五、种群模型------微分方程稳定性
1、种群的相互竞争
一个自然环境中有两个种群生存，它们之间可能存在相互竞争、相互依存、弱肉强食等关系。这里先讨论两个种群为争夺同一食物来源和生存空间而相互 竞争的情形。常见结局是竞争力弱的种群灭绝，竞争力强的种群达到环境允许的最大容量。
设甲、乙两个种群的数量分别为 x1(t)x_1(t)x1(t)、x2(t)x_2(t)x2(t)。若它们独自生存，数量变化均服从 Logistic 规律：
dx1dt=x˙1(t)=r1x1(1−x1N1) \frac{dx_1}{dt}=\dot{x}_1(t)=r_1x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}\right) dtdx1=x˙1(t)=r1x1(1−N1x1)
dx2dt=x˙2(t)=r2x2(1−x2N2) \frac{dx_2}{dt}=\dot{x}_2(t)=r_2x_2\left(1-\frac{x_2}{N_2}\right) dtdx2=x˙2(t)=r2x2(1−N2x2)
其中，r1,r2r_1,r_2r1,r2 是两个种群的自然增长率，N1,N2N_1,N_2N1,N2 是环境对两个种群的最大容纳量。
两种群共同生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比，甲对乙也有类似作用。于是建立相互竞争模型：
x˙1(t)=r1x1(1−x1N1−σ1x2N2) \dot{x}_1(t)=r_1x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}-\sigma_1\frac{x_2}{N_2}\right) x˙1(t)=r1x1(1−N1x1−σ1N2x2)
x˙2(t)=r2x2(1−σ2x1N1−x2N2) \dot{x}_2(t)=r_2x_2\left(1-\sigma_2\frac{x_1}{N_1}-\frac{x_2}{N_2}\right) x˙2(t)=r2x2(1−σ2N1x1−N2x2)
其中 σ1,σ2\sigma_1,\sigma_2σ1,σ2 是关键参数，反映一个种群对另一个种群的竞争能力。σ1σ1σ1 的意思是：乙对甲的竞争阻滞强度，是乙自身相对数量 x2N2\frac{x_2}{N_2}N2x2 的多少倍。类似地，σ2\sigma_2σ2 反映甲对乙增长的阻滞作用强弱。
2、微分方程稳定性模型
研究这类问题时，对象是动态变化过程，建模目的通常不是求出 x1(t),x2(t)x_1(t),x_2(t)x1(t),x2(t) 的精确解析表达式，而是研究时间充分长以后系统会趋向什么状态，即研究平衡点及其稳定性。
对于自治微分方程
x˙=F(x) \dot{x}=F(x) x˙=F(x)
若 F(x0)=0F(x_0)=0F(x0)=0，则 x0x_0x0 称为该方程的平衡点。
如果从 x0x_0x0 某邻域内任意初值出发，解都满足
limt→∞x(t)=x0 \lim_{t\to\infty}x(t)=x_0 t→∞limx(t)=x0
则称 x0x_0x0 是稳定平衡点；否则称为不稳定平衡点。
一阶方程的稳定性判断。
若方程为线性方程，即 F(x)=ax+bF(x)=ax+bF(x)=ax+b，则：
当 a<0a<0a<0 时，平衡点稳定；当 a>0a>0a>0 时，平衡点不稳定。
若方程为非线性方程，可以在平衡点 x0x_0x0 附近作线性近似：
x˙=F′(x0)(x−x0) \dot{x}=F'(x_0)(x-x_0) x˙=F′(x0)(x−x0)
因此有判断准则：
F′(x0)<0⇒x0 稳定 F'(x_0)<0 \Rightarrow x_0\text{ 稳定} F′(x0)<0⇒x0 稳定
F′(x0)>0⇒x0 不稳定 F'(x_0)>0 \Rightarrow x_0\text{ 不稳定} F′(x0)>0⇒x0 不稳定
二阶方程的稳定性判断。
二阶微分方程
x¨(t)=f(t,x,x˙) \ddot{x}(t)=f(t,x,\dot{x}) x¨(t)=f(t,x,x˙)
通常可以通过令 y=x˙y=\dot{x}y=x˙ 转化为一阶方程组：
{x˙(t)=y,y˙(t)=f(t,x,y). \begin{cases} \dot{x}(t)=y,\\ \dot{y}(t)=f(t,x,y). \end{cases} {x˙(t)=y,y˙(t)=f(t,x,y).
因此，二阶微分方程的稳定性问题往往可以归结为二维一阶方程组的稳定性问题。
对于二维自治方程组
{x˙1(t)=f(x1,x2),x˙2(t)=g(x1,x2), \begin{cases} \dot{x}_1(t)=f(x_1,x_2),\\ \dot{x}_2(t)=g(x_1,x_2), \end{cases} {x˙1(t)=f(x1,x2),x˙2(t)=g(x1,x2),
平衡点 P0(x10,x20)P_0(x_1^0,x_2^0)P0(x10,x20) 由方程
{f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0 \begin{cases} f(x_1,x_2)=0,\\ g(x_1,x_2)=0 \end{cases} {f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0
确定。
在平衡点 P0P_0P0 附近线性化，得到近似线性方程组：
{x˙1(t)=fx1(P0)(x1−x10)+fx2(P0)(x2−x20),x˙2(t)=gx1(P0)(x1−x10)+gx2(P0)(x2−x20). \begin{cases} \dot{x}1(t)=f{x_1}(P_0)(x_1-x_1^0)+f_{x_2}(P_0)(x_2-x_2^0),\\ \dot{x}2(t)=g{x_1}(P_0)(x_1-x_1^0)+g_{x_2}(P_0)(x_2-x_2^0). \end{cases} {x˙1(t)=fx1(P0)(x1−x10)+fx2(P0)(x2−x20),x˙2(t)=gx1(P0)(x1−x10)+gx2(P0)(x2−x20).
其系数矩阵为 Jacobi 矩阵（求偏导）：
A=[fx1fx2gx1gx2]P0 A= \begin{bmatrix} f_{x_1} & f_{x_2}\\ g_{x_1} & g_{x_2} \end{bmatrix}_{P_0} A=[fx1gx1fx2gx2]P0
矩阵的特征方程可写为：
λ2+pλ+q=0 \lambda^2+p\lambda+q=0 λ2+pλ+q=0
其中
p=−(fx1+gx2)∣P0,q=detA p=-(f_{x_1}+g_{x_2})\big|_{P_0},\qquad q=\det A p=−(fx1+gx2) P0,q=detA
ppp 也是矩阵的迹的相反数，矩阵的迹就是主对角线的元素之和。
于是有稳定性判断准则：
p>0, q>0⇒P0 稳定 p>0,\ q>0 \Rightarrow P_0\text{ 稳定} p>0, q>0⇒P0 稳定
p<0 或 q<0⇒P0 不稳定 p<0\text{ 或 }q<0 \Rightarrow P_0\text{ 不稳定} p<0 或 q<0⇒P0 不稳定
3、种群竞争模型的平衡点及稳定性
对竞争模型
{x˙1(t)=r1x1(1−x1N1−σ1x2N2),x˙2(t)=r2x2(1−σ2x1N1−x2N2) \begin{cases} \dot{x}_1(t)=r_1x_1\left(1-\dfrac{x_1}{N_1}-\sigma_1\dfrac{x_2}{N_2}\right),\\ \dot{x}_2(t)=r_2x_2\left(1-\sigma_2\dfrac{x_1}{N_1}-\dfrac{x_2}{N_2}\right) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x˙1(t)=r1x1(1−N1x1−σ1N2x2),x˙2(t)=r2x2(1−σ2N1x1−N2x2)
令右端同时为 000，可以得到四个平衡点：
P1=(N1,0) P_1=(N_1,0) P1=(N1,0)
P2=(0,N2) P_2=(0,N_2) P2=(0,N2)
P3=(N1(1−σ1)1−σ1σ2,N2(1−σ2)1−σ1σ2) P_3= \left( \frac{N_1(1-\sigma_1)}{1-\sigma_1\sigma_2}, \frac{N_2(1-\sigma_2)}{1-\sigma_1\sigma_2} \right) P3=(1−σ1σ2N1(1−σ1),1−σ1σ2N2(1−σ2))
P4=(0,0) P_4=(0,0) P4=(0,0)
其中，P1P_1P1 表示甲种群达到最大容量、乙种群灭绝；P2P_2P2 表示乙种群达到最大容量、甲种群灭绝；P3P_3P3 表示两种群共存；P4P_4P4 表示两种群都灭绝。
P3P_3P3 要作为有实际意义的平衡点，需要两个坐标均为正。由表达式可知，只有当
σ1<1, σ2<1 \sigma_1<1,\ \sigma_2<1 σ1<1, σ2<1
或
σ1>1, σ2>1 \sigma_1>1,\ \sigma_2>1 σ1>1, σ2>1
时，P3P_3P3 才可能有实际意义。
解析一：用直接法判断局部稳定性。
对每个平衡点计算 Jacobi 矩阵，再由 p,qp,qp,q 的符号判断稳定性，可以得到以下结论：
P1=(N1,0)P_1=(N_1,0)P1=(N1,0) 的稳定条件为：
σ2>1 \sigma_2>1 σ2>1
这表示甲对乙的竞争抑制足够强，乙不能在甲达到最大容量后继续增长。
P2=(0,N2)P_2=(0,N_2)P2=(0,N2) 的稳定条件为：
σ1>1 \sigma_1>1 σ1>1
这表示乙对甲的竞争抑制足够强，甲不能在乙达到最大容量后继续增长。
P3P_3P3 的稳定条件为：
σ1<1,σ2<1 \sigma_1<1,\qquad \sigma_2<1 σ1<1,σ2<1
这表示两种群对对方的竞争抑制都不太强，从而可以形成共存平衡。
P4=(0,0)P_4=(0,0)P4=(0,0) 通常是不稳定平衡点，因为只要两个种群中任意一个有少量个体，在自然增长率为正的情况下，都可能离开原点状态。
解析二：用相平面分析全局趋势。
在 x1−x2x_1-x_2x1−x2 平面上，令
φ(x1,x2)=1−x1N1−σ1x2N2 \varphi(x_1,x_2)=1-\frac{x_1}{N_1}-\sigma_1\frac{x_2}{N_2} φ(x1,x2)=1−N1x1−σ1N2x2
ψ(x1,x2)=1−σ2x1N1−x2N2 \psi(x_1,x_2)=1-\sigma_2\frac{x_1}{N_1}-\frac{x_2}{N_2} ψ(x1,x2)=1−σ2N1x1−N2x2
则
x˙1=r1x1φ(x1,x2) \dot{x}_1=r_1x_1\varphi(x_1,x_2) x˙1=r1x1φ(x1,x2)
x˙2=r2x2ψ(x1,x2) \dot{x}_2=r_2x_2\psi(x_1,x_2) x˙2=r2x2ψ(x1,x2)
因此，在第一象限内，x1(t)x_1(t)x1(t) 与 x2(t)x_2(t)x2(t) 的增减由 φ\varphiφ 和 ψ\psiψ 的符号决定。
两条直线
φ(x1,x2)=0 \varphi(x_1,x_2)=0 φ(x1,x2)=0
和
ψ(x1,x2)=0 \psi(x_1,x_2)=0 ψ(x1,x2)=0
把相平面划分为若干区域。在不同区域内，x˙1,x˙2\dot{x}_1,\dot{x}_2x˙1,x˙2 的正负不同，因此相轨线的方向也不同。
情形一：σ2>1,σ1<1\sigma_2>1,\sigma_1<1σ2>1,σ1<1。
此时从第一象限内任意初值出发，相轨线都趋向
P1=(N1,0) P_1=(N_1,0) P1=(N1,0)
因此 P1P_1P1 是稳定平衡点。其实际含义是甲的竞争力强，最终甲达到环境最大容量，乙灭绝。
情形二：σ1>1,σ2<1\sigma_1>1,\sigma_2<1σ1>1,σ2<1。
此时从第一象限内任意初值出发，相轨线都趋向
P2=(0,N2) P_2=(0,N_2) P2=(0,N2)
因此 P2P_2P2 是稳定平衡点。其实际含义是乙的竞争力强，最终乙达到环境最大容量，甲灭绝。
情形三：σ1<1,σ2<1\sigma_1<1,\sigma_2<1σ1<1,σ2<1。
此时两种群对对方的抑制都较弱，相轨线趋向共存平衡点
P3=(N1(1−σ1)1−σ1σ2,N2(1−σ2)1−σ1σ2) P_3= \left( \frac{N_1(1-\sigma_1)}{1-\sigma_1\sigma_2}, \frac{N_2(1-\sigma_2)}{1-\sigma_1\sigma_2} \right) P3=(1−σ1σ2N1(1−σ1),1−σ1σ2N2(1−σ2))
因此 P3P_3P3 是稳定平衡点，表示两种群可以长期共存。
情形四：σ1>1,σ2>1\sigma_1>1,\sigma_2>1σ1>1,σ2>1。
此时 P1P_1P1 和 P2P_2P2 都具有局部稳定性，但并非全局稳定。系统最终趋向 P1P_1P1 还是 P2P_2P2，取决于初始状态。也就是说，两个种群中哪一个最终获胜，可能由初始数量决定。
结论：种群竞争模型中，若一方竞争力明显强于另一方，则弱者灭绝、强者达到最大容量；若双方对对方的抑制都较弱，则可能形成稳定共存。
通常情况下，σ1\sigma_1σ1 与 σ2\sigma_2σ2 之间可能近似存在互反关系，即 σ1≈1/σ2\sigma_1\approx 1/\sigma_2σ1≈1/σ2，因此 σ1<1,σ2<1\sigma_1<1,\sigma_2<1σ1<1,σ2<1 的共存稳定条件不一定容易满足。
4、种群的相互依存
甲乙两个种群的相互依存可以分为三种形式：
- 甲可以独自生存，乙不能独自生存；
- 甲乙均可以独自生存；
- 甲乙均不能独自生存。
相互依存指的是甲乙一起生存时相互提供食物或生存条件，从而促进对方增长。下面主要讨论第一种情形：甲可以独自生存，乙不能独自生存。
模型假设：甲可以独自生存，数量变化服从 Logistic 规律；甲乙一起生存时，乙为甲提供食物或促进甲增长。
若甲独自生存，有
x˙1(t)=r1x1(1−x1N1) \dot{x}_1(t)=r_1x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}\right) x˙1(t)=r1x1(1−N1x1)
当乙存在时，乙对甲有促进作用，因此在甲的增长项中加入正项：
x˙1(t)=r1x1(1−x1N1+σ1x2N2) \dot{x}_1(t)=r_1x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}+\sigma_1\frac{x_2}{N_2}\right) x˙1(t)=r1x1(1−N1x1+σ1N2x2)
模型假设：乙不能独自生存；甲乙一起生存时，甲为乙提供食物或促进乙增长，同时乙仍受到自身数量的阻滞作用。
乙不能独自生存，因此乙的基本增长项可看作负增长；甲为乙提供食物后，乙的增长受到甲数量的促进：
x˙2(t)=r2x2(−1+σ2x1N1−x2N2) \dot{x}_2(t)=r_2x_2\left(-1+\sigma_2\frac{x_1}{N_1}-\frac{x_2}{N_2}\right) x˙2(t)=r2x2(−1+σ2N1x1−N2x2)
于是得到相互依存模型：
{x˙1(t)=r1x1(1−x1N1+σ1x2N2),x˙2(t)=r2x2(−1+σ2x1N1−x2N2). \begin{cases} \dot{x}_1(t)=r_1x_1\left(1-\dfrac{x_1}{N_1}+\sigma_1\dfrac{x_2}{N_2}\right),\\ \dot{x}_2(t)=r_2x_2\left(-1+\sigma_2\dfrac{x_1}{N_1}-\dfrac{x_2}{N_2}\right). \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x˙1(t)=r1x1(1−N1x1+σ1N2x2),x˙2(t)=r2x2(−1+σ2N1x1−N2x2).
其中，σ1\sigma_1σ1 表示乙对甲的促进能力，σ2\sigma_2σ2 表示甲对乙的促进能力。
该模型的平衡点包括：
P1=(N1,0) P_1=(N_1,0) P1=(N1,0)
P2=(N1(1−σ1)1−σ1σ2,N2(σ2−1)1−σ1σ2) P_2= \left( \frac{N_1(1-\sigma_1)}{1-\sigma_1\sigma_2}, \frac{N_2(\sigma_2-1)}{1-\sigma_1\sigma_2} \right) P2=(1−σ1σ2N1(1−σ1),1−σ1σ2N2(σ2−1))
P3=(0,0) P_3=(0,0) P3=(0,0)
其中，P2P_2P2 表示甲乙相互依存而共生的平衡点。
为了使 P2P_2P2 有实际意义，需要两个坐标均为正。由表达式可知，要求：
σ1<1,σ2>1,σ1σ2<1 \sigma_1<1,\qquad \sigma_2>1,\qquad \sigma_1\sigma_2<1 σ1<1,σ2>1,σ1σ2<1
其中，σ2>1\sigma_2>1σ2>1 表示甲必须为乙提供足够的食物或生存条件，否则乙不能维持生存；σ1<1\sigma_1<1σ1<1 以及 σ1σ2<1\sigma_1\sigma_2<1σ1σ2<1 保证系统不会因促进作用过强而失去稳定。
结论：在甲可以独自生存、乙不能独自生存的相互依存模型中，共生平衡点 P2P_2P2 稳定的条件为 σ1<1,σ2>1,σ1σ2<1\sigma_1<1,\sigma_2>1,\sigma_1\sigma_2<1σ1<1,σ2>1,σ1σ2<1。
5、种群的弱肉强食：食饵-捕食者模型
弱肉强食关系中，一个种群作为食饵，另一个种群作为捕食者。例如食用鱼和鲨鱼、美洲兔和山猫、害虫和益虫等，都可以看作食饵-捕食者系统。
设食饵甲的数量为 x(t)x(t)x(t)，捕食者乙的数量为 y(t)y(t)y(t)。
若食饵独立生存，假设其自然增长率为 rrr，则有：
x˙=rx \dot{x}=rx x˙=rx
捕食者会使食饵的增长率下降，下降量与捕食者数量 yyy 成正比，因此食饵方程改为：
x˙(t)=(r−ay)x=rx−axy \dot{x}(t)=(r-ay)x=rx-axy x˙(t)=(r−ay)x=rx−axy
其中，aaa 表示捕食者掠取食饵的能力。
若捕食者独立生存，假设其死亡率为 ddd，则有：
y˙=−dy \dot{y}=-dy y˙=−dy
食饵会使捕食者的死亡率下降，下降量与食饵数量 xxx 成正比，因此捕食者方程改为：
y˙(t)=(bx−d)y=−dy+bxy \dot{y}(t)=(bx-d)y=-dy+bxy y˙(t)=(bx−d)y=−dy+bxy
其中，bbb 表示食饵供养捕食者的能力。
于是得到 Volterra 食饵-捕食者模型：
{x˙(t)=(r−ay)x=rx−axy,y˙(t)=−(d−bx)y=−dy+bxy. \begin{cases} \dot{x}(t)=(r-ay)x=rx-axy,\\ \dot{y}(t)=-(d-bx)y=-dy+bxy. \end{cases} {x˙(t)=(r−ay)x=rx−axy,y˙(t)=−(d−bx)y=−dy+bxy.
这个模型一般没有简单的解析解，因此常用稳定性分析、相轨线分析和数值计算研究其性质。
6、Volterra 模型的平衡点及稳定性
令
x˙=0,y˙=0 \dot{x}=0,\qquad \dot{y}=0 x˙=0,y˙=0
可以得到两个平衡点：
P1=(db,ra) P_1=\left(\frac{d}{b},\frac{r}{a}\right) P1=(bd,ar)
P2=(0,0) P_2=(0,0) P2=(0,0)
其中，P1P_1P1 表示食饵与捕食者共存的平衡状态，P2P_2P2 表示两者都不存在。
对方程组
{x˙=rx−axy,y˙=−dy+bxy \begin{cases} \dot{x}=rx-axy,\\ \dot{y}=-dy+bxy \end{cases} {x˙=rx−axy,y˙=−dy+bxy
计算 Jacobi 矩阵：
A=[r−ay−axby−d+bx] A= \begin{bmatrix} r-ay & -ax\\ by & -d+bx \end{bmatrix} A=[r−ayby−ax−d+bx]
在 P2=(0,0)P_2=(0,0)P2=(0,0) 处，
A(P2)=[r00−d] A(P_2)= \begin{bmatrix} r & 0\\ 0 & -d \end{bmatrix} A(P2)=[r00−d]
此时特征值一正一负，因此 P2P_2P2 不稳定。
在 P1=(db,ra)P_1=\left(\dfrac{d}{b},\dfrac{r}{a}\right)P1=(bd,ar) 处，
A(P1)=[0−adbbra0] A(P_1)= \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{ad}{b}\\ \dfrac{br}{a} & 0 \end{bmatrix} A(P1)= 0abr−bad0
此时
p=0,q=rd>0 p=0,\qquad q=rd>0 p=0,q=rd>0
根据前面的判别准则，p=0p=0p=0 属于临界情形，因此不能简单用近似线性方程判断 P1P_1P1 是否渐近稳定。需要进一步使用相轨线分析。
7、Volterra 模型的相轨线分析
由模型
{x˙=(r−ay)x,y˙=(−d+bx)y \begin{cases} \dot{x}=(r-ay)x,\\ \dot{y}=(-d+bx)y \end{cases} {x˙=(r−ay)x,y˙=(−d+bx)y
消去 dtdtdt，得到
dydx=(−d+bx)y(r−ay)x \frac{dy}{dx}= \frac{(-d+bx)y}{(r-ay)x} dxdy=(r−ay)x(−d+bx)y
分离变量：
r−ayy dy=−d+bxx dx \frac{r-ay}{y}\,dy= \frac{-d+bx}{x}\,dx yr−aydy=x−d+bxdx
两边积分，得：
rlny−ay=−dlnx+bx+C r\ln y-ay=-d\ln x+bx+C rlny−ay=−dlnx+bx+C
整理可得相轨线方程：
dlnx−bx+rlny−ay=C d\ln x-bx+r\ln y-ay=C dlnx−bx+rlny−ay=C
等价地写成指数形式：
xdyre−bx−ay=C x^d y^r e^{-bx-ay}=C xdyre−bx−ay=C
令
f(x)=xde−bx,g(y)=yre−ay f(x)=x^d e^{-bx},\qquad g(y)=y^r e^{-ay} f(x)=xde−bx,g(y)=yre−ay
则相轨线可以写成：
f(x)g(y)=C f(x)g(y)=C f(x)g(y)=C
函数 f(x)f(x)f(x) 在
x=db x=\frac{d}{b} x=bd
处取得最大值，函数 g(y)g(y)g(y) 在
y=ra y=\frac{r}{a} y=ar
处取得最大值。因此相轨线围绕点
P1=(db,ra) P_1=\left(\frac{d}{b},\frac{r}{a}\right) P1=(bd,ar)
形成一族封闭曲线。
结论：Volterra 模型中，食饵数量 x(t)x(t)x(t) 和捕食者数量 y(t)y(t)y(t) 是周期变化的；相图中的轨线是围绕平衡点 P1P_1P1 的封闭曲线。
在数值计算中可以观察到，x(t)x(t)x(t) 和 y(t)y(t)y(t) 都呈周期振荡。例如某次数值结果显示，周期大约为 9.69.69.6，且
xmax≈65.5,xmin≈6 x_{\max}\approx 65.5,\qquad x_{\min}\approx 6 xmax≈65.5,xmin≈6
ymax≈20.5,ymin≈3.9 y_{\max}\approx 20.5,\qquad y_{\min}\approx 3.9 ymax≈20.5,ymin≈3.9
用数值积分计算一个周期内的平均值，可得到：
xˉ≈25,yˉ≈10 \bar{x}\approx 25,\qquad \bar{y}\approx 10 xˉ≈25,yˉ≈10
8、Volterra 模型中周期平均值的计算
设 x(t),y(t)x(t),y(t)x(t),y(t) 的周期为 TTT。由
y˙=(−d+bx)y \dot{y}=(-d+bx)y y˙=(−d+bx)y
可得：
y˙y=−d+bx \frac{\dot{y}}{y}=-d+bx yy˙=−d+bx
两边在一个周期内积分：
∫0Ty˙y dt=∫0T(−d+bx) dt \int_0^T \frac{\dot{y}}{y}\,dt= \int_0^T(-d+bx)\,dt ∫0Tyy˙dt=∫0T(−d+bx)dt
左边为
∫0Ty˙y dt=lny(T)−lny(0)=0 \int_0^T \frac{\dot{y}}{y}\,dt= \ln y(T)-\ln y(0)=0 ∫0Tyy˙dt=lny(T)−lny(0)=0
因为 y(t)y(t)y(t) 是周期函数，y(T)=y(0)y(T)=y(0)y(T)=y(0)。所以
−dT+b∫0Tx(t) dt=0 -dT+b\int_0^T x(t)\,dt=0 −dT+b∫0Tx(t)dt=0
于是
xˉ=1T∫0Tx(t) dt=db \bar{x}= \frac{1}{T}\int_0^T x(t)\,dt= \frac{d}{b} xˉ=T1∫0Tx(t)dt=bd
同理由
x˙=(r−ay)x \dot{x}=(r-ay)x x˙=(r−ay)x
可得：
x˙x=r−ay \frac{\dot{x}}{x}=r-ay xx˙=r−ay
在一个周期内积分，得到：
rT−a∫0Ty(t) dt=0 rT-a\int_0^T y(t)\,dt=0 rT−a∫0Ty(t)dt=0
因此
yˉ=1T∫0Ty(t) dt=ra \bar{y}= \frac{1}{T}\int_0^T y(t)\,dt= \frac{r}{a} yˉ=T1∫0Ty(t)dt=ar
结论：Volterra 模型中，食饵和捕食者在一个周期内的平均数量正好等于共存平衡点的坐标，即 xˉ=d/b,yˉ=r/a\bar{x}=d/b,\bar{y}=r/axˉ=d/b,yˉ=r/a。
9、Volterra 模型的相位解释
在相平面中，平衡点为
P1=(db,ra) P_1=\left(\frac{d}{b},\frac{r}{a}\right) P1=(bd,ar)
由
x˙=(r−ay)x \dot{x}=(r-ay)x x˙=(r−ay)x
可知：
当 y<r/ay<r/ay<r/a 时，x˙>0\dot{x}>0x˙>0，食饵数量增加；
当 y>r/ay>r/ay>r/a 时，x˙<0\dot{x}<0x˙<0，食饵数量减少。
由
y˙=(−d+bx)y \dot{y}=(-d+bx)y y˙=(−d+bx)y
可知：
当 x>d/bx>d/bx>d/b 时，y˙>0\dot{y}>0y˙>0，捕食者数量增加；
当 x<d/bx<d/bx<d/b 时，y˙<0\dot{y}<0y˙<0，捕食者数量减少。
因此相轨线可以分为四个阶段：
T1:x(t)↑,y(t)↑ T_1:\quad x(t)\uparrow,\quad y(t)\uparrow T1:x(t)↑,y(t)↑
T2:x(t)↓,y(t)↑ T_2:\quad x(t)\downarrow,\quad y(t)\uparrow T2:x(t)↓,y(t)↑
T3:x(t)↓,y(t)↓ T_3:\quad x(t)\downarrow,\quad y(t)\downarrow T3:x(t)↓,y(t)↓
T4:x(t)↑,y(t)↓ T_4:\quad x(t)\uparrow,\quad y(t)\downarrow T4:x(t)↑,y(t)↓
这说明食饵数量的变化通常领先于捕食者数量的变化。食饵数量先增加，捕食者由于食物增多随后增加；捕食者增多后食饵减少；食饵减少后捕食者因食物不足而减少；捕食者减少后食饵又开始恢复增长。
10、Volterra 模型对渔业现象的解释
一次世界大战期间，地中海渔业的捕捞量下降，食用鱼和鲨鱼同时被捕捞，但观察到鲨鱼的比例反而增加。这个现象可以用食饵-捕食者模型解释。
自然环境中的共存平均状态为：
x=db,y=ra x=\frac{d}{b},\qquad y=\frac{r}{a} x=bd,y=ar
其中 xxx 表示食饵数量，yyy 表示捕食者数量。
捕捞会减少食饵的有效增长率，也会增加捕食者的有效死亡率。若捕捞强度对应参数 ε\varepsilonε，则可以近似写成：
r→r−ε,d→d+ε r\to r-\varepsilon,\qquad d\to d+\varepsilon r→r−ε,d→d+ε
此时新的平均状态为：
x=d+εb,y=r−εa x=\frac{d+\varepsilon}{b},\qquad y=\frac{r-\varepsilon}{a} x=bd+ε,y=ar−ε
战争期间捕捞强度下降，设战前捕捞强度为 ε1\varepsilon_1ε1，战时捕捞强度为 ε2\varepsilon_2ε2，且
ε2<ε1 \varepsilon_2<\varepsilon_1 ε2<ε1
则战时对应的食饵平均数量为
x2=d+ε2b x_2=\frac{d+\varepsilon_2}{b} x2=bd+ε2
战前对应的食饵平均数量为
x1=d+ε1b x_1=\frac{d+\varepsilon_1}{b} x1=bd+ε1
因为 ε2<ε1\varepsilon_2<\varepsilon_1ε2<ε1，所以
x2<x1 x_2<x_1 x2<x1
同时，战时捕食者平均数量为
y2=r−ε2a y_2=\frac{r-\varepsilon_2}{a} y2=ar−ε2
战前捕食者平均数量为
y1=r−ε1a y_1=\frac{r-\varepsilon_1}{a} y1=ar−ε1
因为 ε2<ε1\varepsilon_2<\varepsilon_1ε2<ε1，所以
y2>y1 y_2>y_1 y2>y1
结论：捕捞减少后，模型预测食饵平均数量减少，捕食者平均数量增加，因此鲨鱼比例上升。
这个模型还可以解释害虫与益虫系统中的类似现象。如果使用同时杀灭害虫和益虫的杀虫剂，可能导致害虫数量增加、益虫数量减少。原因是杀虫剂相当于同时增加死亡或降低增长，破坏了捕食者对食饵的控制作用。
11、Volterra 模型的缺点与改进
Volterra 模型的一个重要特点是相轨线为封闭曲线，表示系统会进行周期振荡。但是在许多实际的食饵-捕食者系统中，观察不到严格的周期振荡，而是趋向某个稳定平衡状态。
此外，封闭轨线具有结构不稳定性：一旦系统受到扰动离开原来的闭轨线，它不会自动回到原来的轨线，而是进入另一条闭轨线。这与自然界中许多具有自我恢复能力的生态系统不完全一致。
因此，可以在模型中加入 Logistic 项，考虑种群自身的环境容纳限制。例如可以改进为：
{x˙1(t)=r1x1(1−x1N1−σ1x2N2),x˙2(t)=r2x2(−1+σ2x1N1−x2N2). \begin{cases} \dot{x}_1(t)=r_1x_1\left(1-\dfrac{x_1}{N_1}-\sigma_1\dfrac{x_2}{N_2}\right),\\ \dot{x}_2(t)=r_2x_2\left(-1+\sigma_2\dfrac{x_1}{N_1}-\dfrac{x_2}{N_2}\right). \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x˙1(t)=r1x1(1−N1x1−σ1N2x2),x˙2(t)=r2x2(−1+σ2N1x1−N2x2).
其中，第一式表示食饵既受到环境容量限制，也受到捕食者抑制；第二式表示捕食者依靠食饵增长，同时也受到自身数量的限制。加入 Logistic 项后，系统可能出现稳定平衡点，更符合许多实际生态系统的长期趋势。
还可以进一步考虑捕食作用的饱和效应。例如当食饵数量很大时，捕食者的捕食能力不会无限增加，而会趋于饱和。此时可以使用如下形式：
{x˙1(t)=r1x1(1−x1N1−σ1x21+wx1),x˙2(t)=r2x2(−1+σ2x11+wx1). \begin{cases} \dot{x}_1(t)=r_1x_1\left(1-\dfrac{x_1}{N_1}-\sigma_1\dfrac{x_2}{1+wx_1}\right),\\ \dot{x}_2(t)=r_2x_2\left(-1+\sigma_2\dfrac{x_1}{1+wx_1}\right). \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x˙1(t)=r1x1(1−N1x1−σ11+wx1x2),x˙2(t)=r2x2(−1+σ21+wx1x1).
其中，1+wx11+wx_11+wx1 体现了捕食作用的饱和效应。当 x1x_1x1 很大时，单位食饵增长对捕食者的促进作用不再线性增加。
例如取参数
r1=1,N1=20,σ1=0.1,w=0.2,r2=0.5,σ2=0.18 r_1=1,\quad N_1=20,\quad \sigma_1=0.1,\quad w=0.2,\quad r_2=0.5,\quad \sigma_2=0.18 r1=1,N1=20,σ1=0.1,w=0.2,r2=0.5,σ2=0.18
相轨线会趋向极限环，表示系统在受到扰动后仍能回到稳定的周期运动状态。
结论：改进后的食饵-捕食者模型可以表现出稳定平衡点或稳定极限环，从而比原始 Volterra 模型更能描述具有结构稳定性的生态系统。
12、两种群模型的几种基本形式
两种群之间的关系不同，模型中的相互作用项符号也不同。
相互竞争模型。
{x˙1(t)=r1x1(1−x1N1−σ1x2N2),x˙2(t)=r2x2(1−σ2x1N1−x2N2). \begin{cases} \dot{x}_1(t)=r_1x_1\left(1-\dfrac{x_1}{N_1}-\sigma_1\dfrac{x_2}{N_2}\right),\\ \dot{x}_2(t)=r_2x_2\left(1-\sigma_2\dfrac{x_1}{N_1}-\dfrac{x_2}{N_2}\right). \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x˙1(t)=r1x1(1−N1x1−σ1N2x2),x˙2(t)=r2x2(1−σ2N1x1−N2x2).
两个种群都对对方产生抑制作用，因此交互项为负。
相互依存模型。
{x˙1(t)=r1x1(1−x1N1+σ1x2N2),x˙2(t)=r2x2(−1+σ2x1N1−x2N2). \begin{cases} \dot{x}_1(t)=r_1x_1\left(1-\dfrac{x_1}{N_1}+\sigma_1\dfrac{x_2}{N_2}\right),\\ \dot{x}_2(t)=r_2x_2\left(-1+\sigma_2\dfrac{x_1}{N_1}-\dfrac{x_2}{N_2}\right). \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x˙1(t)=r1x1(1−N1x1+σ1N2x2),x˙2(t)=r2x2(−1+σ2N1x1−N2x2).
一个种群或两个种群对对方产生促进作用，因此相互作用项中会出现正号。
弱肉强食模型。
{x˙1(t)=r1x1(1−x1N1−σ1x2N2),x˙2(t)=r2x2(−1+σ2x1N1−x2N2). \begin{cases} \dot{x}_1(t)=r_1x_1\left(1-\dfrac{x_1}{N_1}-\sigma_1\dfrac{x_2}{N_2}\right),\\ \dot{x}_2(t)=r_2x_2\left(-1+\sigma_2\dfrac{x_1}{N_1}-\dfrac{x_2}{N_2}\right). \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x˙1(t)=r1x1(1−N1x1−σ1N2x2),x˙2(t)=r2x2(−1+σ2N1x1−N2x2).
食饵受到捕食者抑制，捕食者受到食饵促进，因此两个方程中的交互项符号相反。
总结：两种群模型的核心是用微分方程描述种群数量随时间的变化，再通过平衡点和稳定性分析判断系统长期趋势。竞争模型常用于解释一方灭绝或双方共存，依存模型用于解释共生条件，食饵-捕食者模型用于解释周期振荡、相位领先以及捕捞或杀虫等外部干预的生态后果。
六、随机模型
1、随机模型概念
随机现象是指在一定条件下，在个别试验或观察中呈现不确定性，但在大量重复试验或观察中，其结果又具有一定规律性的现象。
随机模型主要研究事件发生的概率大小或有关统计量。随机建模的目的主要有两个：一是研究随机问题中蕴含的统计规律性；二是研究某个事件发生可能性的大小。
由于实际问题中经常存在不确定因素，例如市场需求、机器损坏、疾病检测结果等，所以不能只用确定性模型描述问题，而需要用概率、期望、后验概率等工具建立随机模型。
2、商家购货策略
题目：某商家代售货物 A，每天清晨从供货商购进货物零售，晚上将没有卖掉的货物退回。每份货物的购进价为 bbb 元，零售价为 aaa 元，退回价为 ccc 元，且 a>b>ca>b>ca>b>c。该商家每天如果购进的货物太少，不够卖时会少赚钱；如果购得太多，卖不完时要赔钱。试为该商家筹划每天购进的货物数，使得收益最大。
解析：这是一个带有随机需求的风险决策问题。
设商家每天购进 nnn 份货物，每天的需求量为随机变量 rrr。由于每天需求量不确定，所以每天收入也是随机的。根据概率论中的大数定律，长期的每日平均收入可以用每日收入的期望来表示。因此，优化目标应为长期每日平均收入最大。
已知售出一份货物可赚：
a−b a-b a−b
退回一份货物会赔：
b−c b-c b−c
设每天需求量为 rrr 的概率为 p(r)p(r)p(r)，其中 r=0,1,2,⋯r=0,1,2,\cdotsr=0,1,2,⋯。设每天购进 nnn 份时的日平均收入为 G(n)G(n)G(n)。
当 r≤nr\le nr≤n 时，需求量不超过购进量，商家售出 rrr 份，剩余 n−rn-rn−r 份退回。此时收入为：
(a−b)r−(b−c)(n−r) (a-b)r-(b-c)(n-r) (a−b)r−(b−c)(n−r)
当 r>nr>nr>n 时，需求量超过购进量，商家只能售出全部 nnn 份。此时收入为：
(a−b)n (a-b)n (a−b)n
因此，日平均收入的期望为：
G(n)=∑r=0n[(a−b)r−(b−c)(n−r)]p(r)+∑r=n+1∞(a−b)np(r) G(n)= \sum_{r=0}^{n}\left[(a-b)r-(b-c)(n-r)\right]p(r) + \sum_{r=n+1}^{\infty}(a-b)n p(r) G(n)=r=0∑n[(a−b)r−(b−c)(n−r)]p(r)+r=n+1∑∞(a−b)np(r)
问题转化为：求一个合适的购进量 nnn，使 G(n)G(n)G(n) 最大。
如果将需求量近似看成连续变量，则最优购进量 nnn 应满足：
∫0np(r) dr∫n∞p(r) dr=a−bb−c \frac{\int_0^n p(r)\,dr}{\int_n^\infty p(r)\,dr}= \frac{a-b}{b-c} ∫n∞p(r)dr∫0np(r)dr=b−ca−b
其中：
P1=∫0np(r) dr P_1=\int_0^n p(r)\,dr P1=∫0np(r)dr
表示购进 nnn 份货物时卖不完的概率；
P2=∫n∞p(r) dr P_2=\int_n^\infty p(r)\,dr P2=∫n∞p(r)dr
表示购进 nnn 份货物时卖完的概率。
于是有：
P1P2=a−bb−c \frac{P_1}{P_2}=\frac{a-b}{b-c} P2P1=b−ca−b
结论：商家应选择一个购进量 nnn，使"卖不完的概率"与"卖完的概率"之比，恰好等于"售出一份赚的钱"与"退回一份赔的钱"之比。
这个结论体现了风险与收益之间的平衡。如果售出一份赚得较多，而退回一份损失较少，则商家可以适当多进货；如果退回损失较大，则应减少购进量，以避免卖不完造成损失。
3、机器任务的分配问题
题目：某工厂用 200 台机器来加工两种零件，需要安排 4 周完成任务。根据以往经验知道：机器加工第一种零件，一周后损坏的概率是 19\dfrac{1}{9}91；加工第二种零件，一周后损坏的概率是 110\dfrac{1}{10}101。如果机器加工第一种零件一周的收益为 90 元，加工第二种零件一周的收益为 88.5 元。问怎样分配机器的任务，才能使总收益最大？
解析：这是一个多阶段最优化问题，适合用动态规划处理。
在生产和生活实践中，很多决策过程可以按照时间或空间划分为若干个互相联系的阶段。每个阶段都有不同的决策选择，前一阶段的决策会影响后一阶段的状态。动态规划的核心思想就是：通过分阶段求解局部最优问题，逐步得到整体最优策略。
动态规划的基础是最优化原理。最优化原理可以表述为：一个最优策略具有这样的性质，不论过去的状态和决策如何，对于前面决策形成的当前状态而言，余下的决策必须构成最优策略。也就是说，一个最优策略的子策略也必须是最优的。
在本题中，将一周作为一个阶段。设：
yky_kyk 表示第 kkk 周开始时完好的机器数；
uku_kuk 表示第 kkk 周开始时分配加工第一种零件的机器数；
vkv_kvk 表示第 kkk 周的阶段效益；
vk4v_{k4}vk4 表示第 kkk 周至第 4 周的最大总效益。
由于总共有 4 周，所以需要求出 u1,u2,u3,u4u_1,u_2,u_3,u_4u1,u2,u3,u4，使 4 周总收益最大：
v14=v1+v2+v3+v4 v_{14}=v_1+v_2+v_3+v_4 v14=v1+v2+v3+v4
第一阶段：第 1 周开始时有 200 台机器。
设第 1 周分配 u1u_1u1 台机器加工第一种零件，则有 200−u1200-u_1200−u1 台机器加工第二种零件。
加工第一种零件的机器一周后完好率为：
1−19=89 1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9} 1−91=98
加工第二种零件的机器一周后完好率为：
1−110=910 1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} 1−101=109
因此，第 2 周开始时完好的机器数为：
y2=89u1+910(200−u1) y_2= \frac{8}{9}u_1+\frac{9}{10}(200-u_1) y2=98u1+109(200−u1)
化简得：
y2=180−190u1 y_2= 180-\frac{1}{90}u_1 y2=180−901u1
第 1 周收益为：
v1=90u1+88.5(200−u1) v_1= 90u_1+88.5(200-u_1) v1=90u1+88.5(200−u1)
化简得：
v1=17700+1.5u1 v_1=17700+1.5u_1 v1=17700+1.5u1
第二阶段：第 2 周开始时有 y2y_2y2 台机器。
设第 2 周分配 u2u_2u2 台机器加工第一种零件，则 y2−u2y_2-u_2y2−u2 台机器加工第二种零件。
第 3 周开始时完好的机器数为：
y3=89u2+910(y2−u2) y_3= \frac{8}{9}u_2+\frac{9}{10}(y_2-u_2) y3=98u2+109(y2−u2)
化简得：
y3=910y2−190u2 y_3= \frac{9}{10}y_2-\frac{1}{90}u_2 y3=109y2−901u2
第 2 周收益为：
v2=90u2+88.5(y2−u2) v_2= 90u_2+88.5(y_2-u_2) v2=90u2+88.5(y2−u2)
化简得：
v2=88.5y2+1.5u2 v_2=88.5y_2+1.5u_2 v2=88.5y2+1.5u2
第三阶段：第 3 周开始时有 y3y_3y3 台机器。
设第 3 周分配 u3u_3u3 台机器加工第一种零件，则 y3−u3y_3-u_3y3−u3 台机器加工第二种零件。
第 4 周开始时完好的机器数为：
y4=89u3+910(y3−u3) y_4= \frac{8}{9}u_3+\frac{9}{10}(y_3-u_3) y4=98u3+109(y3−u3)
化简得：
y4=910y3−190u3 y_4= \frac{9}{10}y_3-\frac{1}{90}u_3 y4=109y3−901u3
第 3 周收益为：
v3=90u3+88.5(y3−u3) v_3= 90u_3+88.5(y_3-u_3) v3=90u3+88.5(y3−u3)
化简得：
v3=88.5y3+1.5u3 v_3=88.5y_3+1.5u_3 v3=88.5y3+1.5u3
第四阶段：第 4 周是最后一周，只需要考虑本周收益最大。
第 4 周收益为：
v4=90u4+88.5(y4−u4) v_4=90u_4+88.5(y_4-u_4) v4=90u4+88.5(y4−u4)
化简得：
v4=88.5y4+1.5u4 v_4=88.5y_4+1.5u_4 v4=88.5y4+1.5u4
由于 0≤u4≤y40\le u_4\le y_40≤u4≤y4，且 v4v_4v4 随 u4u_4u4 增大而增大，所以当：
u4=y4 u_4=y_4 u4=y4
时，第 4 周收益最大。也就是说，第 4 周应把全部完好机器用于生产第一种零件。
第三周至第四周的最优效益：从后向前递推。
已知第 4 周最优时有：
v44=88.5y4+1.5y4=90y4 v_{44}=88.5y_4+1.5y_4=90y_4 v44=88.5y4+1.5y4=90y4
第 3 周至第 4 周的最大总效益为：
v34=max(v3+v44) v_{34}= \max(v_3+v_{44}) v34=max(v3+v44)
代入：
v3=88.5y3+1.5u3 v_3=88.5y_3+1.5u_3 v3=88.5y3+1.5u3
以及：
y4=910y3−190u3 y_4= \frac{9}{10}y_3-\frac{1}{90}u_3 y4=109y3−901u3
可得：
v34=max(88.5y3+1.5u3+90y4) v_{34}= \max\left(88.5y_3+1.5u_3+90y_4\right) v34=max(88.5y3+1.5u3+90y4)
即：
v34=max(88.5y3+1.5u3+90(910y3−190u3)) v_{34}= \max\left(88.5y_3+1.5u_3+90\left(\frac{9}{10}y_3-\frac{1}{90}u_3\right)\right) v34=max(88.5y3+1.5u3+90(109y3−901u3))
化简得：
v34=max(169.5y3+0.5u3) v_{34}= \max(169.5y_3+0.5u_3) v34=max(169.5y3+0.5u3)
由于 0≤u3≤y30\le u_3\le y_30≤u3≤y3，且该式随 u3u_3u3 增大而增大，所以当：
u3=y3 u_3=y_3 u3=y3
时效益最大。也就是说，第 3 周应把全部完好机器用于生产第一种零件。
第二周至第四周的最优效益：继续反向递推。
第 2 周至第 4 周的最大总效益为：
v24=max(v2+v34) v_{24}= \max(v_2+v_{34}) v24=max(v2+v34)
代入：
v2=88.5y2+1.5u2 v_2=88.5y_2+1.5u_2 v2=88.5y2+1.5u2
以及：
v34=169.5y3 v_{34}=169.5y_3 v34=169.5y3
并由：
y3=910y2−190u2 y_3= \frac{9}{10}y_2-\frac{1}{90}u_2 y3=109y2−901u2
可得：
v24=max(88.5y2+1.5u2+169.5(910y2−190u2)) v_{24}= \max\left(88.5y_2+1.5u_2+169.5\left(\frac{9}{10}y_2-\frac{1}{90}u_2\right)\right) v24=max(88.5y2+1.5u2+169.5(109y2−901u2))
化简得：
v24=max(241.5y2−718u2) v_{24}= \max\left(241.5y_2-\frac{7}{18}u_2\right) v24=max(241.5y2−187u2)
由于 0≤u2≤y20\le u_2\le y_20≤u2≤y2，且该式随 u2u_2u2 增大而减小，所以当：
u2=0 u_2=0 u2=0
时效益最大。也就是说，第 2 周应把全部完好机器用于生产第二种零件。
第一周至第四周的最优效益：求整体最优策略。
第 1 周至第 4 周的最大总效益为：
v14=max(v1+v24) v_{14}= \max(v_1+v_{24}) v14=max(v1+v24)
代入：
v1=17700+1.5u1 v_1=17700+1.5u_1 v1=17700+1.5u1
以及：
v24=241.5y2 v_{24}=241.5y_2 v24=241.5y2
又因为：
y2=180−190u1 y_2=180-\frac{1}{90}u_1 y2=180−901u1
所以：
v14=max(17700+1.5u1+241.5(180−190u1)) v_{14}= \max\left(17700+1.5u_1+241.5\left(180-\frac{1}{90}u_1\right)\right) v14=max(17700+1.5u1+241.5(180−901u1))
化简得：
v14=max(61170−25.16u1) v_{14}= \max\left(61170-\frac{25.1}{6}u_1\right) v14=max(61170−625.1u1)
由于 0≤u1≤2000\le u_1\le 2000≤u1≤200，且该式随 u1u_1u1 增大而减小，所以当：
u1=0 u_1=0 u1=0
时效益最大。也就是说，第 1 周应把全部机器用于生产第二种零件。
结论：最优策略为前两周全部生产第二种零件，后两周全部生产第一种零件。
具体安排如下：
第 1 周，开始时有 200 台机器，全部机器生产第二种零件，效益为：
88.5×200=17700 88.5\times 200=17700 88.5×200=17700
第 2 周，开始时有：
200×910=180 200\times \frac{9}{10}=180 200×109=180
台机器可以正常工作，全部机器生产第二种零件，效益为：
88.5×180=15930 88.5\times 180=15930 88.5×180=15930
第 3 周，开始时有：
180×910=162 180\times \frac{9}{10}=162 180×109=162
台机器可以正常工作，全部机器生产第一种零件，效益为：
90×162=14580 90\times 162=14580 90×162=14580
第 4 周，开始时有：
162×89=144 162\times \frac{8}{9}=144 162×98=144
台机器可以正常工作，全部机器生产第一种零件，效益为：
90×144=12960 90\times 144=12960 90×144=12960
因此，4 周总收益为：
17700+15930+14580+12960=61170 17700+15930+14580+12960=61170 17700+15930+14580+12960=61170
七、贝叶斯
1、朴素贝叶斯与火灾概率问题
题目：危险的火灾出现的概率很小，大约为 1%1\%1%。大约有 95%95\%95% 的火灾会导致烟雾弥漫。但如果你住在一家秘鲁鸡肉餐厅隔壁，你会经常看到烟雾，概率大约为 20%20\%20%。当你看到家窗外飘来烟雾时，请计算在这种情况下发生火灾的概率。
解析：这是一个根据观测现象反推原因概率的问题，可以用贝叶斯公式处理。
设事件 AAA 表示"发生火灾"，事件 BBB 表示"看到烟雾"。已知：
P(A)=1%=0.01 P(A)=1\%=0.01 P(A)=1%=0.01
P(B∣A)=95%=0.95 P(B|A)=95\%=0.95 P(B∣A)=95%=0.95
P(B)=20%=0.20 P(B)=20\%=0.20 P(B)=20%=0.20
要求的是看到烟雾后发生火灾的概率，即：
P(A∣B) P(A|B) P(A∣B)
由贝叶斯公式：
P(A∣B)=P(A)P(B∣A)P(B) P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A)P(B∣A)
代入数据：
P(A∣B)=0.01×0.950.20 P(A|B)=\frac{0.01\times 0.95}{0.20} P(A∣B)=0.200.01×0.95
计算得：
P(A∣B)=0.0475=4.75% P(A|B)=0.0475=4.75\% P(A∣B)=0.0475=4.75%
结论：当看到烟雾时，发生火灾的概率约为 4.75%4.75\%4.75%。
这个例子说明，虽然烟雾与火灾之间有较强联系，但如果烟雾本身也可能由其他原因经常产生，那么看到烟雾后真正发生火灾的概率并不一定很高。贝叶斯公式的作用，就是把先验概率和观测信息结合起来，得到事件发生的后验概率。
2、疾病检测中的贝叶斯思想
题目：一种癌症，得了这个癌症的人被检测出为阳性的几率为 90%90\%90%，未得这种癌症的人被检测出为阴性的几率为 90%90\%90%，而人群中得这种癌症的几率为 1%1\%1%。一个人被检测出阳性，问这个人得癌症的几率为多少？
解析：检测为阳性并不等于一定患病，需要结合患病率和检测准确率计算后验概率。
设事件 AAA 表示"检测结果为阳性"，事件 B1B_1B1 表示"得癌症"，事件 B2B_2B2 表示"未得癌症"。
由题意可知：
P(A∣B1)=0.9 P(A|B_1)=0.9 P(A∣B1)=0.9
表示得癌症的人检测为阳性的概率为 90%90\%90%；
P(A∣B2)=0.1 P(A|B_2)=0.1 P(A∣B2)=0.1
表示未得癌症的人检测为阳性的概率为 10%10\%10%，这是因为未得癌症的人检测为阴性的概率是 90%90\%90%；
P(B1)=0.01 P(B_1)=0.01 P(B1)=0.01
表示人群中得癌症的概率为 1%1\%1%；
P(B2)=0.99 P(B_2)=0.99 P(B2)=0.99
表示人群中未得癌症的概率为 99%99\%99%。
得癌症且检测出阳性的概率为：
P(B1,A)=P(B1)P(A∣B1) P(B_1,A)=P(B_1)P(A|B_1) P(B1,A)=P(B1)P(A∣B1)
代入数据：
P(B1,A)=0.01×0.9=0.009 P(B_1,A)=0.01\times 0.9=0.009 P(B1,A)=0.01×0.9=0.009
未得癌症但检测出阳性的概率为：
P(B2,A)=P(B2)P(A∣B2) P(B_2,A)=P(B_2)P(A|B_2) P(B2,A)=P(B2)P(A∣B2)
代入数据：
P(B2,A)=0.99×0.1=0.099 P(B_2,A)=0.99\times 0.1=0.099 P(B2,A)=0.99×0.1=0.099
因此，所有检测为阳性的人中，一部分是真正得癌症的人，另一部分是未得癌症但被误判为阳性的人。检测为阳性的总概率为：
P(A)=P(B1,A)+P(B2,A) P(A)=P(B_1,A)+P(B_2,A) P(A)=P(B1,A)+P(B2,A)
即：
P(A)=0.009+0.099=0.108 P(A)=0.009+0.099=0.108 P(A)=0.009+0.099=0.108
所以，在已经检测为阳性的条件下，得癌症的概率为：
P(B1∣A)=P(B1,A)P(A) P(B_1|A)= \frac{P(B_1,A)}{P(A)} P(B1∣A)=P(A)P(B1,A)
代入数据：
P(B1∣A)=0.0090.009+0.099≈0.083 P(B_1|A)= \frac{0.009}{0.009+0.099} \approx 0.083 P(B1∣A)=0.009+0.0990.009≈0.083
也就是：
P(B1∣A)≈8.3% P(B_1|A)\approx 8.3\% P(B1∣A)≈8.3%
同理，在已经检测为阳性的条件下，未得癌症的概率为：
P(B2∣A)=P(B2,A)P(A) P(B_2|A)= \frac{P(B_2,A)}{P(A)} P(B2∣A)=P(A)P(B2,A)
代入数据：
P(B2∣A)=0.0990.009+0.099≈0.917 P(B_2|A)= \frac{0.099}{0.009+0.099} \approx 0.917 P(B2∣A)=0.009+0.0990.099≈0.917
也就是：
P(B2∣A)≈91.7% P(B_2|A)\approx 91.7\% P(B2∣A)≈91.7%
如果用 1000 个人来理解这个结果，则大约有：
1000×0.01×0.9=9 1000\times 0.01\times 0.9=9 1000×0.01×0.9=9
人得癌症且检测出阳性；大约有：
1000×0.99×0.1=99 1000\times 0.99\times 0.1=99 1000×0.99×0.1=99
人未得癌症但检测出阳性。因此，在检测出阳性的人中，真正得癌症的人约为 9 人，未得癌症但检测为阳性的人约为 99 人。
结论：一个人检测出阳性后，其真正得癌症的概率约为 8.3%8.3\%8.3%，未得癌症的概率约为 91.7%91.7\%91.7%。
这说明，在低患病率的疾病检测中，即使检测准确率较高，阳性结果也不一定意味着患病概率很高。原因在于未患病人群数量很大，少量的误判阳性也可能形成较大的阳性人数。
3、贝叶斯思想的一般形式
一般化说明：贝叶斯方法的核心是利用先验概率和观测结果计算后验概率。
在疾病检测问题中，P(B1)P(B_1)P(B1) 和 P(B2)P(B_2)P(B2) 是先验概率，表示在没有检测结果之前，一个人得癌症或未得癌症的概率；AAA 是观测结果，表示检测为阳性；P(B1∣A)P(B_1|A)P(B1∣A) 和 P(B2∣A)P(B_2|A)P(B2∣A) 是后验概率，表示在知道检测结果为阳性后，对是否患病的重新判断。
对于两个互斥且完备的事件 B1B_1B1 和 B2B_2B2，贝叶斯公式可写为：
P(Bi∣A)=P(Bi)P(A∣Bi)P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2) P(B_i|A)= \frac{P(B_i)P(A|B_i)} {P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)} P(Bi∣A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)P(Bi)P(A∣Bi)
其中，P(Bi)P(B_i)P(Bi) 表示原因或类别的先验概率，P(A∣Bi)P(A|B_i)P(A∣Bi) 表示在该原因或类别下观测到结果 AAA 的概率，P(Bi∣A)P(B_i|A)P(Bi∣A) 表示观测到结果 AAA 后该原因或类别成立的后验概率。
结论：贝叶斯思想就是在已知先验概率的基础上，根据新的观测值更新判断，从而得到后验概率。