对于我们测绘人员来说中误差都不陌生，但是对于中误差是如何计算的？以及中误差的意义很少有人能说的明白。
一、中误差的定义与公式
中误差（就是数学中的均方根误差）是衡量观测精度的核心指标，表示在一组等精度独立观测中，真误差平方的算术平均值的平方根。数值越小，精度越高。
1. 真值已知------用真误差计算
若被测量的真值 XXX 已知，真误差 Δi=Li−X\Delta_i = L_i - XΔi=Li−X，则一次观测的中误差 mmm 为：
m=±ΔΔn m = \pm \sqrt{\frac{\\Delta\\Delta}{n}} m=±nΔΔ
nnn 为观测次数，ΔΔ=∑Δi2\\Delta\\Delta = \sum \Delta_i^2ΔΔ=∑Δi2。
2. 真值未知------用改正数计算（白塞尔公式）
当真值未知时，用观测值的算术平均值 xˉ\bar{x}xˉ 代替真值，改正数 vi=xˉ−Liv_i = \bar{x} - L_ivi=xˉ−Li，中误差为：
m=±vvn−1 m = \pm \sqrt{\frac{vv}{n-1}} m=±n−1vv
分母用 n−1n-1n−1，因为用了一个平均值代替真值，自由度减少 1。
3. 算术平均值的中误差
算术平均值 xˉ\bar{x}xˉ 本身的精度用 MMM 表示：
M=mn M = \frac{m}{\sqrt{n}} M=n m
二、举例说明（详细计算）
场景 ：对某段距离等精度独立观测了 6 次，已知该距离的真值为 100.000 m100.000\,\text{m}100.000m（用更高精度仪器获得）。观测值如下：
| 序号 | 观测值 LiL_iLi (m) | 真误差 Δi\Delta_iΔi (mm) | Δi2\Delta_i^2Δi2 (mm²) |
|---|---|---|---|
| 1 | 100.002 | +2 | 4 |
| 2 | 100.003 | +3 | 9 |
| 3 | 99.998 | --2 | 4 |
| 4 | 100.001 | +1 | 1 |
| 5 | 99.999 | --1 | 1 |
| 6 | 100.004 | +4 | 16 |
真误差 = 观测值 -- 真值，单位为 mm。
ΔΔ=4+9+4+1+1+16=35 mm2 \\Delta\\Delta = 4+9+4+1+1+16 = 35\,\text{mm}^2 ΔΔ=4+9+4+1+1+16=35mm2
1. 按真误差法计算
m=±356=±5.833≈±2.415 mm m = \pm\sqrt{\frac{35}{6}} = \pm\sqrt{5.833} \approx \pm 2.415\,\text{mm} m=±635 =±5.833 ≈±2.415mm
一次观测的中误差约为 ±2.4 mm。
2. 假设真值未知，用改正数法（白塞尔公式）计算
先求算术平均值：
xˉ=100.002+100.003+99.998+100.001+99.999+100.0046=600.0076≈100.0011667 m \bar{x} = \frac{100.002+100.003+99.998+100.001+99.999+100.004}{6} = \frac{600.007}{6} \approx 100.0011667\,\text{m} xˉ=6100.002+100.003+99.998+100.001+99.999+100.004=6600.007≈100.0011667m
计算改正数 vi=xˉ−Liv_i = \bar{x} - L_ivi=xˉ−Li（单位 mm）：
| 序号 | LiL_iLi (m) | viv_ivi (mm) | vi2v_i^2vi2 (mm²) |
|---|---|---|---|
| 1 | 100.002 | --0.833 | 0.694 |
| 2 | 100.003 | --1.833 | 3.360 |
| 3 | 99.998 | +3.167 | 10.030 |
| 4 | 100.001 | +0.167 | 0.028 |
| 5 | 99.999 | +2.167 | 4.696 |
| 6 | 100.004 | --2.833 | 8.026 |
（表中数值已四舍五入，精确平方和 vv≈26.834 mm2vv \approx 26.834\,\text{mm}^2vv≈26.834mm2）
m=±26.8346−1=±5.367≈±2.317 mm m = \pm\sqrt{\frac{26.834}{6-1}} = \pm\sqrt{5.367} \approx \pm 2.317\,\text{mm} m=±6−126.834 =±5.367 ≈±2.317mm
两种方法结果接近（2.415 与 2.317）。样本较少时，采用 n−1n-1n−1 估算整体精度更为稳健。
3. 算术平均值的中误差
若以这 6 次观测的算术平均值 100.0012 m100.0012\,\text{m}100.0012m 作为最终结果，其中误差为：
M=m6=2.3176≈±0.946 mm M = \frac{m}{\sqrt{6}} = \frac{2.317}{\sqrt{6}} \approx \pm 0.946\,\text{mm} M=6 m=6 2.317≈±0.946mm
最终测距结果的精度约为 ±0.9 mm。
三、要点总结
- 有真值 ：m=±ΔΔnm = \pm\sqrt{\frac{\\Delta\\Delta}{n}}m=±nΔΔ
- 无真值 ：m=±vvn−1m = \pm\sqrt{\frac{vv}{n-1}}m=±n−1vv
- 中误差前常带"±\pm±"号，表示误差可能出现在正或负方向。
- 测绘规范中常以 2 倍中误差 作为极限误差，超限的观测值应重测或剔除。