GESP6级C++考试语法知识（三、图与树（三））

第三课：《二叉树进阶王国》

------ 完全二叉树 + 二叉排序树的神奇魔法

🌟故事开始：国王的两大神树

1、在"二叉树魔法学院"毕业后，

小勇者们继续前进。

他们来到了一座更神秘的地方：

🏰《二叉树进阶王国》

王国中央，

长着两棵神奇的大树：

2、🌳第一棵：

完全二叉树

它长得：

整整齐齐！

3、🌳第二棵：

二叉排序树

它拥有：

超快查找魔法！

4、汉克老师说：

"学会它们，"

"我们就真正进入高级算法世界了！"

于是，

新的冒险开始了！

第一章：什么是完全二叉树？

1、🌟先回忆普通二叉树

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这是普通二叉树。

2、🌟再看完全二叉树

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是不是特别整齐？

3、🌟完全二叉树的规则

（1）规则1

除了最后一层，

前面必须全部满！

（2）规则2

最后一层：

必须从左往右连续排列。

（3）🌟像电影院坐座位！

正确：

复制代码

😀 😀 😀 😀 😀

错误：

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😀 ❌ 😀 😀

中间不能空！

第二章：判断是不是完全二叉树

1、🌟正确例子

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2、🌟错误例子

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           1
        /     \
       2       3
      /         \
     4           6

为什么错？

因为：

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5的位置空了，
6却跑后面去了。

不连续！

3、🌟课堂小游戏

汉克老师画树。

同学们来判断：

✅ 是完全二叉树

❌ 不是完全二叉树

第三章：为什么完全二叉树这么重要？

1、🌟完全二叉树的秘密：

完全二叉树可以不用"连线"！

直接用数组存！

2、🌟普通树的问题

普通树：

需要记录：

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left
right

比较麻烦。

3、🌟完全二叉树的神奇规律

假设：

复制代码

节点编号从1开始

（1）🌟规律来了！

当前节点：

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左孩子：

left = 2i

右孩子：

right = 2i+1

父节点：

parent = i / 2 （向下取整）

（2）🌟举例！

假设：

复制代码

节点3

左孩子：

cpp 复制代码

i*2 = 3×2 = 6

右孩子：

cpp 复制代码

i*2+1 = 3×2+1= 7

父节点：

cpp 复制代码

 i / 2 = 3/2 =1

4、🌟是不是特别神奇？

电脑根本不用画树。

只靠位置就知道关系！

第四章：数组存树

1、🌟树

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2、🌟数组

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下标: 1 2 3 4 5 6
数值: 1 2 3 4 5 6

3、🌟观察！

（1）节点2

左孩子：

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右孩子：

复制代码

（2）节点3

左孩子：

复制代码

4、🌟太方便了！

这就是：

🌟堆（Heap）的基础！

后面会学到。

第五章：二叉排序树 BST

1、汉克老师带同学们来到：

🌳智慧查找森林

这里有一棵会"自动排序"的神树。

2、🌟什么是 BST？

BST：

Binary Search Tree

中文：

二叉排序树

3、🌟它有超级规则！

左边都小

右边都大

4、🌟例子

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          8
        /   \
       3     10
      / \      \
     1   6      14

5、🌟观察！

左边

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1 3 6

都比8小。

右边

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10 14

都比8大。

6、🌟这就是 BST！

第六章：BST 为什么厉害？

1、汉克老师问：

"如果要找数字6怎么办？"

2、🌟普通树

只能一个个找。

很慢。

3、🌟BST

像猜数字游戏！

4、🌟开始查找6

（1）第一步

当前：

复制代码

（2）比较

6 < 8

所以：

往左走！

（3）到3

6 > 3

往右走！

（4）找到6！

（5）🌟只查了3次！

（6）🌟这就是：二分思想！

第七章：BST 插入

1、🌟现在插入7

（1）第一步

7 < 8

往左。

（2）第二步

7 > 3

往右。

（3）第三步

7 > 6

继续右。

（4）🌟放进去！

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2、🌟规律

一路比较。

一路寻找位置。

第八章：BST 中序遍历的秘密！

1、汉克老师给同学们说：

"BST还藏着一个秘密！"

2、🌟看这棵树

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          8
        /   \
       3     10
      / \      \
     1   6      14

3、🌟中序遍历！

口诀：

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左 根 右

4、🌟结果！

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1 3 6 8 10 14

5、🌟发现了吗？

自动从小到大排序了！

6、🌟超级重要结论

BST 的中序遍历：

一定是升序！

第九章：简单代码启蒙

1、🌟BST节点

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struct Node
{
    int val;
    Node *left;
    Node *right;
};

2、🌟查找函数

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bool find(Node *root,int x)
{
    if(root==NULL) return false;

    if(root->val==x) return true;

    if(x<root->val)
        return find(root->left,x);
    else
        return find(root->right,x);
}

3、🌟详细解释

（1）找到空节点

说明没找到。

（2）当前节点等于x

找到了！

（3）x更小

去左边。

（4）x更大

去右边。

4、🌟是不是特别像：

猜数字游戏？

第十章：课堂训练

🌟训练1：判断完全二叉树

哪个是？

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复制代码

B)
       1
     /   \
    2     3
   /       \
  4         5

答案：

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A正确
B错误

🌟训练2：BST查找路线

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          8
        /   \
       3     10
      / \      \
     1   6      14

找14：

路线是什么？

🌟答案

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8 → 10 → 14

🌟训练3：中序遍历

结果：

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1 3 6 8 10 14

第十一章：举一反三！

🌟后面哪里会用到 BST？

🌳字典查单词

🌳游戏排行榜

🌳数据库查找

🌳搜索系统

🌟后面哪里会用到完全二叉树？

🌳优先队列

🌳堆排序

🌳任务调度

第十二章：本课总结

🌟同学们今天学会了什么？

1、🌳完全二叉树

特点：

✅ 前面全满

✅ 最后一层从左连续

2、🌳数组存树

规律：

left = 2i

right = 2i+1

3、🌳BST

规则：

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左边小
右边大

4、🌳BST查找

像：

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猜数字游戏

5、🌳BST中序遍历

结果一定：

复制代码

升序

⚔️课后任务

🌟任务1

判断下面是不是完全二叉树。

cpp 复制代码

讲讲为什么？

🌟任务2

cpp 复制代码

          8
        /   \
       3     10
      / \      \
     1   6      14

写出寻找 1 的BST查找路径。

🌟任务3

自己设计一棵BST，

让其他同学来做中序遍历。

🌟下节课预告

下一课：

⚔️《哈夫曼密码森林》⚔️

我们将学习：

🌟 哈夫曼树

🌟 贪心思想

🌟 文件压缩

🌟 神奇编码魔法！