1.树
1.1树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
● 根节点是一个特殊的节点，没有前驱节点。
● 由于除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树，因此，树是递归定义的 。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2有关树的重要概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数
叶节点或终端节点：度为0的节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层
树的高度或深度：树中节点的最大层次
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点
1.3树的表示
有一种经典的表示方法：左孩子右兄弟表示法
节点仅保存两个指针：
● leftchild：永远指向当前节点最左侧的第一个子节点
● rightBrother：指向自己右侧紧邻的同辈兄弟节点
如下图：
遍历子节点时，先通过leftchild找到长子，再沿着rightbrother向后逐个遍历所有兄弟，就可以完整访问所有后代。
2.二叉树概念及结构
2.1概念
二叉树是树的子集，特点为：
● 每个节点最多只能有2个子节点。
● 子节点严格区分左右，次序不能颠倒，是有序树 。
任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2特殊二叉树：
2.2.1 满二叉树
每一个层的节点数都是满的。
假设总共有h层，那么就能存2^h-1个节点
那么假设这棵树是N个节点，层数h就为log₂(N+1)，推导如下图：
2.2.2 完全二叉树
前N-1层都是满的，最后一层的节点必须从左向右连续分布，不能留空位。
2.3二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种是链式结构，一种是顺序结构。
今天我们重点讲解顺序结构存储：
● 物理上是一段连续数组，逻辑上还原二叉树结构
● 当下标从0开始编号时，父子节点下标存在的数学关系如下图：
注：若假设孩子在数组中的下标为j，用整数除法逆推后，父节点下标统一用(j-1)/2来算即可
一般数组只适合表示完全二叉树，用来表示非完全二叉树会造成内存空间的浪费，如下图：
3.堆
3.1 堆的概念与结构
定义：堆在逻辑结构上是一种特殊的完全二叉树，可分为：
● 大堆：任何一个父节点的值都**>=**子节点的值。根节点为整棵树的最大值
● 小堆：任何一个父节点的值都**<=**子节点的值。根节点为整棵树的最小值。
注意：堆并不等同于有序序列，因为同一层"兄弟节点"之间并不存在确定的大小约束。
3.2 堆的实现
首先我们需要创建三个文件：Heap.h，Heap.c，Test.c
3.2.1 堆的初始化与销毁
3.2.2 堆的插入（HPPush）与向上调整算法（AdjustUp）
当我们向堆末尾插入数据时，可能会破坏原有的堆特性。因此需要通过向上调整算法重新恢复平衡。
以小堆为例，如下图：
第一步：将新元素插入到堆的末尾（即最后一个叶子节点）
第二步：插入之后如果堆的性质遭到破坏，就将新插入的节点向上调整至正确位置。
完成向上调整函数：
向上调整函数的核心逻辑：
传递的是新插入元素在数组中的下标，即"孩子"的位置。
通过公式计算出其父节点的位置，然后比较父节点与子节点的值。如果父节点的值大于子节点的值（以小堆为例），则违反了堆的性质。此时，交换父子节点的值，并将原来的子节点坐标移动到父节点处，成为新的子节点坐标，然后继续找到新的子节点对应的父节点。
这一过程不断重复，直到满足堆的性质（父节点 <=子节点）或到达堆顶为止。
关键点：
● 下标公式：parent=(child-1)/2，无论是左孩子还是右孩子，该公式永远成立。
● 比较交换：若子节点小于父节点（以小堆为例），则交换位置，并更新下标继续向上比较
● 终止条件：当子节点到达根部或已经满足父子关系时停止
易错点：循环条件不能设为parent>=0
因为在C语言中，当child偏移到0号位置时，parent=(0-1)/2的结果仍然是0，如果条件设为parent>=0，就会导致死循环，所以必须以child>0作为判定标准。
下面的swap函数供参考：
来解决一个小问题：
如果给出一个随机的数组，如何让它成为一个小堆呢？
只需要调用我们写的HPpush函数即可。
如下图，在Test.c文件中：
最后我们进行调试得到的结果如下：
3.2.3 堆顶删除（HPPop）与向下调整（AdjustDown）
注意：不能直接挪动数组元素来删除堆顶，这样做会打乱原来的父子关系。
正确操作如下：
第一步：将堆顶元素与最后一个元素进行交换
第二步：删除最后一个元素
完成删除操作前首先要确保堆不为空，且堆的指针非空。
第三步：将堆顶元素向下调整到满足堆特性为止
向下调整算法有一个前提：左右子树都必须是一个堆，才能调整。
向下调整算法的核心逻辑：
传递的是根位置的下标，即"父亲"的位置。
通过公式计算出孩子坐标，然后找到左右孩子中更小的一个，如果父节点的值大于子节点的值（以小堆为例），就交换父子节点的值，并将原来的父节点的坐标移动到子节点处，成为新的父节点，然后继续找到新的父节点对应的子节点。
关键点：
● 使用了假设法，先假设左孩子更小，再判断是否应改为右孩子，这样能有效减少逻辑分支。
● if(child+1<n&&...)这一步很关键，必须要确保右孩子存在才能进行比较，防止越界。
● child>=n说明当前节点已经没有子节点了，无需向下调整。
3.2.4 判空与返回堆顶的数据
不过多赘述，代码如下：
3.3堆的应用
3.3.1 堆排序
分为两步：
1.建堆
这是最容易产生惯性思维错误的地方：
• 如果排升序建小堆： 取走最小数后，剩余元素的关系全乱了，需要重新建堆，代价极大。
• 如果排升序建大堆： 堆顶是最大的。将它与末尾交换，最大值就排好了。再对剩下的元素 进行向下调整，只需 O(log N) 就能选出次大值。
结论：
● 排升序：建大堆
● 排降序：建小堆
2. 利用堆删除思想来进行排序（以降序为例）
如下图，堆排序实际上就是利用堆删除思想来完成的：
（1） 初始建小堆： 首先通过 AdjustDown 或 AdjustUp 将原始数组构建成一个小堆。
（2） 选值与交换： 将堆顶（最小值）与 a[end] 交换。此时 end 指向数组的最后一个有效位置。
（3） 恢复堆性： 对新的堆顶元素执行向下调整，范围缩小到 [0, end-1]，确保堆顶产生新的最小值。
（4） 循环收尾： 递减 end，重复上述步骤，直到所有元素处理完毕。
*建堆时间复杂度的完整推导
1.二叉树的高度（基础）
• 满二叉树：每一层节点都填满，总节点数满足 N=2^h-1，因此树高 h=log₂(N+1)
• 完全二叉树：在最少节点的情况下，树高 h=log₂N+1
具体分析过程如下：
根据上图分析可得：无论是满二叉树还是完全二叉树，堆向上调整或者向下调整都是logN次（大O渐进表示法），但是二者的时间复杂度是不一样的，这是每一个初学者都易犯的错误。
2.向下调整建堆的时间复杂度：
从根节点逐层向下调整，利用错位相减法对求和公式化简，最终得到建堆总时间T(N)=N-log₂(N+1)，时间复杂度为O(N)。
3.向上调整建堆的时间复杂度：
从叶子节点逐层向上比较调整，错位相减化简后，最终整体的时间复杂度为O(NlogN)。
总结：根据上述分析推导可知，向下调整建堆效率远优于向上调整建堆，所以我们在建堆时，应该优先选择向下调整算法。
因此优化过后的堆排序代码如下：
i=(n-1-1)/2：表示最后一个非叶子节点的位置
i--：自下而上先修好下层子堆，再调整上层父节点
这就是经典的弗洛伊德建堆法（Floyd Build Heap），时间复杂度O(N)。
3.3.2 TOP-K问题
TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
思路一：全局建大堆
优点：时间复杂度为O(N)，效率较高
致命缺陷：内存爆炸
假如这里的N达到十亿量级，需要的内存大概就在4G左右，大多数场景下，机器可用内存远不足以一次性加载全部数据。
思路二：固定容量建小堆
核心优势：这个方法全程内存仅占用4*K个字节，大大减少了空间的消耗