【算法模板】最小生成树：稠密图选 Prim，稀疏图选 Kruskal

最小生成树：在连通带权无向图中，找到一个边权和最小的生成树

Prim 算法 -不断加点

核心思想：从一个顶点开始，每次将距离当前生成树最近的顶点加入树中。

算法步骤

初始化：任选一个顶点作为起点，初始化所有顶点到生成树的距离为无穷大 (INF)，起点距离为 0。
循环 n 次：
· 找最近点：在未加入生成树的顶点中，找到距离当前生成树最近的点 t。
· 判断连通性：如果 dist $t$ == INF，说明图不连通，不存在 MST。
· 加入生成树：将点 t 标记为已加入，并将 dist $t$ 累加到总权值中。
· 更新距离：用点 t 的所有邻边，更新其他未加入顶点到生成树的距离。

代码关键点：

· 数据结构：使用邻接矩阵 edges\[\]\[\] 存储图。

· 距离数组：dist $j$ 表示顶点 j 到当前整个生成树（而不仅是某个点）的最小距离。

· 重边处理：建图时使用 min(edges $x$ $y$ , z) 保留最小权值。

代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 5010, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int edges[N][N];  // 邻接矩阵
int dist[N];      // 到生成树的最短距离
bool st[N];       // 是否已加入生成树

int prim() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    int ret = 0;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int t = 0;  // 初始化为0，dist[0]为无穷大
        
        // 1. 找距离生成树最近的点
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (!st[j] && dist[j] < dist[t]) {
                t = j;
            }
        }
        
        // 判断是否连通
        if (dist[t] == INF) return INF;
        
        st[t] = true;
        ret += dist[t];
        
        // 2. 更新其他点到生成树的距离
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (!st[j]) {
                dist[j] = min(dist[j], edges[t][j]);
            }
        }
    }
    return ret;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(edges, 0x3f, sizeof edges);
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        // 处理重边，保留最小权值
        edges[x][y] = edges[y][x] = min(edges[x][y], z);
    }
    
    int ret = prim();
    if (ret == INF) cout << "orz" << endl;
    else cout << ret << endl;
    
    return 0;
}

注意：

使用邻接矩阵,是和稠密图
dist $j$ 表示顶点j到当前整个生成树的最小距离
时间复杂度O（n * n）

Kruskal 算法 - 不断加边

核心思想：按边权从小到大排序，依次选择不会形成环的边

算法步骤：

将所有边按权值从小到大排序
初始化 $\[查并集$ ]，每一个顶点自成集合
遍历排序后的边
- 如果边的两个顶点不在集合，则选择该边
- 合并这两个顶点所在的集合
当选中n-1条边时结束

代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 5010, M = 2e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge {
    int x, y, z;
} edges[M];

int n, m;
int fa[N];  // 并查集

bool cmp(Edge& a, Edge& b) {
    return a.z < b.z;
}

int find(int x) {
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}

int kruskal() {
    // 1. 边按权值排序
    sort(edges + 1, edges + 1 + m, cmp);
    
    // 2. 初始化并查集
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
    
    int cnt = 0;  // 已选边数
    int ret = 0;  // 总权值
    
    // 3. 遍历所有边
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x = edges[i].x, y = edges[i].y, z = edges[i].z;
        int fx = find(x), fy = find(y);
        
        if (fx != fy) {  // 不连通，可以加入
            fa[fx] = fy;
            ret += z;
            cnt++;
            if (cnt == n - 1) break;  // 已选够边
        }
    }
    
    return cnt == n - 1 ? ret : INF;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> edges[i].x >> edges[i].y >> edges[i].z;
    }
    
    int ret = kruskal();
    if (ret == INF) cout << "orz" << endl;
    else cout << ret << endl;
    
    return 0;
}

注意

使用边集数组+并查集，适合稀疏图
需要判断最终是否选中n-1条边来判断联通性
时间复杂度：O（m log m）

算法对比

特性	prim 算法	Kruskal 算法
思想	加点法	加边法
数据结构	邻接矩阵	边集数组+查并集
时间复杂度	O（n * n）	O（m log m）
适用场景	稠密图（m~n * n）	稀疏图（m <<n* n）
连通性判断	过程中判断 dist $t$ ==INF	最后判段边数cnt==n-1

边数多，用Prim
边数少，用Kruskal