图论基础：邻接矩阵与邻接表详解

一、图的基础概念

1. 什么是图

由顶点（节点）和边组成的数据结构，用来描述多元素之间复杂关系。

顶点：图中的数据节点
边：两个顶点之间的连线

2. 图的分类

无向图：边没有方向，A 连通 B = B 连通 A
有向图：边有方向，单向通行
有权图：边上带有数值（距离、代价、流量）
无权图：边只代表连通关系，无数值

3. 基础术语

度：一个顶点相连边的数量
入度：有向图指向该点的边数
出度：有向图从该点出发的边数
连通图：任意两点之间都有路径可达

二、存储方式一：邻接矩阵

原理

用二维数组存储图关系

g[i][j] = 1：i 到 j 连通
g[i][j] = 0：i 到 j 不连通
有权图直接存入权重数值

1. 无向图邻接矩阵

复制代码

const int N = 105;
int g[N][N];

// 初始化全部不连通
void init()
{
    for(int i = 0; i < N; i++)
        for(int j = 0; j < N; j++)
            g[i][j] = 0;
}

无向图特点：矩阵沿对角线对称

2. 有向图邻接矩阵

只单向赋值，矩阵不对称。

邻接矩阵优缺点

优点：判断两点是否连通O(1)，写法简单
缺点：空间复杂度高 O (n²)，顶点数量多时极度浪费内存
适用：顶点数量少、稠密图

三、存储方式二：邻接表（刷题最常用）

原理

每个顶点开辟一条链表 /vector，存储它所有能直达的邻接点。C++ 刷题统一用 vector<vector<int>> 实现。

1. 无向图邻接表构建

复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 105;
vector<int> adj[N];

// 添加无向边
void addEdge(int u, int v)
{
    adj[u].push_back(v);
    adj[v].push_back(u);
}

2. 有向图邻接表构建

复制代码

// 添加有向边 u -> v
void addDirEdge(int u, int v)
{
    adj[u].push_back(v);
}

遍历邻接表

复制代码

// 遍历u所有邻接点
for(int x : adj[u])
{
    cout << x << " ";
}

邻接表优缺点

优点：空间极小，只存真实存在的边，稀疏图首选
缺点：判断两点连通需要遍历链表，速度慢一点
适用：顶点多、边少的稀疏图（算法题 90% 都是）

四、完整建图演示

复制代码

int main()
{
    // 构建无向图
    addEdge(1,2);
    addEdge(1,3);
    addEdge(2,4);
    addEdge(3,4);

    // 输出1号节点所有邻居
    cout << "顶点1连通节点：";
    for(int x : adj[1]) cout << x << " ";
    return 0;
}

五、两种存储方式选型口诀

顶点少、边密集 → 邻接矩阵
顶点多、边稀疏、算法刷题 → 邻接表 (vector)
判断两点快速连通用矩阵，遍历路径全用邻接表

六、图论学习路线预告

图存储（今日）
DFS 深度优先遍历
BFS 广度优先遍历
最短路径：Dijkstra、Floyd
最小生成树、拓扑排序

七、新手易错点

无向图建边只写单向，忘记双向添加
邻接矩阵数组开太小越界
混淆有向图与无向图建图逻辑
分不清稠密图与稀疏图该用哪种存储

八、今日总结

图分为有向 / 无向、有权 / 无权四大类
邻接矩阵：二维数组，简单耗空间
邻接表：vector 链表，刷题主流首选
建图是所有图论算法的前置基础