算法基础（十二）——主方法：快速求解常见递归式

1. 定位导航

分治算法经常会产生递归式。

例如：

T(n) = 2T(n/2) + n
T(n) = 2T(n/2) + 1
T(n) = 2T(n/2) + n²

这些递归式看起来相似，但结果可能完全不同：

O(n log n)
O(n)
O(n²)

主方法就是一种快速判断工具。

它不需要每次完整画递归树，而是通过比较两个关键量来判断结果。

2. 概念术语

术语	含义	举例
主方法	求解一类分治递归式的快速方法	T(n)=aT(n/b)+f(n)
a	子问题个数	2T(n/2) 中的 2
b	子问题规模缩小倍数	T(n/2) 中的 2
f(n)	分解与合并的额外成本	归并排序合并成本 n
基准项	递归展开形成的叶子侧规模	n^(log_b a)
情况 1	f(n) 比基准项小	递归成本主导
情况 2	f(n) 与基准项同级	每层成本相近
情况 3	f(n) 比基准项大	合并成本主导

关键澄清：

1. 主方法不是所有递归式都能用。
2. 它主要适用于 T(n)=aT(n/b)+f(n) 这种形式。
3. 判断关键是比较 f(n) 和 n^(log_b a)。
4. 不要只看 a 和 b，f(n) 经常决定最终结果。

3. 主方法解决哪类问题

主方法适用于形如：

T(n)=aT(n/b)+f(n) T(n) = aT(n/b) + f(n) T(n)=aT(n/b)+f(n)

的递归式。

其中：

• a 表示子问题个数；
• n/b 表示每个子问题的规模；
• f(n) 表示除了递归子问题之外，本层额外做的工作。

比如归并排序：

T(n)=2T(n/2)+n T(n) = 2T(n/2) + n T(n)=2T(n/2)+n

对应关系是：

部分	值	含义
a	2	拆成两个子问题
b	2	每个子问题规模是原来一半
f(n)	n	合并两个有序数组需要线性时间

4. 核心比较对象：f(n) 与 n^(log_b a)

主方法最关键的一步是计算：

nlog⁡ba n^{\log_b a} nlogba

这个量可以理解为递归树中"子问题扩张出来的基准增长"。

然后比较：

f(n) 和 n^(log_b a)

谁更强。

以归并排序为例：

T(n)=2T(n/2)+n T(n) = 2T(n/2) + n T(n)=2T(n/2)+n

这里：

a=2,b=2 a = 2,\quad b = 2 a=2,b=2

所以：

nlog⁡ba=nlog⁡22=n n^{\log_b a} = n^{\log_2 2} = n nlogba=nlog22=n

而：

f(n)=n f(n) = n f(n)=n

两者同级，所以属于情况 2。

结果是：

T(n)=Θ(nlog⁡n) T(n) = \Theta(n \log n) T(n)=Θ(nlogn)

5. 主方法的三种情况

主方法可以分成三种情况。

5.1 情况 1：f(n) 更小

如果：

f(n) f(n) f(n)

比：

nlog⁡ba n^{\log_b a} nlogba

小一个多项式级别，那么递归成本主导。

结果是：

T(n)=Θ(nlog⁡ba) T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) T(n)=Θ(nlogba)

直觉：

越往下递归，子问题数量增长带来的成本更重要。

5.2 情况 2：f(n) 与基准项同级

如果：

f(n)=Θ(nlog⁡ba) f(n) = \Theta(n^{\log_b a}) f(n)=Θ(nlogba)

那么每一层贡献差不多。

结果是：

T(n)=Θ(nlog⁡balog⁡n) T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n) T(n)=Θ(nlogbalogn)

直觉：

每一层都差不多，总共约 log n 层，所以多乘一个 log n。

5.3 情况 3：f(n) 更大

如果：

f(n) f(n) f(n)

比：

nlog⁡ba n^{\log_b a} nlogba

大一个多项式级别，并且满足一定的正则条件，那么本层额外工作主导。

结果是：

T(n)=Θ(f(n)) T(n) = \Theta(f(n)) T(n)=Θ(f(n))

直觉：

上层合并成本已经足够大，递归子问题反而不是主导。

6. 动态推演：三种情况如何判断

下面用动态图观察三种关系。

可以这样理解：

• 情况 1：f(n) 比基准项更小，递归展开更重要；
• 情况 2：f(n) 和基准项同级，每层成本接近；
• 情况 3：f(n) 比基准项更大，当前层工作更重要。

7. 典型例子

7.1 例子一：T(n)=2T(n/2)+n

这里：

a=2,b=2,f(n)=n a=2,\quad b=2,\quad f(n)=n a=2,b=2,f(n)=n

基准项：

nlog⁡22=n n^{\log_2 2}=n nlog22=n

f(n) 和基准项同级，属于情况 2。

所以：

T(n)=Θ(nlog⁡n) T(n)=\Theta(n\log n) T(n)=Θ(nlogn)

7.2 例子二：T(n)=2T(n/2)+1

这里：

a=2,b=2,f(n)=1 a=2,\quad b=2,\quad f(n)=1 a=2,b=2,f(n)=1

基准项：

nlog⁡22=n n^{\log_2 2}=n nlog22=n

f(n) 比基准项小，属于情况 1。

所以：

T(n)=Θ(n) T(n)=\Theta(n) T(n)=Θ(n)

7.3 例子三：T(n)=2T(n/2)+n²

这里：

a=2,b=2,f(n)=n2 a=2,\quad b=2,\quad f(n)=n^2 a=2,b=2,f(n)=n2

基准项：

nlog⁡22=n n^{\log_2 2}=n nlog22=n

f(n) 比基准项大，属于情况 3。

所以：

T(n)=Θ(n2) T(n)=\Theta(n^2) T(n)=Θ(n2)

8. 判断流程

使用主方法时，可以按照下面流程来。

第一步：确认递归式形式

先确认是否形如：

T(n)=aT(n/b)+f(n) T(n)=aT(n/b)+f(n) T(n)=aT(n/b)+f(n)

如果形式不匹配，不要硬套。

第二步：计算基准项

计算：

nlog⁡ba n^{\log_b a} nlogba

第三步：比较强弱

比较：

f(n) 与 n^(log_b a)

谁更大、谁更小，或者是否同级。

第四步：套用三种情况

根据比较结果，选择情况 1、情况 2 或情况 3。

9. 代码实践：自动套用简单主方法

下面写一个简单的 Python 小工具，只处理 f(n)=n^k 这种常见形式。

import math

def master_method(a, b, k):
    """
    处理递归式：
    T(n) = aT(n/b) + n^k

    参数：
    a: 子问题个数
    b: 子问题缩小倍数
    k: f(n)=n^k 中的 k
    """
    critical = math.log(a, b)

    print(f"a = {a}, b = {b}, f(n) = n^{k}")
    print(f"基准指数 log_b(a) = {critical:.4f}")

    if k < critical:
        print("情况 1：f(n) 更小")
        print(f"T(n) = Θ(n^{critical:.4f})")
    elif abs(k - critical) < 1e-9:
        print("情况 2：f(n) 与基准项同级")
        print(f"T(n) = Θ(n^{critical:.4f} log n)")
    else:
        print("情况 3：f(n) 更大")
        print(f"T(n) = Θ(n^{k})")


master_method(2, 2, 1)
print()
master_method(2, 2, 0)
print()
master_method(2, 2, 2)

输出示例：

a = 2, b = 2, f(n) = n^1
基准指数 log_b(a) = 1.0000
情况 2：f(n) 与基准项同级
T(n) = Θ(n^1.0000 log n)

a = 2, b = 2, f(n) = n^0
基准指数 log_b(a) = 1.0000
情况 1：f(n) 更小
T(n) = Θ(n^1.0000)

a = 2, b = 2, f(n) = n^2
基准指数 log_b(a) = 1.0000
情况 3：f(n) 更大
T(n) = Θ(n^2)

这个工具不是完整的数学证明器，但可以帮助快速建立判断直觉。

10. 常见误区

误区一：看到递归式就硬套主方法

不是所有递归式都能直接套。

例如：

T(n)=T(n-1)+n

它不是 aT(n/b)+f(n) 形式，就不适合直接用这个版本的主方法。

误区二：算错 log_b a

主方法的核心基准项是：

nlog⁡ba n^{\log_b a} nlogba

如果这里算错，后面判断都会错。

误区三：忘记情况 2 里的 log n

当：

f(n)=Θ(nlog⁡ba) f(n)=\Theta(n^{\log_b a}) f(n)=Θ(nlogba)

结果不是简单的：

Θ(nlog⁡ba) \Theta(n^{\log_b a}) Θ(nlogba)

而是：

Θ(nlog⁡balog⁡n) \Theta(n^{\log_b a}\log n) Θ(nlogbalogn)

误区四：只凭直觉比较大小

比较 f(n) 和基准项时，要看增长量级，不是看某个小规模下的数值。

11. 现代延伸

主方法不仅用于排序，也常用于分析很多分治或递归系统。

场景	可能出现的递归式
归并排序	T(n)=2T(n/2)+n
二分查找	T(n)=T(n/2)+1
分治统计	T(n)=2T(n/2)+n
分块计算	T(n)=aT(n/b)+f(n)
并行归约	T(n)=2T(n/2)+1
多路分治	T(n)=kT(n/k)+n

工程里很多"拆分---递归处理---合并"的流程，都可以先写出递归式，再用类似方法估算增长趋势。

比如大文件分块处理、分布式聚合、多级归并、并行任务树，都可以借助这种思路快速判断瓶颈来自哪里。

12. 思考题

1. 主方法适用于哪类递归式？
2. T(n)=2T(n/2)+n 为什么是情况 2？
3. T(n)=2T(n/2)+1 为什么是情况 1？
4. T(n)=2T(n/2)+n² 为什么是情况 3？
5. 为什么情况 2 的结果要多乘一个 log n？
6. T(n)=3T(n/3)+n 的复杂度是多少？

13. 本篇小结

本篇讲清楚了主方法。

核心结论是：

• 主方法用于快速求解 T(n)=aT(n/b)+f(n) 类型的递归式；
• a 表示子问题个数；
• b 表示子问题规模缩小倍数；
• f(n) 表示本层额外工作；
• 核心比较对象是 f(n) 和 n^(log_b a)；
• 情况 1：f(n) 更小，结果看基准项；
• 情况 2：两者同级，结果多乘一个 log n；
• 情况 3：f(n) 更大，结果看 f(n)；
• 使用前要先确认递归式形式是否匹配。

主方法可以理解成递归树分析的快捷版。

递归树帮你看懂原因，主方法帮你快速得到结果。