二分法——方程求解

题目描述

求下面方程的根：f(x)=x3−5x2+10x−80=0

精确到小数点后 9 位。

代码实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 定义函数 f(x)
double f(double x) {
    return x*x*x - 5*x*x + 10*x - 80;
}

int main() {
    double left, right, mid;
    
    // 寻找一个包含根的区间
    // 观察：f(0) = -80 < 0, f(10) = 1000 - 500 + 100 - 80 = 520 > 0
    left = 0;
    right = 10;
    
    // 确保区间两端函数值异号
    if (f(left) * f(right) >= 0) {
        printf("初始区间不包含根\n");
        return 1;
    }
    
    // 二分法迭代，直到精度达到 1e-10（比要求高一点保证 1e-9 正确）
    while ((right - left) > 1e-10) {
        mid = (left + right) / 2;
        if (f(mid) == 0) {
            break;
        } else if (f(mid) * f(left) < 0) {
            right = mid;
        } else {
            left = mid;
        }
    }
    
    // 输出结果，保留 9 位小数
    printf("%.9lf\n", mid);
    
    return 0;
}

上述二分法求连续函数在区间a,b内的根：

介值定理的应用：

如果函数 f(x) 在区间 a,b 上连续，且 f(a)⋅f(b)<0（即两端点函数值异号），则区间内至少存在一个根。

如果f(mid) * f(left) < 0说明mid和left之间有一个根，这时就将right=mid，再求一个新的更小区间的mid再进行比较。如果f(mid) * f(left) > 0说明mid和left之间没有根，那根就存在于mid和right之间，所以将left=mid再进行右半边的小区间划分，再进行根的求解。