P4147 玉蟾宫 - 技术栈

题目背景

有一天，小猫 rainbow 和 freda 来到了湘西张家界的天门山玉蟾宫，玉蟾宫宫主蓝兔盛情地款待了它们，并赐予它们一片土地。

题目描述

这片土地被分成 N×MN\times MN×M 个格子，每个格子里写着 R 或者 F，R 代表这块土地被赐予了 rainbow，F 代表这块土地被赐予了 freda。

现在 freda 要在这里卖萌。。。它要找一块矩形土地，要求这片土地都标着 F 并且面积最大。

但是 rainbow 和 freda 的 OI 水平都弱爆了，找不出这块土地，而蓝兔也想看 freda 卖萌（她显然是不会编程的......），所以它们决定，如果你找到的最大的土地面积为 SSS，它们每人给你 SSS 两银子。

输入格式

第一行两个整数 NNN，MMM，表示矩形土地有 NNN 行 MMM 列。

接下来 NNN 行，每行 MMM 个用空格隔开的字符 F 或 R，描述了矩形土地。

输出格式

输出一个整数，表示你能得到多少银子，即 3×S3\times S3×S 的值。

输入输出样例 #1

输入 #1

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5 6 
R F F F F F 
F F F F F F 
R R R F F F 
F F F F F F 
F F F F F F

输出 #1

复制代码

说明/提示

对于 50%50\%50% 的数据，1≤N,M≤2001 \leq N, M \leq 2001≤N,M≤200。

对于 100%100\%100% 的数据，1≤N,M≤10001 \leq N, M \leq 10001≤N,M≤1000。

【题目解析】

1. 预处理高度数组

cpp 复制代码

if(c=='F') h[i][j] = h[i-1][j] + 1;

h[i][j] 表示以第 i 行为底、第 j 列向上连续 'F' 的个数。
这样就把问题转化为求每一行作为底的直方图最大矩形面积。

2. 单调栈求每行最大矩形面积

对每一行 i：

用单调递增栈（存列下标 j），栈内 h[i][j] 严格递增。
遇到 h[i][j] 小于等于栈顶高度时，弹出栈顶并确定它的右边界。
左边界是栈内前一个元素的下标，右边界是当前列 j。
弹出后，矩形面积 = 高度 × (右边界 - 左边界 - 1)。

3. 关键变量含义

变量	含义
`h[i][j]`	第 `i` 行第 `j` 列向上连续 'F' 的高度
`s[t]`	单调栈，存的是列下标
`l[j]`	第 `j` 列作为当前栈顶时的左边界
`r[j]`	第 `j` 列作为弹出元素时的右边界

4. 对每一行的处理

cpp 复制代码

// 从左向右扫描，找右边界
for(int j=1;j<=m;j++){
    while(t>0 && h[i][s[t]] >= h[i][j]){
        r[s[t--]] = j;      // 栈顶的右边界是 j
    }
    l[j] = s[t];            // 当前 j 的左边界是栈顶
    s[++t] = j;
}
// 扫完后，栈内剩余元素的右边界是 m+1
while(t>0) r[s[t--]] = m+1;
// 计算该行所有矩形面积
for(int j=1;j<=m;j++){
    a = max(a, (r[j] - l[j] - 1) * h[i][j]);
}

5. 最终答案

cpp 复制代码

cout << a * 3;

因为每个 'F' 格子代表 3 个单位面积（题目隐含），所以最后乘以 3。

样例验证

输入：

复制代码

4 4
F F F F
F F F F
F F F F
F F F F

每行高度都是 [4,4,4,4]
最大矩形：整行 4×4=16 个格子
输出：16×3=48

如果有一个 2×3 的 'F' 矩形，面积就是 6×3=18。

时间复杂度

每行扫描 O(m)，共 n 行
总复杂度 O(n×m)，完美通过 n,m ≤ 1000 的数据。

【贴上代码】

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=1008;
int n,m,h[N][N],t,s[N],l[N],r[N];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            char c;
            cin>>c;
            if(c=='F') h[i][j]=h[i-1][j]+1;
        }
    }
    int a=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            while(t>0&&h[i][s[t]]>=h[i][j])
            {
                r[s[t--]]=j;
            }
            l[j]=s[t];
            s[++t]=j;
        }
        while(t>0)
        {
            r[s[t--]]=m+1;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            a=max(a,(r[j]-l[j]-1)*h[i][j]);
        }
    }
    cout<<a*3;
    return 0;
}