： 1 2 ∮ L x d y − y d x \frac 1 2\oint_L xdy-ydx 21∮Lxdy−ydx
例2 ：计算 ∬ D e − y 2 d x d y \iint_De^{-y^2}dxdy ∬De−y2dxdy其中D是以O(0,0)，A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭合区域。
解 ：令P=0,Q= x e − y 2 xe^{-y^2} xe−y2则： ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y = e − y 2 \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{-y^2} ∂x∂Q−∂y∂P=e−y2
原式即格林格式的左式= ∫ O A + A B + B O x e − y 2 d y \int_{OA+AB+BO}xe^{-y^2}dy ∫OA+AB+BOxe−y2dy P=0，故积分为0。
= ∫ O A x e − y 2 d y =\int_{OA}xe^{-y^2}dy =∫OAxe−y2dy 曲线BA，dy=0，故积分为0；BO,x=0，也积分为0。
= ∫ 0 1 x e − x 2 d x \int_0^1xe^{-x^2}dx ∫01xe−x2dx 曲线OA,x=y
= − 1 2 ∫ 0 1 e − x 2 d ( − x 2 ) -\frac 1 2\int_0^1e^{-x^2}d(-x^2) −21∫01e−x2d(−x2)
= − 1 2 e − x 2 ∣ 0 1 -\frac 1 2 e^{-x^2}|_0^1 −21e−x2∣01
= 1 2 ( 1 − 1 e ) \frac 1 2(1- \frac 1 e) 21(1−e1)
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
设G是一个区域,P(x,y)以及Q(x,y)在区域G内具有一阶连续偏导数。如果对于G内任意指定的两个点A,B以及G内从A到B的任意两条曲线L1,L2等式 ∫ L 1 P d x + Q d y = ∫ L 2 P d x + Q d y \int_{L1}Pdx+Qdy=\int_{L2}Pdx+Qdy ∫L1Pdx+Qdy=∫L2Pdx+Qdy恒成立，就说曲线积分在G内与路径无关，否则便说与路径有关。
定理2 设区域G是一个单连通区域，若函数P(x,y)与Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导，则曲线 ∫ L P d x + Q d y \int_LPdx+Qdy ∫LPdx+Qdy在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是
∂ P ∂ y = ∂ P ∂ x \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial P}{\partial x} ∂y∂P=∂x∂P
三、二元函数的全微分求积
定理3 设区域G是一个单连通区域，若函数P(x,y)与Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则 P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y P(x,y)dx+Q(x,y)dy P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充分必要条件是：
∂ P ∂ y = ∂ P ∂ x \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial P}{\partial x} ∂y∂P=∂x∂P
推论 ：设区域G是一个单连通区域，若函数P(x,y)与Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 ∫ L P d x + Q d y \int_LPdx+Qdy ∫LPdx+Qdy在G内与路径无关的充分必要条件是：在G内，存在函数u(x,y)，使得du=Pdx+Qdy。
例6 验证：在整个xOy面内， x y 2 d x + x 2 y d y xy^2dx+x^2ydy xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分。
解 ： P = x y 2 , Q = x 2 y , ∂ P ∂ y = 2 x y = ∂ Q ∂ x P=xy^2,Q=x^2y,\frac{\partial P }{\partial y}=2xy=\frac{\partial Q }{\partial x} P=xy2,Q=x2y,∂y∂P=2xy=∂x∂Q
令路径是OAB,O是原点，A(x,0),B(x,y)。
u ( x , y ) = ∫ O A B x y 2 d x + x 2 y d y u(x,y)=\int_{OAB}xy^2dx+x^2ydy u(x,y)=∫OABxy2dx+x2ydy
= ∫ 0 y x 2 y d y \int_0^yx^2ydy ∫0yx2ydy OA,y等于0，故其积分为0。AB，dx为0。
= x 2 y 2 2 ∣ 0 y \frac {x^2y^2}2|_0^y 2x2y2∣0y
即 x 2 y 2 2 \frac{x^2y^2}2 2x2y2
第四节 对面积的曲面积分
一，对面积的曲面积分的概念与性质
定义 设曲面 ∑ \sum ∑是光滑的，函数f(x,y,z)在 ∑ \sum ∑上有界，把 ∑ \sum ∑任意分成n小块 Δ S i ( Δ S i 同时也代表第 i 小块曲面的面积 ) ，设 f ( x i , y i , z i ) 是 Δ S i \Delta S_i(\Delta S_i同时也代表第i小块曲面的面积)，设f(x_i,y_i,z_i)是\Delta S_i ΔSi(ΔSi同时也代表第i小块曲面的面积)，设f(xi,yi,zi)是ΔSi上任意取定的一点，作乘积 f ( x i , y i , z i ) Δ S i ( i = 1 , 2 , 3 ⋯ n ) ，并作和 ∑ i = 1 n f ( x i , y i , z i ) Δ S i f(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i(i=1,2,3\cdots n)，并作和\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i f(xi,yi,zi)ΔSi(i=1,2,3⋯n)，并作和∑i=1nf(xi,yi,zi)ΔSi，如果当各小块曲面的直径的最大值 λ → 0 时 \lambda \to 0时 λ→0时，这和的极限总存在，且与曲面 ∑ \sum ∑的分法及点 ( x i , y i , z i ) (x_i,y_i,z_i) (xi,yi,zi)取法无关。那么称此极限为函数f(x,y,z)在曲面 ∑ \sum ∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作 ∬ ∑ f ( x , y , z ) d S \iint_{\sum}f(x,y,z)dS ∬∑f(x,y,z)dS，即
∬ ∑ f ( x , y , z ) d S = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( x i , y i , z i ) Δ S i \iint\limits_{\sum}f(x,y,z)dS=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i ∑∬f(x,y,z)dS=λ→0limi=1∑nf(xi,yi,zi)ΔSi
其中f(x,y,z)叫作被积函数， ∑ \sum ∑叫做积分曲面。
∬ ∑ f ( x , y , z ) d S = ∬ D x y f [ x , y , z ( x , y ) ] 1 + z x ( x , y ) 2 + z y ( x , y ) 2 d x d y \iint\limits_{\sum}f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x(x,y)^2+z_y(x,y)^2}dxdy ∑∬f(x,y,z)dS=Dxy∬f[x,y,z(x,y)]1+zx(x,y)2+zy(x,y)2 dxdy
第五节 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
定义 设 ∑ \sum ∑为光滑的有向曲面，函数R(x,y,z)在 ∑ \sum ∑上有界，把 ∑ \sum ∑任意分成n块小曲面 Δ S i , ( Δ S i 同时表示第 i 块小曲面的面积 ) ， Δ S i \Delta S_i,(\Delta S_i同时表示第i块小曲面的面积)，\Delta S_i ΔSi,(ΔSi同时表示第i块小曲面的面积)，ΔSi在xOy面上的投影为 ( Δ S i ) x y ， ( x i , y i , z i ) 上是 Δ S i (\Delta S_i){xy}，(x_i,y_i,z_i)上是\Delta S_i (ΔSi)xy，(xi,yi,zi)上是ΔSi上任意一点，作乘积 R ( x i , y i , z i ) ( Δ S i ) x y ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) , 并做和 ∑ i = 1 n R ( x i , y i , z i ) ( Δ S i ) x y R(x_i,y_i,z_i)(\Delta S_i){xy}(i=1,2,\cdots ,n),并做和\sum_{i=1}^nR(x_i,y_i,z_i)(\Delta S_i){xy} R(xi,yi,zi)(ΔSi)xy(i=1,2,⋯,n),并做和∑i=1nR(xi,yi,zi)(ΔSi)xy,如果当各小块曲面的直径的最大值 λ → 0 \lambda \to 0 λ→0时，这和的极限总存在，且与曲面 ∑ \sum ∑的分法及点 ( x i , y i , z i ) (x_i,y_i,z_i) (xi,yi,zi)的取法无关，那么称此加性为函数R(x,y,z)在有向曲面 ∑ \sum ∑上对坐标x,y的曲面积分，记作 ∬ ∑ R ( x , y , z ) d x d y \iint{\sum}R(x,y,z)dxdy ∬∑R(x,y,z)dxdy,即
∬ ∑ R ( x , y , z ) d x d y = lim λ → 0 ∑ i = 1 n R ( x i , y i , z i ) ( Δ S i ) x y \iint\limits_{\sum}R(x,y,z)dxdy=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nR(x_i,y_i,z_i)(\Delta S_i)_{xy} ∑∬R(x,y,z)dxdy=λ→0limi=1∑nR(xi,yi,zi)(ΔSi)xy
其中R(x,y,z)称为被积函数， ∑ \sum ∑称为积分曲面。称为第二类曲面积分。
如果把 ∑ \sum ∑分成 ∑ 1 和 ∑ 2 \sum_1和\sum_2 ∑1和∑2那么
∬ s u m P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∬ s u m 1 P d y d z + Q d z d x + R d x d y + ∬ s u m 2 P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint_{sum}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_{sum1}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy+\iint_{sum2}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ∬sumPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬sum1Pdydz+Qdzdx+Rdxdy+∬sum2Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
如果 ∑ \sum ∑是有向曲面， ∑ − 是与 ∑ 取相反则的有向曲面，则 \sum^-是与\sum取相反则的有向曲面，则 ∑−是与∑取相反则的有向曲面，则
∬ ∑ − P ( x , y , z ) d y d z = − ∬ ∑ P ( x , y , z ) d y d z \iint\limits_{\sum^-}P(x,y,z)dydz=-\iint\limits_{\sum}P(x,y,z)dydz ∑−∬P(x,y,z)dydz=−∑∬P(x,y,z)dydz
二，对坐标的曲面积分的及算法
∬ ∑ R ( x , y , z ) d x d y = ∬ D x y R [ x , y , z ( x , y ) ] d x d y \iint\limits_{\sum}R(x,y,z)dxdy=\iint\limits_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]dxdy ∑∬R(x,y,z)dxdy=Dxy∬R[x,y,z(x,y)]dxdy
cos α = − z x 1 + z x 2 + z y 2 , cos β = − z y 1 + z x 2 + z y 2 , cos γ = 1 1 + z x 2 + z y 2 \cos \alpha=\frac {-z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\cos \beta=\frac {-z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\cos \gamma=\frac {1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} cosα=1+zx2+zy2 −zx,cosβ=1+zx2+zy2 −zy,cosγ=1+zx2+zy2 1
∬ ∑ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∬ ∑ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d s \iint\limits_{\sum}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint\limits_{\sum}(P\cos\alpha+Q\cos\beta + R\cos\gamma)ds ∑∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∑∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
第六节 高斯公式 *通量与散度
一、高斯公式
定理1(高斯公式) 设空间闭区域 Ω \Omega Ω是由分片光滑的闭曲面 ∑ \sum ∑所围成，若函数P(x,y,z),Q(x,y,z)与R(x,y,z)在 Ω \Omega Ω上具有一阶连续偏导数，则有：
∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d V = ∯ ∑ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∯ ∑ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d S \iiint\limits_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV=\oiint\limits_{\sum}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\\ =\oiint\limits_{\sum}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS Ω∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dV=∑∬ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∑∬ (Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
这儿 ∑ 是 Ω \sum是\Omega ∑是Ω的整个边界曲面的外侧， cos α , cos β 与 cos γ 是 ∑ \cos\alpha,\cos\beta与\cos \gamma是\sum cosα,cosβ与cosγ是∑在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。
例1 ：利用高斯公式计算曲面积分 ( x − y ) d x d y + ( y − z ) x d y d z (x-y)dxdy+(y-z)xdydz (x−y)dxdy+(y−z)xdydz其中 ∑ 为柱面 x 2 + y 2 = 1 及平面 z = 0 , z = 3 所围成的空间闭区域 Ω 的整个边界曲面的外侧 \sum为柱面x^2+y^2=1及平面z=0,z=3所围成的空间闭区域\Omega的整个边界曲面的外侧 ∑为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧。
解 ：P=(y-z)x,Q=0,R=x-y。
∂ P ∂ x = y − z ∂ Q ∂ y = 0 , ∂ R ∂ z = 0 \frac{\partial P}{\partial x}=y-z\frac{\partial Q}{\partial y}=0,\frac{\partial R}{\partial z}=0 ∂x∂P=y−z∂y∂Q=0,∂z∂R=0
根据高斯公式，原式= ∭ Ω ( y − z ) d x d y d z \iiint\limits_{\Omega}(y-z)dxdydz Ω∭(y−z)dxdydz
= ∭ Ω ( − z ) d x d y d z =\iiint\limits_{\Omega}(-z)dxdydz =Ω∭(−z)dxdydz (x,y,z)和(x,-y,z)相互抵消
= ∫ 0 3 − z π d z = − π z z 2 ∣ 0 3 = − 9 π 2 \int_0^3-z\pi dz=-\frac {\pi z z}2|_0^3=-\frac {9\pi}2 ∫03−zπdz=−2πzz∣03=−29π
第七节 斯托克斯公式 *环流量与旋度
一 斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes) 设 Γ \Gamma Γ为分段光滑的空间有向闭曲线， ∑ 是以 Γ \sum是以\Gamma ∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面， Γ \Gamma Γ的正向与 ∑ \sum ∑的则复合右手规则，若函数P(x,y,z),Q(x,y,z)与R(x,y,z)在曲面 ∑ （连通边界 Γ ) \sum（连通边界\Gamma) ∑（连通边界Γ)上具有一阶偏导数，则有
∬ ∑ ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z d x + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \iint\limits_{\sum}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz +(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy =\oint\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz ∑∬(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=Γ∮Pdx+Qdy+Rdz
用行列式帮助记忆
∯ ∑ ∣ d y d z d z d x d x d y ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ d s \oiint\limits_{\sum}\begin{vmatrix} dydz &dzdx & dxdy\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R\\ \end{vmatrix}ds ∑∬ dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R ds
将方向余弦直接写入行列式
∯ ∑ ∣ cos α cos β cos γ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ d s \oiint\limits_{\sum}\begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos \gamma\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R\\ \end{vmatrix}ds ∑∬ cosα∂x∂Pcosβ∂y∂Qcosγ∂z∂R ds
例1 ：计算曲线积分 ∮ Γ z d x + x d y + y d z ，其中 Γ 为平面 x + y + z = 1 \oint_{\Gamma}zdx+xdy+ydz，其中\Gamma为平面x+y+z=1 ∮Γzdx+xdy+ydz，其中Γ为平面x+y+z=1被三个坐标平面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形 ∑ \sum ∑上侧的法向量之间复合右手规则。
P=z,Q=x,R=y
∬ ∑ ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z = ( 1 − 0 ) d y d z = d y d z \iint\limits_{\sum}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz=(1-0)dydz=dydz ∑∬(∂y∂R−∂z∂Q)dydz=(1−0)dydz=dydz
∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x = 1 \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=1 ∂z∂P−∂x∂R=1
( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) 1 (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})1 (∂x∂Q−∂y∂P)1
故原式= ∬ ∑ d y d z + d z d x + d x d y = 3 2 \iint\limits_{\sum}dydz+dzdx+dxdy=\frac 3 2 ∑∬dydz+dzdx+dxdy=23
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
