猴子爬山问题

一、题目描述

一天一只顽猴想去从山脚爬到山顶，途中经过一个有个N个台阶的阶梯，但是这猴子有一个习惯：

每一次只能跳1步或跳3步，试问猴子通过这个阶梯有多少种不同的跳跃方式？

二、输入输出描述

输入描述

• 一个整数N，表示此阶梯的总台阶数，0<N<=50。

输出描述

• 一个整数，代表猴子爬完所有台阶的总跳跃方式数。

三、示例

|----|-----------|
| 输入 | 50 |
| 输出 | 122106097 |
| 说明 | |

|----|---|
| 输入 | 3 |
| 输出 | 2 |
| 说明 | |

四、解题思路

1. 核心思想

使用动态规划（DP） ，把大问题拆解成小问题：爬到第 i 级的方案 = 前面某些级方案的和，通过递推公式一步步算出最终答案。

2. 问题本质分析

这是一个递推计数问题：

• 规则：每次只能爬 1 级 或 3 级
• 目标：求爬到第 n 级的总方案数
• 本质：用前面的结果推导后面的结果（无后效性）

3. 核心逻辑

1. 状态定义 ：dp[i] = 爬到第 i 级台阶的方案数
2. 递推公式 ：
   • 要到第 i 级，最后一步只有两种可能 ：
     1. 从 i-1 级 爬 1 级 上来 → 方案数：dp[i-1]
     2. 从 i-3 级 爬 3 级 上来 → 方案数：dp[i-3]
   • 所以：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-3]
3. 初始条件：手动给出前 3 级的答案
4. 递推计算：从 4 到 n 依次算出每一级的方案数

4. 步骤拆解

1. 输入：读取目标台阶数 n
2. 定义 dp 数组：存储每级台阶的方案数
3. 初始化边界 ：
   • dp1 = 1
   • dp2 = 1
   • dp3 = 2
4. 循环递推 ：
   • 从 4 到 n
   • 用公式 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-3] 计算
5. 输出结果 ：输出 dp[n]

五、代码实现

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();

        // dp[i] 表示爬到第i级台阶的方案数
        long[] dp = new long[n + 1];

        // 初始边界条件
        if (n >= 1) {
            dp[1] = 1;
        }
        if (n >= 2) {
            dp[2] = 1;
        }
        if (n >= 3) {
            dp[3] = 2;
        }

        // 动态规划递推
        for (int i = 4; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 3];
        }

        System.out.println(dp[n]);
    }
}