一、RC低通滤波器的时域分析
- 以下图，就是一个最简单的RC低通滤波器；
- VDC1：输入；R1：电阻；C1：电容；
1、首先计算电容C1的电流：
- 电容C1上的电流Ic，就等于电容上的电荷q的变化率；
- 电荷q，又等于电容容值C乘以电容两端电压Vc；
2、根据KVL，写出该电路的微分方程：
- 电阻电压+电容电压=Vin
3、求解上式的一阶微分方程：
- 求出电容电压Vc的解；
4、 τ = R C τ=RC τ=RC（时间常数），为什么时间常数RC的单位为时间秒？
- 假设：R=1kΩ、C=4.7μF，那RC=4.7ms；（为什么呢）
- 其实也可以从微分方程那看出，只有RC单位是时间的时候，才能与dt约分约掉，其他部分就都是单位V了；
二、RC低通滤波器时域下的阶跃响应
1、MathCAD绘图：
- 也就是当代入 t = τ t=τ t=τ的时候，电压Vc为输入的0.632倍；
- 这就是符合，时间常数的概念；
2、时间常数代表什么呢？
- 输出电压到输入电压的0.632倍时，所需要的时间，就是时间常数 τ τ τ；
三、RC低通滤波器的频域分析
- j j j：虚轴；
- f c fc fc：截止频率；
- w w w：1/时间常数； w = 2 π f c w=2πfc w=2πfc；
- 由计算可以看出，在截止频率 f c fc fc的时候：其模值为0.707，相角为-45°；
- 从Bode图的横坐标可以看出，是用的 f / f c f/fc f/fc，这样就可以看出是几倍频；
- Bode图从截止频率 f / f c f/fc f/fc之后，每10倍频，其衰减都为20dB；（符合一阶低通滤波器；如果是二阶，就是-40dB）
- 低频：Bode图的幅值为0，即增益为1；相位为0，即没有滞后；
四、截止频率的定义
- 首先，Vout与Vin的比，就是通过电容和电阻的分压来计算；
- 再把 w w w代入，就可以求出 V o u t / V i n = 1 / ( 1 + j ) Vout/Vin=1/(1+j) Vout/Vin=1/(1+j)；
- 再求出此时 ∣ V o u t / V i n ∣ |Vout/Vin| ∣Vout/Vin∣的模值=0.707；
- 最后，再用20log来求此时的增益=-3dB；
- 总结：增益为-3dB（0.707）时候的频率定义为截止频率；
五、其他变形
1、第一种： j w jw jw用 s s s替代，转换到拉氏变换； R C RC RC用 w w w替代；
2、第二种： R C RC RC用 T p Tp Tp替代，就是用时间常数代入；（PSIM就是用的这个）
六、z变换（离散化处理）
- 最常用的两种z变换方法：
- 后向差分法；（简单，也会常用一点）
- 双线性变换；
- T：代表1/控制或开关频率；即 T = 1 / f s T=1/fs T=1/fs
七、后向差分法展开（z变换）
- 其实，就是前面代入后向差分的计算之后，再进行展开；
- z-1就是 Y ( z − 1 ) Y(z-1) Y(z−1)，就是输出的上一拍；
- 最后，整理的式子中，当前的输出 Y ( z ) Y(z) Y(z)与当前拍的输入 X ( z ) X(z) X(z)和上一拍的输出 Y ( z − 1 ) Y(z-1) Y(z−1)有关；
- 也可以看到，最后式子 X ( z ) X(z) X(z)和 Y ( z − 1 ) Y(z-1) Y(z−1)的两个系数相加，等于1；
- 从 X ( z ) X(z) X(z)系数，假设RC越大，那分母就会越大，其 X ( z ) X(z) X(z)整个系数就会越小；也就是此时输入 X ( z ) X(z) X(z)在当前输出中的份量就越小；
- 输入份量越小，滤波常数较大，滞后也较大；
八、双线性变换法展开（z变换）
- 最后，整理的式子中，当前的输出 Y ( z ) Y(z) Y(z)，与当前拍的输入 X ( z ) X(z) X(z)和上一拍的输入 X ( z − 1 ) X(z-1) X(z−1)和上一拍的输出 Y ( z − 1 ) Y(z-1) Y(z−1)有关；
- 也可以看到，当前拍的输入 X ( z ) X(z) X(z)和上一拍的输入 X ( z − 1 ) X(z-1) X(z−1)，系数是一样的；
九、标准的一阶系统差分方程
- 列出标准的z变换方程；
- 不同方法，只需代入不同系数即可；
十、产品代码示例+PSIM快速计算滤波器系数
学习来源：B站：uuniaopower