【C++进阶】二叉搜索树

一、概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树
  

二、性能分析

• 最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为：log2N
• 最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为：N
• 综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
• 那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续课程需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。
  二分查找也可以实现O(log2N）级别的查找效率，但是也有缺陷
• 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序
• 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据
  这里与二分查找比较也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

三、二叉搜索树的实现

3.1 插入

• 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
• 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左，找到空位置，插入新结点。
• 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。(要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走)

3.2 查找

• 从根开始比较，查找x，×比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。
• 最多查找度次，到到空，还没找到，这个值不存在。
• 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回
• 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x

3.3 删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
分四种情况：

• 要删除结点N左右孩子均为空
• 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
• 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
• 要删除的结点N左右孩子结点均不为空
  解决方案
  前三种情况可以统一起来，当左右孩子都不为空，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。

3.4 代码实现

template<class K>
struct BSTNode
{
	K _Key;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;
	BSTNode(const K& Key)
		:_Key(Key)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
	{

	}
};

template<class K>
class BSTree
{
public:
	using Node = BSTNode<K>;

	bool Del(const K& Key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_Key>Key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_Key<Key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root=cur->_right;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_right;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}
					}
					delete cur;
				}
				else if(cur->_right == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root=cur->_left;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_left;
						}
					}
					delete cur;
				}
				else
				{
					Node* replaceParent = cur;
					Node* replace = cur->_right;
					while (replace->_left)
					{
						replaceParent = replace;
						replace = replace->_left;
					}
					cur->_Key = replace->_Key;
					if (replaceParent->_right == replace)
					{
						replaceParent->_right = replace->_right;
					}
					else
					{
						replaceParent->_left = replace->_right;
					}
					delete replace;
				}
				return true;
			}

		}
		return false;
	}

	bool Find(const K& Key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_Key > Key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if(cur->_Key<Key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}
		return false;
	}

	bool Insert(const K& Key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(Key);
			return true;
		}
		else
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_Key > Key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else if(cur->_Key<Key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}
			cur = new Node(Key);
			if (parent->_Key > Key)
			{
				 parent->_left=cur;
			}
			else
			{
				parent->_right=cur;
			}
			return true;
		}
	}
	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}
private:
	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_Key << " ";
		_Inorder(root->_right);
	}
	Node* _root=nullptr;
};

四、使用场景

4.1 Key

• 场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入
• 检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

4.2 key/value

• 简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文

int main()
{
	Key_value::BSTree<string, string> T;
	T.Insert("hellow", "你好");
	T.Insert("red", "红");
	T.Insert("dark", "黑");
	T.Insert("white", "白");
	string str;
	while (cin>>str)
	{
		auto tmp = T.Find(str);
		if (tmp == nullptr)
		{
			cout << "不存在" << endl;
		}
		else
		{
			cout << "->" << tmp->_value << endl;
		}
	}
	return 0;
}

• 商场无值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
• 统计一篇章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

int main()
{
	string arr[] = { "苹果","香蕉","苹果","西瓜","草莓","梨子","西瓜","黄瓜" };
	Key_value::BSTree<string,int> T;
	for (const auto& e : arr)
	{
		auto tmp = T.Find(e);
		if (tmp == nullptr)
		{
			T.Insert(e,1);
		}
		else
		{
			tmp->_value++;
		}
	}
	T.Inorder();
	Key_value::BSTree<string, int> copy = T;
	return 0;
}

4.3 Key/value完整代码

namespace Key_value
{
	template<class K,class V>
	struct BSTNode
	{
		K _Key;
		V _value;
		BSTNode<K,V>* _left;
		BSTNode<K,V>* _right;
		BSTNode(const K& Key,const V& value)
			:_Key(Key)
			,_value(value)
			, _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
		{

		}
	};

	template<class K,class V>
	class BSTree
	{
	public:
		using Node = BSTNode<K,V>;

		bool Del(const K& Key)
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_Key > Key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_Key < Key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}
						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}
						delete cur;
					}
					else
					{
						Node* replaceParent = cur;
						Node* replace = cur->_right;
						while (replace->_left)
						{
							replaceParent = replace;
							replace = replace->_left;
						}
						cur->_Key = replace->_Key;
						if (replaceParent->_right == replace)
						{
							replaceParent->_right = replace->_right;
						}
						else
						{
							replaceParent->_left = replace->_right;
						}
						delete replace;
					}
					return true;
				}

			}
			return false;
		}

		Node* Find(const K& Key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_Key > Key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_Key < Key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return cur;
				}
			}
			return nullptr;
		}

		bool Insert(const K& Key,const V& value)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(Key,value);
				return true;
			}
			else
			{
				Node* parent = nullptr;
				Node* cur = _root;
				while (cur)
				{
					if (cur->_Key > Key)
					{
						parent = cur;
						cur = cur->_left;
					}
					else if (cur->_Key < Key)
					{
						parent = cur;
						cur = cur->_right;
					}
					else
					{
						return false;
					}
				}
				cur = new Node(Key,value);
				if (parent->_Key > Key)
				{
					parent->_left = cur;
				}
				else
				{
					parent->_right = cur;
				}
				return true;
			}
		}
		void Inorder()
		{
			_Inorder(_root);
			cout << endl;
		}
		BSTree() = default;
		BSTree(const BSTree& t)
		{
			_root = Copy(t._root);
			int a = 0;
		}
		~BSTree()
		{
			Destroy(_root);
			_root = nullptr;
		}

	private:
		Node* Copy(Node*root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return nullptr;
			}
			Node* cur = new Node(root->_Key, root->_value);
			cur->_left=Copy(root->_left);
			cur->_right = Copy(root ->_right);
			return cur;

		}
		void Destroy(Node*root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
			Destroy(root->_left);
			Destroy(root->_right);
			delete root;
		}
		void _Inorder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
			_Inorder(root->_left);
			cout << root->_Key << " :"<<root->_value<<endl;
			_Inorder(root->_right);
		}
		Node* _root = nullptr;
	};
}