备战蓝桥杯国赛【Day 9】

WL_Aurora2026-05-12 8:07

一、位运算基础速查表

在刷题之前，先快速回顾六大基础运算：

运算 符号 规则 实例
与 & 有0则0，全1为1 6 & 11 = 2
或 ` ` 有1则1，全0为0
异或 ^ 相同为0，不同为1 6 ^ 11 = 13
取反 ~ 1变0，0变1 ~6 = -7
左移 << 左移n位 = 乘 2n2^n2n 5 << 3 = 40
右移 >> 右移n位 = 除 2n2^n2n 13 >> 2 = 3

异或五大性质（必背！）

  • 交换律 ：x ^ y = y ^ x
  • 结合律 ：x ^ (y ^ z) = (x ^ y) ^ z
  • 自反性 ：x ^ x = 0
  • 零元素 ：x ^ 0 = x
  • 逆运算 ：若 x ^ y = z，则 z ^ y = x

六大技巧速查

技巧 代码 时间
判断奇偶 x & 1 O(1)O(1)O(1)
获取第i位 (x >> i) & 1 O(1)O(1)O(1)
设置第i位为1 `x = (1 << i)`
设置第i位为0 x &= ~(1 << i) O(1)O(1)O(1)
判断2的幂 x & (x-1) == 0 O(1)O(1)O(1)
获取最低位1 x & (-x) O(1)O(1)O(1)

二、例题精讲

例题 1：二进制中1的个数

项目 内容
链接 https://www.lanqiao.cn/problems/1331/learning/
类型 位运算基础
核心 逐位判断 / lowbit优化
题目描述

给定整数 xxx，输出其二进制表示中1的个数。

输入 ：32位整数 xxx（注意：包含负数！）

输出：1的个数

示例：

复制代码 
输入：9
输出：2
# 9 = 1001，有2个1
题解

解法一：逐位判断（通用，处理负数）

python 复制代码 
x = int(input())
ans = 0
for i in range(32):      # 遍历32个二进制位
    if (x >> i) & 1:     # 获取第i位
        ans += 1
print(ans)

复杂度 ：时间 O(32)O(32)O(32)，空间 O(1)O(1)O(1)

解法二：Lowbit优化（仅非负数）

python 复制代码 
def count_ones(x):
    ans = 0
    while x:
        x -= x & (-x)    # 每次消去最低位的1
        ans += 1
    return ans

⚠️ 注意 ：本题输入含负数，负数在Python中右移会无限填充1，因此必须使用32位遍历法！

例题 2：区间或

项目 内容
链接 https://www.lanqiao.cn/problems/3691/learning/
类型 位运算 + 前缀和
核心 按位独立考虑，前缀和优化查询
题目描述

给定数组 aaa，qqq 次询问，每次求区间 [l,r][l,r][l,r] 的按位或结果。

关键思路
  • 或运算性质：只要有1就为1
  • 区间或 = 对每一位单独计算，只要区间内该位至少有一个1，结果该位就是1
题解
python 复制代码 
from itertools import accumulate
import sys

input = sys.stdin.readline
print = sys.stdout.write

n, q = map(int, input().split())
a = list(map(int, input().split()))

# 对每一位单独处理
a_bit = []
for i in range(31):           # 遍历31个二进制位
    now_bit = []
    for x in a:
        now_bit.append((x >> i) & 1)   # 提取每个数第i位
    # 前缀和：快速计算区间该位是否有1
    a_bit.append(list(accumulate(now_bit)))

for _ in range(q):
    l, r = map(int, input().split())
    l -= 1; r -= 1            # 转0-indexed
    ans = 0
    for i in range(31):
        if l == 0:
            now = a_bit[i][r]
        else:
            now = a_bit[i][r] - a_bit[i][l - 1]
        if now > 0:           # 该位区间内有1
            ans |= (1 << i)   # 设置结果该位为1
    print(str(ans) + '\n')

复杂度 ：预处理 O(31×n)O(31 \times n)O(31×n)，每次查询 O(31)O(31)O(31)

关键细节
坑点 说明
按位独立 或运算满足按位独立，可以分别处理每一位
前缀和优化 用前缀和 O(1)O(1)O(1) 判断区间内某位是否有1
l=0特判 前缀和数组从0开始，需要单独处理左边界

例题 3：异或森林 ⭐难题

项目 内容
链接 https://www.lanqiao.cn/problems/3400/learning/
类型 位运算 + 前缀异或 + 哈希
核心 反向思考：总区间数 - 不满足条件的区间数
题目描述

求满足条件的子数组数量，使得子数组所有元素异或结果的因数个数为偶数。

核心转化
  1. 区间异或 = 前缀异或 ：a[l]^...^a[r] = pre_xor[r] ^ pre_xor[l-1]
  2. 因数个数为偶数 ⟺ 该数为非完全平方数
    • 完全平方数的因数个数为奇数（如4的因数：1,2,4）
    • 非完全平方数的因数个数为偶数
  3. 反向思考：总子数组数 - 异或值为完全平方数的子数组数
题解
python 复制代码 
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))

# 前缀异或数组
pre_xor = [0] * n
pre_xor[0] = a[0]
for i in range(1, n):
    pre_xor[i] = pre_xor[i - 1] ^ a[i]

ans = 0
# 枚举所有可能的完全平方数（a[i] <= n <= 10^4，异或值范围有限）
for x in range(0, 200):
    xor = x * x
    # 求异或值等于xor的区间个数
    # 即 pre_xor[i] ^ pre_xor[j] = xor 的二元组<i,j>数目，i < j
    # 等价于：pre_xor[i] = pre_xor[j] ^ xor
    dic = {}
    dic[0] = 1    # pre_xor[-1] = 0，处理从0开始的区间
    for j in range(n):
        ans += dic.get(pre_xor[j] ^ xor, 0)
        dic[pre_xor[j]] = dic.get(pre_xor[j], 0) + 1

# 总子数组数 - 异或值为完全平方数的子数组数
total = n * (n + 1) // 2
print(total - ans)

复杂度 ：时间 O(200×n)O(200 \times n)O(200×n)，空间 O(n)O(n)O(n)

关键细节
坑点 说明
数学转化 因数个数为偶数 ⟺ 非完全平方数，这是解题关键
反向思考 直接求"因数个数为偶数"很难，改为求总数减去"完全平方数"
哈希优化 用字典统计前缀异或出现次数，O(1)O(1)O(1) 查询配对
枚举范围 异或值上限约为 2×1042 \times 10^42×104，完全平方数只需枚举到200

例题 4：相或为k

项目 内容
类型 位运算 + 贪心筛选
核心 利用或运算性质：如果 `a[i]
题目描述

给定 nnn 个非负整数 a[i]a[i]a[i]，是否可以从中选出一些数进行或运算使得值为 kkk？

关键思路
  • 筛选条件 ：如果 a[i] \| k == k，说明 a[i] 的二进制1全部包含在 k 的1中
    • 反过来说，a[i] 没有 k 以外的1
    • 这样的数才可能参与组成 k
  • 验证 ：将所有满足条件的数做或运算，看结果是否等于 k
推演验证
复制代码 
输入: n=4, k=6, a=[1,2,3,4]

k = 6 = 110

a[0]=1=001: 1|6 = 111 != 6，不满足（1的第0位1不在k中）
a[1]=2=010: 2|6 = 110 == 6，满足 ✓
a[2]=3=011: 3|6 = 111 != 6，不满足（3的第0位1不在k中）
a[3]=4=100: 4|6 = 110 == 6，满足 ✓

满足条件的数：2, 4
或运算：2 | 4 = 6 == k ✓

输出: Yes
题解
python 复制代码 
t = int(input())
for _ in range(t):
    n, k = map(int, input().split())
    a = list(map(int, input().split()))
    huo = 0
    for i in a:
        # 筛选：a[i]的1必须全部在k的1中
        if i | k == k:
            huo |= i    # 累加或运算
    if huo == k:
        print("Yes")
    else:
        print("No")

复杂度 ：时间 O(t×n)O(t \times n)O(t×n)，空间 O(1)O(1)O(1)

关键细节
坑点 说明
筛选逻辑 `i
为什么筛选后或运算即可 如果筛选后的数或起来不等于 k，说明 k 的某些位无法被覆盖
贪心正确性 或运算只会增加1不会减少，所以全部选上是最优的

例题 5：异或王国 ⭐⭐⭐⭐

项目 内容
类型 位运算 + 按位统计 + 组合数学
核心 按位独立计算贡献，统计每位的0和1数量
题目描述

给定长度为 nnn 的序列，任选两个数，求所有方案的异或值之和，对 109+710^9+7109+7 取模。

∑i=1n−1∑j=i+1n(ai⊕aj)mod  (109+7)\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} (a_i \oplus a_j) \mod (10^9+7)i=1∑n−1j=i+1∑n(ai⊕aj)mod(109+7)

关键思路

按位独立考虑：异或运算的每一位互不影响，可以分别计算每一位的贡献再相加。

对于第 kkk 位：

  • 该位为1的条件：两个数该位不同（一个0一个1）
  • 假设有 bbb 个1，(n−b)(n-b)(n−b) 个0
  • 异或结果为1的方案数：b×(n−b)b \times (n-b)b×(n−b)
  • 第 kkk 位的贡献：b×(n−b)×2kb \times (n-b) \times 2^kb×(n−b)×2k
推演验证
复制代码 
输入: n=3, a=[1,2,3]

1 = 01, 2 = 10, 3 = 11

第0位：1(1), 2(0), 3(1) → b=2个1, n-b=1个0
  贡献 = 2 * 1 * 2^0 = 2

第1位：1(0), 2(1), 3(1) → b=2个1, n-b=1个0
  贡献 = 2 * 1 * 2^1 = 4

总和 = 2 + 4 = 6 ✓

验证：(1^2) + (1^3) + (2^3) = 3 + 2 + 1 = 6 ✓
题解
python 复制代码 
mod = 1000000007
n = int(input())
li = list(map(int, input().split()))

# 创建字典，键是二进制的位数(0~59)，值是该位所有元素的值(0或1)
diro = {i: [] for i in range(60)}
for i in range(60):
    for j in range(n):
        diro[i].append((li[j] >> i) & 1)

ans = 0
for k in range(60):
    a = sum(diro[k])           # 第k位1的个数
    # 0的个数 = n - a
    # 异或为1的方案数 = a * (n - a)
    ans = (ans + (a * (n - a)) * pow(2, k, mod)) % mod

print(ans)

复杂度 ：时间 O(60×n)O(60 \times n)O(60×n)，空间 O(60×n)O(60 \times n)O(60×n)（可优化到 O(1)O(1)O(1) 空间）

空间优化版
python 复制代码 
mod = 1000000007
n = int(input())
li = list(map(int, input().split()))

ans = 0
for k in range(60):
    cnt1 = 0
    for j in range(n):
        cnt1 += (li[j] >> k) & 1
    ans = (ans + cnt1 * (n - cnt1) * pow(2, k, mod)) % mod

print(ans)
关键细节
坑点 说明
按位独立 异或的每一位互不影响，这是位运算题目的核心思想
组合数学 两个数异或为1 ⟺ 一个0一个1，方案数 = cnt0 * cnt1
取模 答案可能非常大，每一步都要取模
数据范围 ai<260a_i < 2^{60}ai<260，所以只需遍历0~59位

例题 6：异或和之和 ⭐⭐⭐⭐⭐ 压轴难题

项目 内容
类型 位运算 + 前缀异或 + 按位贡献
核心 求所有子段的异或和之和，按位统计贡献
题目描述

给定数组 AiA_iAi，分别求其每个子段的异或和，并求出它们的和。

即求：∑1≤L≤R≤n(AL⊕AL+1⊕...⊕AR)\sum_{1 \leq L \leq R \leq n} (A_L \oplus A_{L+1} \oplus ... \oplus A_R)∑1≤L≤R≤n(AL⊕AL+1⊕...⊕AR)

关键思路

第一步：转化为前缀异或

设 pre[i]=A1⊕A2⊕...⊕Aipre[i] = A_1 \oplus A_2 \oplus ... \oplus A_ipre[i]=A1⊕A2⊕...⊕Ai，则区间 [L,R][L,R][L,R] 的异或和为：
AL⊕...⊕AR=pre[R]⊕pre[L−1]A_L \oplus ... \oplus A_R = pre[R] \oplus pre[L-1]AL⊕...⊕AR=pre[R]⊕pre[L−1]

第二步：按位独立统计

对于第 kkk 位，我们需要统计有多少对 (i,j)(i,j)(i,j) 满足 pre[i]⊕pre[j]pre[i] \oplus pre[j]pre[i]⊕pre[j] 的第 kkk 位为1。

第三步：统计前缀异或中0和1的数量

遍历数组，维护第 kkk 位前缀异或的当前值 sum（0或1）：

  • 如果 sum == 0：当前前缀异或第 kkk 位为0，与之前所有第 kkk 位为1的前缀异或配对，异或结果为1
  • 如果 sum == 1：当前前缀异或第 kkk 位为1，与之前所有第 kkk 位为0的前缀异或配对，异或结果为1
推演验证
复制代码 
输入: n=5, a=[1,2,3,4,5]

前缀异或：
pre[0] = 0
pre[1] = 1 = 001
pre[2] = 1^2 = 3 = 011
pre[3] = 3^3 = 0 = 000
pre[4] = 0^4 = 4 = 100
pre[5] = 4^5 = 1 = 001

第0位：pre = [0,1,1,0,0,1]
  zero=1(初始pre[0]=0), one=0
  i=1, v=1: sum=1, one=1, cnt+=zero=1, cnt=1
  i=2, v=1: sum=0, zero=2, cnt+=one=1, cnt=2
  i=3, v=0: sum=0, zero=3, cnt+=one=1, cnt=3
  i=4, v=0: sum=0, zero=4, cnt+=one=1, cnt=4
  i=5, v=1: sum=1, one=2, cnt+=zero=4, cnt=8
  贡献 = 8 * 1 = 8

第1位：pre = [0,0,1,1,0,0]
  ...（类似计算）

最终答案 = 32 ✓
题解
python 复制代码 
n = int(input())
a = [int(x) for x in input().split()]

ans = 0
for k in range(21):            # 所有a不超过20位
    zero, one = 1, 0           # 统计第k位的0和1的数量，初始pre[0]=0
    cnt, sum_val = 0, 0        # cnt: 第k位异或为1的配对数

    for i in range(n):
        v = (a[i] >> k) & 1    # 取a[i]的第k位
        sum_val ^= v           # 前缀异或的第k位

        if sum_val == 0:       # 前缀和为0
            zero += 1          # 0的数量加1
            cnt += one         # 与前面等于1的前缀异或配对，结果为1
        else:                  # 前缀异或为1
            one += 1           # 1的数量加1
            cnt += zero        # 与前面等于0的前缀异或配对，结果为1

    ans += cnt * (1 << k)      # 第k位的贡献

print(ans)

复杂度 ：时间 O(21×n)O(21 \times n)O(21×n)，空间 O(1)O(1)O(1)

关键细节
坑点 说明
前缀异或数组 pre[0] = 0 必须初始化，处理从第一个元素开始的区间
zero初始化为1 因为 pre[0] = 0，所以0的初始数量为1
sum的含义 是当前前缀异或的第k位值，不是累加和
cnt的统计 每次遇到0，与前面所有1配对；遇到1，与前面所有0配对
为什么这样统计 两个前缀异或第k位不同 ⟺ 区间异或和的第k位为1

三、今日刷题总结

题号 题目 考点 难度 核心技巧
1 二进制中1的个数 逐位判断 ⭐⭐ (x>>i)&1
2 区间或 前缀和+按位 ⭐⭐⭐ 按位独立，前缀和优化
3 异或森林 前缀异或+哈希 ⭐⭐⭐⭐⭐ 反向思考，数学转化
4 相或为k 或运算性质 ⭐⭐⭐ `i
5 异或王国 按位统计 ⭐⭐⭐⭐ cnt0 * cnt1 * 2^k
6 异或和之和 前缀异或+按位 ⭐⭐⭐⭐⭐ 配对统计，zero/one计数

位运算解题模板

python 复制代码 
# 模板1：按位统计贡献
for k in range(60):        # 遍历每一位
    cnt1 = 0
    for x in a:
        cnt1 += (x >> k) & 1
    cnt0 = n - cnt1
    ans += cnt1 * cnt0 * (1 << k)

# 模板2：前缀异或 + 哈希
pre_xor = [0] * (n + 1)
for i in range(n):
    pre_xor[i+1] = pre_xor[i] ^ a[i]

dic = {0: 1}  # 初始化
for i in range(1, n+1):
    # 查询配对
    ans += dic.get(pre_xor[i] ^ target, 0)
    dic[pre_xor[i]] = dic.get(pre_xor[i], 0) + 1

# 模板3：筛选后或运算
target = k
result = 0
for x in a:
    if x | target == target:  # x的1全部在target中
        result |= x
# result == target ?

四、结语

位运算的核心思想就一句话：按位独立考虑，利用二进制性质简化问题。

🌟 今日收获：

  1. 掌握了六大基础运算和六大技巧
  2. 学会了"按位独立"的思维方式
  3. 掌握了前缀异或 + 哈希的经典套路
  4. 理解了反向思考、数学转化等高级技巧

位运算题目看似复杂，但只要抓住"按位独立"这个核心，很多难题都会迎刃而解。继续加油，国赛见！💪

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