题目描述
给你一个整数数组 nums，请你找出数组中乘积最大的非空连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。
测试用例的答案是一个 32 位整数。注意，一个只包含一个元素的数组的乘积就是这个元素的值。
示例：
- 输入：
nums = [2,3,-2,4]→ 输出：6（子数组[2,3]有最大乘积 6） - 输入：
nums = [-2,0,-1]→ 输出：0（结果不能为 2，因为[-2,-1]不是子数组）
解题思路总览
| 方法 | 思路 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|---|
| 动态规划 | 同时维护最大乘积和最小乘积，因为负数会使最小变最大 | O(n) | O(1) |
| 分治 | 递归处理每个区间，考虑奇数个负数和偶数个负数的情况 | O(n log n) | O(log n) |
| 暴力枚举 | 枚举所有子数组计算乘积 | O(n^2) | O(1) |
本题采用动态规划方法。
完整代码
cpp
class Solution {
public:
int maxProduct(vector<int>& nums) {
int ans = INT_MIN, imax = 1, imin = 1;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] < 0) {
int temp = imax;
imax = imin;
imin = temp;
}
imax = max(imax * nums[i], nums[i]);
imin = min(imin * nums[i], nums[i]);
ans = max(ans, imax);
}
return ans;
}
};算法流程图
输入: nums = [2, 3, -2, 4]
初始化:
ans = INT_MIN = -∞
imax = 1
imin = 1
i = 0, nums[0] = 2:
2 < 0? 否，不需要交换
imax = max(1*2, 2) = max(2, 2) = 2
imin = min(1*2, 2) = min(2, 2) = 2
ans = max(-∞, 2) = 2
i = 1, nums[1] = 3:
3 < 0? 否，不需要交换
imax = max(2*3, 3) = max(6, 3) = 6
imin = min(2*3, 3) = min(6, 3) = 3
ans = max(2, 6) = 6
i = 2, nums[2] = -2:
-2 < 0? 是，交换 imax 和 imin
temp = imax = 6
imax = imin = 3
imin = temp = 6
imax = max(3*(-2), -2) = max(-6, -2) = -2
imin = min(6*(-2), -2) = min(-12, -2) = -12
ans = max(6, -2) = 6
i = 3, nums[3] = 4:
4 < 0? 否，不需要交换
imax = max(-2*4, 4) = max(-8, 4) = 4
imin = min(-12*4, 4) = min(-48, 4) = -48
ans = max(6, 4) = 6
最终 ans = 6
输出: 6逐行解析
cpp
int ans = INT_MIN, imax = 1, imin = 1;含义：
ans记录全局最大乘积，初始化为最小整数imax记录以当前位置结尾的连续子数组的最大乘积imin记录以当前位置结尾的连续子数组的最小乘积- 初始化为 1 是因为乘积的起始值为 1（单位元）
cpp
for (int i = 0; i < nums.size(); i++)含义： 遍历数组，依次计算以每个位置结尾的子数组的最大乘积。
cpp
if (nums[i] < 0) {
int temp = imax;
imax = imin;
imin = temp;
}含义： 如果当前元素是负数，会将最大乘积和最小乘积互换。因为负数乘以最大数会变成最小数，乘以最小数会变成最大数。
cpp
imax = max(imax * nums[i], nums[i]);含义： 更新 imax。取「之前累积的最大乘积乘以当前元素」和「重新从当前元素开始」中的较大值。
cpp
imin = min(imin * nums[i], nums[i]);含义： 更新 imin。取「之前累积的最小乘积乘以当前元素」和「重新从当前元素开始」中的较小值。
cpp
ans = max(ans, imax);含义： 更新全局最大乘积。
cpp
return ans;含义： 返回所有子数组中的最大乘积。
核心思想：为什么需要同时维护最大和最小乘积？
因为数组中可能存在负数。
以 [2, 3, -2, 4] 为例：
- 当遍历到
-2时，之前累积的最大乘积是6 - 如果继续乘以负数
-2，6 × (-2) = -12，变成很小的数 - 但如果我们之前累积的是最小乘积呢？
2 × 3 × (-2) = -12，再乘以-2就变成24了！
所以，当遇到负数时，最大和最小会互换角色。必须同时记录最大和最小，才能应对各种情况。
复杂度分析
| 复杂度 | 值 | 说明 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(n) | 只需遍历一次数组 |
| 空间复杂度 | O(1) | 只使用了常数个变量 |
面试追问 FAQ
| 问题 | 答案 |
|---|---|
为什么初始化 imax = imin = 1？ |
1 是乘法的单位元，方便统一处理「从当前位置重新开始」的情况 |
为什么不比较 imax * nums[i] 和 1 * nums[i]？ |
因为 nums[i] 本身就是 imax = 1 时 imax * nums[i] 的一种情况 |
| 遇到 0 会怎样？ | 0 会让乘积变成 0，同时是子数组的分界线。max(0, imax*0) = 0，会重新从下一个位置开始计算 |
| 和最大子数组和（53题）有什么区别？ | 最大子数组和问题可以用贪心，但乘积问题因为负数的存在，必须用动态规划同时维护最大和最小 |
| 如何输出具体的子数组？ | 额外记录每个位置的 imax 是来自之前的累积还是重新开始，最后回溯得到起止位置 |
| 进阶：如何求乘积最小子数组？ | 将 ans = max(ans, imax) 改为 ans = min(ans, imin) 即可 |
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| 题号 | 题目 | 难度 | 核心思路 |
|---|---|---|---|
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| 918 | 环形子数组的最大和 | 中等 | 动态规划 + 环形数组 |
| 1567 | 乘积为正的最长子数组长度 | 中等 | 动态规划记录正/负乘积长度 |
总结
| 要点 | 内容 |
|---|---|
| 核心思想 | 同时维护最大乘积和最小乘积，因为负数会使两者互换 |
| 状态定义 | imax[i] = 以第 i 个元素结尾的连续子数组的最大乘积 |
| 状态定义 | imin[i] = 以第 i 个元素结尾的连续子数组的最小乘积 |
| 状态转移 | 遇到负数时交换 imax 和 imin，然后 imax = max(imax*nums[i], nums[i]) |
| 初始化 | imax = imin = 1，ans = INT_MIN |
| 结果 | 返回遍历过程中的最大 ans |