对于我们测绘人员来说中误差都不陌生，但是对于中误差是如何计算的？以及中误差的意义很少有人能说的明白。
一、中误差的定义与公式
中误差（就是数学中的均方根误差）是衡量观测精度的核心指标，表示在一组等精度独立观测中，真误差平方的算术平均值的平方根。数值越小，精度越高。
1. 真值已知------用真误差计算
若被测量的真值 XXX 已知，真误差 Δi=Li−X\Delta_i = L_i - XΔi=Li−X，则一次观测的中误差 mmm 为：
m=±[ΔΔ]n m = \pm \sqrt{\frac{[\Delta\Delta]}{n}} m=±n[ΔΔ]
nnn 为观测次数，[ΔΔ]=∑Δi2[\Delta\Delta] = \sum \Delta_i^2[ΔΔ]=∑Δi2。
2. 真值未知------用改正数计算（白塞尔公式）
当真值未知时，用观测值的算术平均值 xˉ\bar{x}xˉ 代替真值，改正数 vi=xˉ−Liv_i = \bar{x} - L_ivi=xˉ−Li，中误差为：
m=±[vv]n−1 m = \pm \sqrt{\frac{[vv]}{n-1}} m=±n−1[vv]
分母用 n−1n-1n−1，因为用了一个平均值代替真值，自由度减少 1。
3. 算术平均值的中误差
算术平均值 xˉ\bar{x}xˉ 本身的精度用 MMM 表示：
M=mn M = \frac{m}{\sqrt{n}} M=n m
二、举例说明（详细计算）
场景 ：对某段距离等精度独立观测了 6 次，已知该距离的真值为 100.000 m100.000\,\text{m}100.000m（用更高精度仪器获得）。观测值如下：
| 序号 | 观测值 LiL_iLi (m) | 真误差 Δi\Delta_iΔi (mm) | Δi2\Delta_i^2Δi2 (mm²) |
|---|---|---|---|
| 1 | 100.002 | +2 | 4 |
| 2 | 100.003 | +3 | 9 |
| 3 | 99.998 | --2 | 4 |
| 4 | 100.001 | +1 | 1 |
| 5 | 99.999 | --1 | 1 |
| 6 | 100.004 | +4 | 16 |
真误差 = 观测值 -- 真值，单位为 mm。
ΔΔ\]=4+9+4+1+1+16=35 mm2 \[\\Delta\\Delta\] = 4+9+4+1+1+16 = 35\\,\\text{mm}\^2 \[ΔΔ\]=4+9+4+1+1+16=35mm2 #### 1. 按真误差法计算 m=±356=±5.833≈±2.415 mm m = \\pm\\sqrt{\\frac{35}{6}} = \\pm\\sqrt{5.833} \\approx \\pm 2.415\\,\\text{mm} m=±635 =±5.833 ≈±2.415mm 一次观测的中误差约为 **±2.4 mm**。 *** ** * ** *** #### 2. 假设真值未知，用改正数法（白塞尔公式）计算 先求算术平均值： xˉ=100.002+100.003+99.998+100.001+99.999+100.0046=600.0076≈100.0011667 m \\bar{x} = \\frac{100.002+100.003+99.998+100.001+99.999+100.004}{6} = \\frac{600.007}{6} \\approx 100.0011667\\,\\text{m} xˉ=6100.002+100.003+99.998+100.001+99.999+100.004=6600.007≈100.0011667m 计算改正数 vi=xˉ−Liv_i = \\bar{x} - L_ivi=xˉ−Li（单位 mm）： | 序号 | LiL_iLi (m) | viv_ivi (mm) | vi2v_i\^2vi2 (mm²) | |:--:|:-----------:|:------------:|:------------------:| | 1 | 100.002 | --0.833 | 0.694 | | 2 | 100.003 | --1.833 | 3.360 | | 3 | 99.998 | +3.167 | 10.030 | | 4 | 100.001 | +0.167 | 0.028 | | 5 | 99.999 | +2.167 | 4.696 | | 6 | 100.004 | --2.833 | 8.026 | （表中数值已四舍五入，精确平方和 \[vv\]≈26.834 mm2\[vv\] \\approx 26.834\\,\\text{mm}\^2\[vv\]≈26.834mm2） m=±26.8346−1=±5.367≈±2.317 mm m = \\pm\\sqrt{\\frac{26.834}{6-1}} = \\pm\\sqrt{5.367} \\approx \\pm 2.317\\,\\text{mm} m=±6−126.834 =±5.367 ≈±2.317mm 两种方法结果接近（2.415 与 2.317）。样本较少时，采用 n−1n-1n−1 估算整体精度更为稳健。 *** ** * ** *** #### 3. 算术平均值的中误差 若以这 6 次观测的算术平均值 100.0012 m100.0012\\,\\text{m}100.0012m 作为最终结果，其中误差为： M=m6=2.3176≈±0.946 mm M = \\frac{m}{\\sqrt{6}} = \\frac{2.317}{\\sqrt{6}} \\approx \\pm 0.946\\,\\text{mm} M=6 m=6 2.317≈±0.946mm 最终测距结果的精度约为 **±0.9 mm**。 *** ** * ** *** ### 三、要点总结 * **有真值** ：m=±\[ΔΔ\]nm = \\pm\\sqrt{\\frac{\[\\Delta\\Delta\]}{n}}m=±n\[ΔΔ
- 无真值 ：m=±[vv]n−1m = \pm\sqrt{\frac{[vv]}{n-1}}m=±n−1[vv]
- 中误差前常带"±\pm±"号，表示误差可能出现在正或负方向。
- 测绘规范中常以 2 倍中误差 作为极限误差，超限的观测值应重测或剔除。