关键路径（Java）

一、四个核心时间（必须背）

符号	全称	含义	对象
etv	事件最早发生时间	事件最早什么时候能发生	顶点
ltv	事件最晚发生时间	事件最晚什么时候必须发生	顶点
ete	活动最早开始时间	活动最早什么时候能开始	边
lte	活动最晚开始时间	活动最晚什么时候必须开始	边

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二、计算公式

1. etv（正向，取最大）

etv[v] = max(etv[u] + w)

一个事件必须等所有前置活动都完成才能发生 → 取最大值

2. ltv（反向，取最小）

ltv[u] = min(ltv[v] - w)

一个事件不能拖累后续事件 → 取最小值

3. ete（活动最早开始）

ete = etv[活动起点]

4. lte（活动最晚开始）

lte = ltv[活动终点] - 活动耗时

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三、判断关键活动

ete == lte  →  该活动是关键活动

所有关键活动组成的路径就是 关键路径，决定了整个项目的最短工期。

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四、计算步骤（四步法）

1. 拓扑排序，得到拓扑序列
2. 正向遍历拓扑序，计算每个顶点的 etv
3. 反向遍历拓扑序，计算每个顶点的 ltv
4. 遍历每条边，计算 ete 和 lte，输出 ete == lte 的边

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五、图解记忆

      活动（边）
   u -----w----> v

   etv[u] 已知          etv[v] = max(etv[u] + w)
   ltv[u] = min(ltv[v] - w)   ltv[v] 已知

   ete = etv[u]
   lte = ltv[v] - w

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六、代码骨架（Java）

// 1. 正向：计算 etv
for (int u : topo) {
    for (Edge e : graph[u]) {
        etv[e.to] = Math.max(etv[e.to], etv[u] + e.w);
    }
}

// 2. 反向：计算 ltv
Arrays.fill(ltv, etv[n-1]);
for (int i = topo.size() - 1; i >= 0; i--) {
    int u = topo.get(i);
    for (Edge e : graph[u]) {
        ltv[u] = Math.min(ltv[u], ltv[e.to] - e.w);
    }
}

// 3. 输出关键活动
for (int u = 0; u < n; u++) {
    for (Edge e : graph[u]) {
        int ete = etv[u];
        int lte = ltv[e.to] - e.w;
        if (ete == lte) {
            System.out.println(u + " -> " + e.to);
        }
    }
}

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七、一句话总结

etv 正向取最大，ltv 反向取最小
ete = etv[起点]，lte = ltv[终点] - w
ete == lte 的活动，就是关键路径

八、课