023Pollard-ρ 因子分解算法

Pollard-ρ 因子分解算法

破解密码：Pollard-ρ 算法的巧妙构思

算法：Pollard's Rho Algorithm（Pollard-ρ 因子分解）
来源：TAOCP 第2卷第4.5.4节
文件：pollard_rho.c

John M. Pollard，1975年在论文 "A Monte Carlo method for factorization" 中提出。他同年还提出了 Pollard p-1 算法，是数论算法的重要贡献者。Floyd 判圈算法由 Robert W. Floyd 独立发现（约1967年）。

Pollard-ρ 是一种概率性整数因子分解算法：

名称来自算法轨迹在模图中呈现的 ρ（rho）字形：一段尾巴连接一个环。

时间复杂度：O(n^(1/4)) 期望步数，远优于试除法的 O(n^(1/2))。

TAOCP 4.5.4节"因子分解方法"中详细分析了该算法，并将其与 Lehman 方法、二次筛法进行比较。在密码学历史上，Pollard-ρ 是第一个实用的亚线性因子分解算法，推动了 RSA 密钥长度标准的提升。

基于生日悖论：在一个 p 个元素的集合中随机取值，约 O(√p) 步后就会出现碰撞。由于 n 的最小质因子 p 满足 p ≤ √n，算法期望在 O(p^(1/2)) ≈ O(n^(1/4)) 步内找到 p。

Floyd 判圈（龟兔赛跑）：

复制代码

tortoise = f(tortoise)          // 走1步
hare     = f(f(hare))          // 走2步
d = gcd(|tortoise - hare|, n)
若 1 < d < n：找到因子 d
若 d == n：退化，换 c 重试

mulmod 防溢出：

c 复制代码

// 使用 __int128 避免 a*b 超出 long long 范围
static ll mulmod(ll a, ll b, ll m) {
    return (ll)((__int128)a * b % m);
}

Pollard-ρ 是实用性与实现简单性的最佳平衡点。

1994年，Peter Shor 提出量子因子分解算法（Shor算法），理论上能在多项式时间内分解任意整数，使 RSA 面临量子威胁。然而在量子计算机真正实用化之前，Pollard-ρ 仍是经典计算机上最重要的实用因子分解工具之一。

生成日期：2026-03-22
系列：The Art of Computer Programming 实现集