SDL2高效画实心圆的算法（一）

文章目录

一、数学基础
二、编程设计
三、算法优缺点

一、数学基础

圆的公式： x 2 + y 2 = r 2 x^2+y^2=r^2 x2+y2=r2
设原点是圆心， ( x 0 ， y 0 ) (x_0，y_0) (x0，y0)是圆上的点，则其关于圆心中心对称的点为 ( − x 0 ， − y 0 ) (-x_0，-y_0) (−x0，−y0)同样也是圆上的点，同样点 ( x 0 ， − y 0 ) (x_0，-y_0) (x0，−y0)、 ( − x 0 ， y 0 ) (-x_0，y_0) (−x0，y0)，点 ( y 0 ， x 0 ) (y_0，x_0) (y0，x0)、 ( − y 0 ， − x 0 ) (-y_0，-x_0) (−y0，−x0)，点 ( y 0 ， − x 0 ) (y_0，-x_0) (y0，−x0)、 ( − y 0 ， x 0 ) (-y_0，x_0) (−y0，x0)，也是圆上中心对称的点。通过中心对称的点两两连线，我们能够得到4条直径，且它们是轴对称的。
微分和无穷小思想，考虑0~ π / 4 \pi/4 π/4角度范围内，在此范围圆上的点满足 y ≤ x y\le x y≤x
- 角度0附近 ：在圆上的点 ( x 0 ， y 0 ) (x_0，y_0) (x0，y0)基础上考虑下一点 ( x 1 ， y 1 ) (x_1，y_1) (x1，y1)，让 y 1 = y 0 + d x y_1=y_0+dx y1=y0+dx，假设 r > > 1 r>>1 r>>1，则可以规定 d x = 1 dx=1 dx=1，即 y 1 = y 0 + 1 y_1=y_0+1 y1=y0+1，如果x值不变，即现在看点 ( x 0 ， y 1 ) (x_0，y_1) (x0，y1)在哪？我们代入圆公式看一下：
  x 0 2 + y 1 2 = x 0 2 + y 0 2 + 2 y 0 + 1 x_0^2+y_1^2=x_0^2+y_0^2+2y_0+1 x02+y12=x02+y02+2y0+1
  ∵ y 0 → 0 ，且 r > > 1 \because y_0\to 0，且r>>1 ∵y0→0，且r>>1
  ∴ x 0 2 + y 1 2 → r 2 \therefore x_0^2+y_1^2 \to r^2 ∴x02+y12→r2
  即在X轴附近， ( x 0 ， y 0 + 1 ) . . . ( x 0 ， y 0 + n ) (x_0，y_0+1)...(x_0，y_0+n) (x0，y0+1)...(x0，y0+n)可以近似看成圆上的点。
- 角度 π / 4 \pi/4 π/4附近 :设点 ( x n ， y n ) (x_n，y_n) (xn，yn)在圆上，仍让 y n + 1 y_n+1 yn+1，代入圆公式：
  x n 2 + ( y n + 1 ) 2 = x n 2 + y n 2 + 2 y n + 1 x_n^2+(y_n+1)^2=x_n^2+y_n^2+2y_n+1 xn2+(yn+1)2=xn2+yn2+2yn+1
  此时 y n y_n yn相对于r已不是无穷小，不能忽略了，这说明点 ( x n ， y n + 1 ) (x_n，y_n+1) (xn，yn+1)在圆外。
  现在我们看一下点 ( x n − 1 ， y n + 1 ) (x_n-1，y_n+1) (xn−1，yn+1)，代入,
  （ x n − 1 ） 2 + ( y n + 1 ) 2 = x n 2 + y n 2 + 2 （ y n − x n ) + 2 = x n 2 + y n 2 + ( 2 y n + 1 ) − ( 2 x n − 1 ) （x_n-1）^2+(y_n+1)^2=x_n^2+y_n^2+2（y_n-x_n)+2=x_n^2+y_n^2+(2y_n+1)-(2x_n-1) （xn−1）2+(yn+1)2=xn2+yn2+2（yn−xn)+2=xn2+yn2+(2yn+1)−(2xn−1)
  ∵ π / 4 附近 x n ≈ y n \because \pi/4附近x_n \approx y_n ∵π/4附近xn≈yn
  ∴ （ x n − 1 ） 2 + ( y n + 1 ) 2 → r 2 \therefore （x_n-1）^2+(y_n+1)^2 \to r^2 ∴（xn−1）2+(yn+1)2→r2
  即在 π / 4 \pi/4 π/4轴附近， ( x n − 1 ， y n + 1 ) . . ( x n − 1 ， y n + m ) (x_n-1，y_n+1)..(x_n-1，y_n+m) (xn−1，yn+1)..(xn−1，yn+m)可以近似看成圆上的点，且有的在圆内部。

二、编程设计

设 e r r = 0 err = 0 err=0，在 0 ∼ π / 4 范围内 0\sim \pi/4范围内 0∼π/4范围内，当我们画完圆上的点 ( x , y ) (x,y) (x,y)后，令 e r r = e r r + 2 y + 1 err=err+2y+1 err=err+2y+1，此时 e r r > 0 err>0 err>0. 再令 x = x − 1 , e r r = e r r − ( 2 x − 1 ) x=x-1, err=err-(2x-1) x=x−1,err=err−(2x−1)，此时 e r r < 0 err \lt 0 err<0，我们再依次画出 ( x − 1 , y + 1 ) 、 ( x − 1 , y + 2 ) . . . ( x − 1 , y + m ) (x-1,y+1)、(x-1,y+2)...(x-1,y+m) (x−1,y+1)、(x−1,y+2)...(x−1,y+m)，同时不断做 e r r = e r r + 2 y + 1 err=err+2y+1 err=err+2y+1，直到 e r r < 0 err \lt 0 err<0，于是我们就可以得到一系列圆内附近的点。通过过圆心画直径，就可以画出实心圆来。

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void SDL_RenderFillCircle( SDL_Renderer* render, int x0, int y0, int radius, Uint8 r, Uint8 g, Uint8 b, Uint8 a) {
    SDL_SetRenderDrawColor(render, r, g, b, a);
    int x = radius;
    int y = 0;
    int err = 0;
    while (x >= y)
    {
        SDL_RenderDrawLine(render, x0 + x, y0 + y, x0 - x, y0 - y);
        SDL_RenderDrawLine(render, x0 + y, y0 + x, x0 - y, y0 - x);
        SDL_RenderDrawLine(render, x0 + x, y0 - y, x0 - x, y0 + y);
        SDL_RenderDrawLine(render, x0 + y, y0 - x, x0 - y, y0 + x);
        y += 1;
        err += (y << 1) + 1;
        if (err > 0)
        {
            x -= 1;
            err -= (x << 1) + 1;
        }
    }
}

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int main(int, char**){
    // 初始化SDL显示图像功能
    if (SDL_Init(SDL_INIT_VIDEO)) {
        cerr << "SDL could not initialize! SDL_Error:" << SDL_GetError() << endl;
        return 1;
    }
    // 初始化图片加载功能
    if (!IMG_Init(IMG_INIT_PNG)) { //初始化IMG组件失败
        cerr << "SDL_image could not initialize! SDL_image Error:" << IMG_GetError() << endl;
        IMG_Quit();
        return 1;
    }
    // 初始化窗口
    SDL_Window* window = SDL_CreateWindow("蚁群模拟", SDL_WINDOWPOS_UNDEFINED, SDL_WINDOWPOS_UNDEFINED, 600, 600, SDL_WINDOW_SHOWN);
    if (window == NULL) { //初始化窗口失败
        cerr << "Window could not be created! SDL_Error:" << SDL_GetError() << endl;
        IMG_Quit();
        SDL_Quit();
        return 1;
    }
    // 构建窗口渲染容器
    SDL_Renderer* rend = SDL_CreateRenderer(window, -1, 0);
    if (!rend) {
        cerr << "Unable to render! SDL_Render Error:" << SDL_GetError() << endl;
        SDL_DestroyWindow(window);
        IMG_Quit();
        SDL_Quit();
        return 1;
    }
    //初始化渲染器
    SDL_SetRenderDrawColor(rend, 255, 255, 255, 255); //白色
    SDL_RenderClear(rend);
    
    SDL_RenderFillCircle(rend, 300, 300, 250, 0, 0, 0, 255); //黑色圆
    SDL_RenderPresent(rend);
    system("pause");

    SDL_DestroyRenderer(rend);
    SDL_DestroyWindow(window);
    IMG_Quit();
    SDL_Quit();
    return 0;
}

结果如图：

三、算法优缺点

优点：没有平方、开根等计算，计算机运算代价小。
缺点：仅仅是近似圆，且在轴的附近线更密，不能做到均匀绘制。